1.3二项式定理（通用）

求展开式系数的六种常见类型求展开式系数的六种常见类型 求展开式中的系数是高考常考题型之一 本文以高考题为例 对二项式定理试题中求展 开式系数的问题加以归类与解析 一一 Nnba n 型型 例例 1 1 10 2 xy 的展开式中 64 x y项的系数是 A 840 B 840 C 210 D 210 解析 在通项公式 1r T 10 10 2 rrr Cyx 中令r 4 即得 10 2 xy 的展开式中 64 x y项的系数为 44 10 2 C 840 故选 A 例例 2 2 8 1 x x 展开式中 5 x的系数为 解析 通项公式 r rrrrr r xC x xCT 2 3 8 8 8 81 1 1 由题意得5 2 3 8 r 则 2 r 故所求 5 x的系数为28 1 2 8 2 C 评注 评注 常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数 由待定系数法确 定r的值 二二 Nmndcba mn 型型 例例 3 3 843 1 2 x x x x 的展开式中整理后的常数项等于 解析 34 2 x x 的通项公式为 3412 4 144 2 2 rrrrrr r TCxCx x 令 0412 r 则3 r 这时得 34 2 x x 的展开式中的常数项为 33 42 C 32 8 1 x x 的 通项公式为 88 2 188 1 kkkkk k TCxC x x 令028 k 则4 k 这时得 8 1 x x 的展开 式中的常数项为 4 8 C 70 故 843 1 2 x x x x 的展开式中常数项等于387032 例例 4 4 在 65 1 1 xx 的展开式中 含 3 x的项的系数是 A 5 B 5 C 10 D 10 解析 5 1 x 中 3 x的系数 3 5 C 10 6 1 x 中 3 x的系数为 33 6 1 C 20 故 65 1 1 xx 的展开式中 3 x的系数为10 故选 D 评注 评注 求型如 Nmndcba mn 的展开式中某一项的系数 可分别展开 两个二项式 由多项式加减法求得所求项的系数 三三 Nmndcba mn 型型 例例 5 5 72 2 1 xx的展开式中 3 x项的系数是 解析 7 2 x的展开式中x 3 x的系数分别为 61 7 2 C和 43 7 2 C 故 72 2 1 xx的展开式中 3 x项的系数为 61 7 2 C 43 7 2 C 1008 例例 6 6 8 11xx 的展开式中 5 x的系数是 A 14 B 14 C 28 D 28 略解 8 1 x的展开式中 4 x 5 x的系数分别为 4 8 C和 5 8 C 故 8 11xx 展开式 中 5 x的系数为 45 88 14CC 故选 B 评注 评注 求型如 Nmndcba mn 的展开式中某一项的系数 可分别展开两 个二项式 由多项式乘法求得所求项的系数 四四 Nncba n 型型 例例 7 7 5 2 1 2 x x 的展开式中整理后的常数项为 解法一 5 2 1 2 x x 5 2 1 2 x x 通项公式 5 2 15 1 2 2 k kk k x TC x 5 1 2 k x x 的通项公式为 5 5 15 2 rrk rk r rk TCx x 5 25 5 2 rr kk r k Cx 令 025 kr 则52 rk 可得2 1 rk或1 3 rk或0 5 rk 当2 1 rk时 得展开式中项为 1 122 2 54 15 2 2 2 2 C C 当1 3 rk时 得展开式中项为 311 522 2 2 20 2C C 当0 5 rk时 得展开式中项为 5 54 2 4 2C 综上 5 2 1 2 x x 的展开式中整理后的常数项为 15 263 2 20 24 2 22 解法二 5 2 1 2 x x 5 2 2 222 x xx 5 5 2 2 2 x x 5 10 2 2 x x 对于二项 式 10 2 x中 rrr r xCT 2 10 101 要得到常数项需510 r 即5 r 所以 常数项为 2 263 2 2 5 55 10 C 解法三 5 2 1 2 x x 是 5 个三项式 1 2 2 x x 相乘 常数项的产生有三种情况 在 5 个相乘的三项式 1 2 2 x x 中 从其中一个取 2 x 从另外 4 个三项式中选一个取 1 x 从剩余的 3 个三项式中取常数项相乘 可得 1133 543 1 2 20 2 2 CCC 从其中两 个取 2 x 从另外 3 个三项式中选两个取 1 x 从剩余的 1 个三项式中取常数项相乘 可得 222 53 115 22 22 CC 从 5 个相乘的三项式 1 2 2 x x 中取常数项相乘 可得 55 5 2 C 4 2 综上 5 2 1 2 x x 的展开式中整理后的常数项为 15 263 2 20 24 2 22 评注 评注 解法一 解法二的共同特点是 利用转化思想 把三项式转化为二项式来解决 解法三是利用二项式定理的推导方法来解决问题 本质上是利用加法原理和乘法原理 这 种方法可以直接求展开式中的某特定项 五五 1 1 mmn abababm nNmn 型型 例例 8 8 在 62 1 1 1 xxx 的展开式中 2 x项的系数是 用 数字作答 解析 由题意得 2 x项的系数为35 2 6 2 5 2 4 2 3 2 2 CCCCC 例例 9 9 在 1 x 5 1 x 6 1 x 7 1 x 8的展开式中 含x3的项的系数是 A 74 B 121 C 74 D 121 解析 1 x 5 1 x 6 1 x 7 1 x 8 5459 1 1 1 1 1 1 1 xxxx xx 5 1 x 中 4 x的系数为 4 5 5C 9 1 x 中 4 x的系数为 4 9 126C 126 5 121 故 选 D 评注 评注 例 8 的解法是先求出各展开式中 2 x项的系数 然后再相加 例 9 则从整体出发 把原式看作首相为 1 x 5 公比为 1 x 的等比数列的前 4 项和 用等比数列求和公式 减少项数 简化了运算 例 8 和例 9 的解答方法是求 1 1 mmn abababm nNmn 的展开式中某特定项系数的两种 常规方法 六六 求展开式中若干项系数的和或差 求展开式中若干项系数的和或差 例例 1010 若 2004 2004 2 210 2004 21 xaxaxaax Rx 则 20040302010 aaaaaaaa 用数字作答 解析 在 2004 2004 2 210 2004 21 xaxaxaax 中 令0 x 则1 0 a 令1 x 则1 1 2004 20043210 aaaaa 故 20040302010 aaaaaaaa 2003 0 a 2004 20043210 aaaaa 例例 1111 4234 01234 23 xaa xa xa xa x 则 2 31 2 420 aaaaa 的值为 A 1 B 1 C 0 D 2 解析 在 4234 01234 23 xaa xa xa xa x 中 令1 x 可得 43210 aaaaa 4 32 令1 x 可得 43210 aaaaa 4 32 所以 2 31 2 420 aaaaa 3142031420 aaaaaaaaaa 4321043210 aaaaaaaaaa 4 32 4 32 1 故选 A