概率与数理统计(海南大学高等教育出版社)

习题五 1 已知 利用切比雪夫不等式估计概率 1E X 4D X 12 5P X 解 据切比雪夫不等式 2 2 1P X 2 4 12 51 2 5 P X 9 25 2 设随机变量的数学期望 方程 利用切X E X 2 D X 比雪夫不等式估计 3PX 解 令 则由切比雪夫不等式3 有 2 3 D X PX 2 2 1 3 3 9 PX 3 随机地掷 颗骰子 利用切比雪夫不等式估计 颗骰子出现点数66 之和在之间的概率 1527 解 设为 颗骰子所出现的点数之和 X6 为第 颗骰子出现的点数 i Xi1 2 6i 则 且独立同分布 6 1 i i XX 126 X XX 分布律为 于是 126 111 666 6 1 17 62 i k E Xk 6 22 1 191 66 i k E Xk 所以 22 iii D XE XEX 9149 64 35 12 1 2 6i 因此 6 1 7 621 2 i i E XE X 6 1 35 6 12 i i D XD X 35 2 故由切比雪夫不等式得 5271428PXPX 721 7PX 7PXE X 2 1 7 D X 13559 11 4921414 1 7PXE X 即 颗骰子出现点数之和在之间的概率大于等于 61527 9 14 4 对敌阵地进行 1000 次炮击 每次炮击中 炮弹的命中颗数的期 望为 方差为 求在次炮击中 有颗到颗炮弹击0 43 61000380420 中目标的概率 解 以表示第 次炮击击中的颗数 i Xi 1 2 1000 i 有 0 4 i E X 3 6 i D X 据 定理 则 1000 1 380420 i i PX 420 400380 400 36003600 11 33 1 2 1 3 2 0 6293 1 0 2586 5 一盒同型号螺丝钉共有个 已知该型号的螺丝钉的重量是一100 个随机变量 期望值是 标准差是 100g10g 求一盒螺丝钉的重量超过的概率 10 2kg 解 设为第 个螺丝钉的重量 i Xi1 2 100i 且它们之间独立同分布 于是一盒螺丝钉的重量 100 1 i i XX 且由 知 100 i E X 10 i D X 100 10000 i E XE X 100D X 由中心极限定理有 1000010200 10000 10200 10100 X P XP 10000 2 100 X P 10000 12 100 X P 1 2 1 0 977250 02275 6 用电子计算机做加法时 对每个加数依四舍五入原则取整 设所 有取整的舍入误差是相互独立的 且均服从上的均匀分布 0 5 0 5 1 若有个数相加 则其误差总和的绝对值超过的概率是多120015 少 2 最多可有多少个数相加 使得误差总和的绝对值小于的概率10 达到以上 90 解 设为第 个加数的取整舍入误差 i Xi 则为相互独立的随机变量序列 i X 且均服从上的均匀分布 则 0 5 0 5 0 5 0 5 0 i E Xxdx 0 5 22 0 5 1 12 i D Xx dx 1 因很大 1200n 由独立同分布中心极限定理对该误差总和 1200 1 i i X 1200 1 15 i i PX 1200 1 15 12001200 1212 i i X P 1200 1 12 21 5 1200 i i PX 2 1 1 5 0 1336 即误差总和的绝对值超过的概率达到 1513 36 2 依题意 设最多可有 个数相加 则应求出最大的 nn 使得 1 100 9 n k k PX 由中心极限定理 11 1010 1212 nn ii ii nn PXPX 2 10 1 0 9 12 n 即 10 0 95 12 n 查正态分布得10 1 64 12 n 即 2 10 12 446 16 1 64 n 取 最多可有个数相加 446n 446 7 在人寿保险公司是有 3000 个同一年龄的人参加人寿保险 在 1 年中 每人的的死亡率为 参加保险的人在 年第 天交付保险0 1 11 费元 死亡时家属可以从保险公司领取元 求保险公司在一102000 年的这项保险中亏本的概率 解 以表示 年死亡的人数X1 依题意 3000 0 001 XB 注意到 200030000PPX 保险公司亏本 其概率为 15 3000 0 001 151 3000 0 001 0 999 P X 1 6 932 0 即保险公司亏本的概率几乎为 0 8 假设是独立同分布的随机变量 已知 12 n X XX 15P X k ik E X 1 2 3 4 1 2 kin 证明 当 充分大时 随机变量近似服从正态分布 n 2 1 1 n ni i ZX n 证明 由于独立同分布 则也独立同分布 12 n X XX 222 12 n XXX 由 k ik E X 1 2 3 4 1 2 kin 有 2 2 i E X 2 242 iii D XE XE X 2 42 2 2 1 1 n ni i E ZE X n 22 42 2 1 1 n ni i D ZD Xn n 因此 根据中心极限定理 2 2 42 0 1 n n Z UN n 即当 充分大时 近似服从 n n Z 2 242 Nn 9 某保险公司多年的统计资料表明 在索赔户中被盗索赔户占 20 以表示在随机抽查的个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数 X100 1 写出的概率分布 X 2 利用德莫弗 位普拉斯中心极限定理 求 被盗索赔户不少于户 且不多于户的概率 1430 解 1 100 0 2 XB 所以 100 1000 2 0 8 0 1 2 100 kkk P XkCk 20E Xnp 1 16D Xnpp 2 430PX 14 202030 20 161616 X P 2 5 1 5 2 5 1 5 1 0 994 0 933 10 927 10 某厂生产的产品次品率为 为了确保销售 该厂向 0 1p 顾客承诺每盒中有 100 只以上正品的概率达到 95 问 该厂需要 在一盒中装多少只产品 解 设每盒中装 只产品 合格品数 n 0 9 XB n 0 9E Xn 0 09D Xn 则 1001100P XP X 100 0 9 1 0 95 0 3 n n 所以 100 0 9 1 65 0 3 n n 解得 即每盒至少装 117 只才能以 95 的概率保证一盒内有117n 100 只正品 11 某电站供应一万户用电 设用电高峰时 每户用电的概率为 0 9 利用 中心极限定理 1 计算同时用电户数在户以上的概率 9030 2 若每户用电瓦 问 电站至少应具有多大发电量 才能以200 的概率保证供电 0 95 解 以表示用电高峰时同时用电的户数X 1 依题意 又 10000 0 9 XB 9000E X 900D X 于是据 定理 10000 90009030 9000 9030 900900 PXP 100 1 3 1 0 8413 0 1587 2 设电站至少具有 瓦发电量 才能的概率保证供电 则因x0 95 为要 200 200 x PXxP X 9000 9000 200 3030 x X P 1800000 0 95 6000 x 查表得 1800000 1 65 6000 x 得1809900 x 即电站具有瓦发电量 才能以的概率保证供电 18099000 95 B 1 设随机变量服从参数为 的指数分布 相互X2 12 n XXX 独立 且都与的分布相同 求当时 依概率收敛Xn 2 1 1 n ni i YX n 的极限 答案 1 2 2 设相互独立 且分布相同 12 n XXX 存在 则根据独立同分布的中心极限定理 当 1 2 3 4 k ik E Xk 充分大时 近似服从正态分布 求分布参数 答案 n 2 1 1 n ni i ZX n 2 42 2 n 3 某生产线生产的产品成箱包装 每箱的重量是一个随机变量 其平均值为 50kg 标准差为 5kg 若用最大载重量为 5 吨的卡车承 运 利用中心极限定理说明 每辆车最多可装多少箱才能保证不超 载的概率大于 答案 0 977 2 0 977 98 习题六 1 设是来自 上均匀分布的样本 末知 求 128 X XX 0 0 样本的联合密度函数 解 128 8 128 1 0 0 x xx f x xx 其他 2 设总体服从参数为的泊松分布 其概率分布律为 X 0 1 i P Xiei i 求 样本的联合分布律为 12 n X XX 解 1122 nn P Xi XiXi 1 n k k P Xi 1 1 n k k i n n k k e i 0 1 2 1 2 k iin 3 若总体 其中已知 但末知 而 2 XN 2 为它的一个简单随机样本 指出下列量中哪些是统计 12 n X XX 量 哪些不是统计量 1 2 3 1 1 n i i X n 2 1 1 n i i X n 2 1 1 1 n i i XX n 4 5 6 3X n X n 2 1 5 1 1 n i i X XX n n 解 1 3 4 6 给出的各统计量 而 2 5 给出 的量因含有末知参数 所以不是统计量 4 总体的一组容量为的样本观测值为 X10 求经验分布函数 0 0 2 0 25 0 3 0 1 2 0 15 1 0 7 1 10 Fx 解 将样本观测值重新排序为 所以10 70 30 100 150 20 25 12 经验分布函数为 10 01 0 210 7 0 40 70 3 0 812 12 x x x Fx x x 5 来自总体的一组样本观测值为 X i x 102104106 i n 235 求样本均值 样本方差和样本标准差 X 2 SS 解 104 6x 2 2 71s 1 646s 6 在总体中随机抽取一容量为的样本 求样本均值 2 52 6 3 N36 在到之间的概率 X50 853 8 解 由知 2 52 6 3 36 XN 5252 0 1 6 3 62 1 2 XX N 故所求概率为 50 8 525253 8 52 50 853 8 2 1 22 1 22 1 2 X PXP 52 1 141 71 2 1 2 X P 1 71 1 14 1 71 1 1 14 0 9564 1 0 8729 0 8293 7 设随机变量与相互独立 且 证明XY 22 2 Y XNn X tt n Y n 证明 由于 则 2 XN 0 1 X N 据 分布的定义 t 2 X X tt n Y nY n 8 若对总体有 取的容量为的样本 样本X EX 2 DX Xn 均值为 问多大时 有Xn 0 1 0 95P X 解 由 知 2 XN n 0 1 X N n 0 1 0 1 X P XPn n 2 0 1 10 95n 即 0 1 0 975n 查表得 即 0 11 96n 385n 9 设总体 并且 相互独立 150 400 XN 125 625 YN XY 现从两总体中分别抽取容量为 的样本 样本均值分别为 5XY 求 0P XY 解 2525 0 205205 XY P XYP 1 75 0 0401 10 设总体 都服从正态分布 并且 相互独立 XY 2 N XY 分别是总体和的容量为的样本均值 确定的值 使XYXYnn 00 01P XY 解 由于 2 0 1 2 2 XYn XYN n 于是 22 nn P XYPXY 2 1 2 n 0 01 即 查表得 取 0 995 2 n 2 58 2 n 13 3128n 14n 11 设总体 为的一个样本 设 0 1 XN 126 X XX X 求常数 使分布 22 123456 YXXXXXX C 2 Y 解 由于独立同分布 126 X XX 所以 123456 0 3 0 3 XXXNXXXN 123456 0 1 0 1 33 XXXXXX NN 于是 22 123456 XXXXXX 22 123456 3 33 XXXXXX 22 12 YY 其中 22 22 12 1 1 33 YY 所以 2222 12123456 11 33 YYXXXXXX 2 1 2 3 Y 即 1 3 C 12 设为来自总体的样本 求 1210 X XX 0 0 09 N 10 2 1 1 44 i i PX 解 设总体为 则由可知X 0 0 09 XN 0 1 0 3 X N 0 1 0 3 i X N 1 2 10 i 由定理 可知 10 222 2 1 1 10 0 3 i i X 利用分布表 可得 2 10 2 1 1 44 i i PX 10 2 22 1 11 44 0 30 3 i i PX 2 16P 0 10 13 设是总体的一个样本 若统计量 125 X XX 0 1 XN 试确定 与 12 222 345 c XX Ut n XXX cn 解 由于独立同分布 所以 i X 1 2 3 4 5 i 且两者相互独立 由 分布 2222 12 345 0 1 3 2 XX NXXX t 定义知 222 12 345 3 3 2 XX UXXXt 故 3 2 c 3n 14 设总体 是样本 求的分 2 0 XN 12 X X 2 12 2 12 XX Y XX 布 解 记 则有 1212 22 XXXX UV 22 12 22 12 XXU Y XXV 由于 22 1212 0 2 0 2 XXNXXN 则 2222 0 1 0 1 1 1 UNVNUV 下面证明和相互独立 UV 因为 都服从标准正态分布 因此只要证明 互不相UV 0 1 NUV 关 即即可 由于 因此 cov 0U V 0 0E UE V cov U VE UVE U E VE UV 1212 2 1 2 EXXXX 22 12 2 1 2 E XX 22 12 2 1 0 2 E XE X 这样 2 2 1 1 U YF V 15 设总体 从二总体中分别抽取样本 2 1 XN 2 22 YN 得到下列数据 1 8n 10 5x 2 1 42 25s 2 10n 13 4y 2 2 56 25s 求概率 2 2 2 1 4 40 P 解 由于 22 12 22 12 7 9 SS FF 0 05 7 9 3 29F 故 3 305 0 05P F 从而 222 211 222 122 42 25 4 40 4 40 56 25 S PP S 3 305 P F 1 3 305 P F 1 0 05 0 95 B 1 设有个产品 其中有个次品 进行放回抽样 定义如下 NM i