高数答案(下)习题册答案 第六版下册 同济大学数学系 编

第八章 多元函数的微分法及其应用 1 多元函数概念 一 设 22222 yyxfyxyxyxyxf 求 二 求下列函数的定义域 1 22 2 1 1 yx yx yxf 1 22 xyyx 2 x y zarcsin 0 xxyyx 三 求下列极限 1 0 22 2 0 0 sin lim yx yx yx 2 x yx x y 3 2 1 lim 6 e 四 证明极限 不存在 24 2 0 0 lim yx yx yx 证明 当沿着 x 轴趋于 0 0 时 极限为零 当沿着趋于 0 0 时 极限为 2 xy 2 1 二者不相等 所以极限不存在 五 证明函数 在整个 xoy 面上连续 0 0 0 0 0 1 sin 22 yx yx yx xy yxf 证明 当时 当时 0 0 yx为初等函数 连续 yxf 0 0 yx 所以函数在 0 0 也连续 所以函 0 0 0 1 sinlim 22 0 0 f yx xy yx 数 在整个 xoy 面上连续 六 设且当 y 0 时 求 f x 及 z 的表达式 2 yxfyxz 2 xz 解 f x zxx 2 yxyyx 22 22 2 偏导数 1 设 z 验证 x y xexy zxy y z y x z x 422442222 22 yyxxyyxyyxf 答案 证明 x y x y x y ex e x y ey y z x z zxyxexyxy x y y z y x z x 2 求空间曲线在点 处切线与 y 轴正向夹角 2 1 22 y yxz 1 2 1 2 3 4 3 设 求 1 y x yxyyxfarcsin 1 2 1 xfx 4 设 求 y z xu x u y u z u 解 1 y z x y z x u xx y z y u y z ln 2 xx yz u y z ln 1 5 设 证明 222 zyxu uz u y u x u2 2 2 2 2 2 2 6 判断下面的函数在 0 0 处是否连续 是否可导 偏导 说明理由 0 0 0 1 sin 22 22 22 yx yx yx x yxf 连续 不存在 0 0 0 lim 0 0 fyxf y x 2 0 1 sinlim 0 0 x f x x 0 0 00 lim 0 0 0 y f y y 7 设函数 f x y 在点 a b 处的偏导数存在 求 x bxafbxaf x lim 0 2fx a b 3 全微分 1 单选题 1 二元函数 f x y 在点 x y 处连续是它在该点处偏导数存在的 A 必要条件而非充分条件 B 充分条件而非必要条件 C 充分必要条件 D 既非充分又非必要条件 2 对于二元函数 f x y 下列有关偏导数与全微分关系中正确的是 A 偏导数不连续 则全微分必不存在 B 偏导数连续 则全微分必存在 C 全微分存在 则偏导数必连续 D 全微分存在 而偏导数不一定 存在 2 求下列函数的全微分 1 x y ez 1 2 dy x dx x y edz x y 2 解 sin 2 xyz 2 cos 22 xydydxyxydz 3 解 z y xu xdzx z y xdyx z dxx z y du z y z y z y lnln 1 2 1 3 设 求 2cos yxyz 4 0 dz 解 dyyxyyxdxyxydz 2sin 2 2 cos 2sin 4 0 dzdydx 24 4 设 求 22 yx z zyxf 1 2 1 df 542 25 1 dzdydx 5 讨论函数在 0 0 点处 0 0 0 0 0 1 sin 22 22 yx yx yx yx yxf 的连续性 偏导数 可微性 解 所以在 0 0 点处连续 0 0 0 1 sin lim 22 22 0 0 f yx yx yx yxf 0 0 0 0 lim 0 0 0 0 0 0 lim 0 0 0 0 0 0 y fyf f x fxf f yx y yx x 所以可微 0 0 22 yx yxf 4 多元复合函数的求导法则 1 设 求 tv evtuuz sin dt dz 解 dt dz 1 cos sin lnsin sin tt etet ttette 2 设 求 32yx yxz y z x z 23123 23 3 ln xyxy z xy xyxyxy y 3 设 可微 证明 2 x y fxz n fnz y z y x z x 2 4 设 其中具有二阶连续偏导数 求 2 22 xyyxfz f 2 2 x z yx z 2 2 2 y z 解 12 22 z xfyf x 12 22 z yfxf y 2 111222122 2 2 2 22 2 2 z x fyfxfy fyfx x y 22 1111222 244 4fxyfxyfxyf 2 22 1111222 2 2484 z fx fxyfy f x 2 22 1111222 2 2484 z fy fxyfx f y 5 设 其中具有二阶连续偏导数 具有二阶连续导数 求 y x g x y xyfz fg yx z 2 解 12 2 1zy f yfg xxy 2 1111221222 2223 1111 zyx fy fxfffxfgg x yxxxxyy 6 设 求 zyxFu yxfz xy dx du 解 dx du 321 xffFxFF yx 7 设 且变换 可把方程 0 化为 vuzz ayxv yxu2 2 2 6 x z yx z 2 2 2 y z 0 2 vu z 其中具有二阶连续偏导数 求常数的值 za 3 a 证明 v z u z x z v z a u z y z 2 2 22 2 2 2 2 v u vu z u z x z 2 2 2 2 2 2 2 2 44 v u a vu z a u z y z 2 22 2 22 2 2 v u a vu z a u z yx z 得 a 30 6 510 2 2 2 2 v u aa vu z a 8 设函数 f x y 具有连续的一阶偏导数 f 1 1 1 af 1 1 1 bf 1 1 2 又 求 和 1 xxfxfxfx 1 1 a ab ab2 b3 5 隐函数的求导公式 1 设 求yxyy ln dx dy 解 令 lnF x yyyxy 1 1 ln ln xy dy FFy dxy 2 设由方程确定 其中可微 证明 yxzz 222 y z yfzyx f xz y z xy x z zyx22 222 3 设由方程所确定 其中可微 求 yxzz zy e z x f yx z 2 1 1 z z y z zx z x z yx z 2 3 1 zx z 4 设 求 22 222 1 yxz zyx dx dy dx dzdyx dxy 0 dz dx 5 设由方程所确定 可微 求 yxzz 0 xzzyxyFF y z x z 解 令 则 F x y z F xy yz xz 1312 2323 y x zz F FF yzFF xFzz xFyF FxFFxF 6 设由方程所确定 求 yxfz 0 yxz eyxzdzdydxdz 7 设 z z x y 由方程 所确定 求 yzyzx xy 3 cos 3 x z y z sin 3 cos 3ln 3 2 yzxyz yzy x z xy sin 3 1 sin 3ln 3 2 yzxyz yzxzx y z xy 6 微分法在几何中的应用 1 求螺旋线 在对应于处的切线及法平面方程tztytx3 sin2 cos2 4 t 解 切线方程为 3 22 4 322 z xy 法平面方程0 4 3 3 2 2 2 2 zyx 2 求曲线 在 3 4 5 处的切线及法平面方程 222 222 50 yxz zyx 解 切线方程为 法平面方程 0 5 3 4 4 3 zyx 034 yx 3 求曲面在 1 1 2 处的切平面及法线方程932 222 zyx 解 切平面方程为 0 2 2 1 3 1 2 zyx 及法线方程 2 2 3 1 2 1 zyx 4 设可微 证明由方程所确定的曲面在任一点处的切平面与一 vuf0 bzaybzaxf 定向量平行 证明 令 则 bzaybzaxfzyxF 21212121 bfbfafafnbfbfFafFafF zyx 所以在 处的切平面与定向量 平行 0 abbn 000 zyxabb 5 证明曲面 上任意一点处的切平面在三个坐标轴上的截距的平 3 2 3 2 3 2 3 2 azyx 0 a 方和为 2 a 证明 令 则 zyxF 3 2 3 2 3 2 3 2 azyx 3 2 3 2 3 2 3 1 3 1 3 1 zFyFxF zyx 在任一点处的切平面方程为 000 zyx0 0 3 1 00 3 1 00 3 1 0 zzzyyyxxx 在在三个坐标轴上的截距分别为在三个坐标轴上的截距的平方和为 3 2 3 1 0 3 2 3 1 0 3 2 3 1 0 azayax 2 a 证明曲面上任意一点处的切平面都通过原点 x y xfz 0 0000 xzyxM 7 设 F x y z 具有连续偏导数 且对任意实数 t 总有 zyxFttztytxF k k 为自然数 试证 曲面 F x y z 0 上任意一点的切平面都相交于一定点 证明 两边对 t 求导 并令 t 1 zyxFttztytxF k zyxkFzFyFxF zyx 设是曲面上任意一点 则过这点的切平面为 0 0000 xxzyxFx 0000 yyzyxFy 0000 zzzyxFz 此平面过原点 0 0 0 7 方向导数与梯度 1 设函数 1 求该函数在点 1 3 处的梯度 22 yxyxyxf 2 在点 1 3 处沿着方向的方向导数 并求方向导数达到最大和最小的方向l 解 梯度为 5 3 1 jigradf 方向导数达到最大值的方向为 方向导数达 sin5cos 3 1 l f 5 1 s 到 最小值的方向为 5 1 s 2 求函数在 1 2 1 处沿方向角为的 222 zxyzxyu 000 1509060 方向导数 并求在该点处方向导数达到最大值的方向及最大方向导数的值 解 方向导数 为 该点处方向导数达到最大值的方向即为梯度的方向 2 33 1 1 2 1 l u 此时最大值为 kjigradu352 1 2 1 38 1 2 1 l u 3 求函数在 1 1 1 处沿曲线在 1 1 1 处的切线正方 32z xyu 32 tztytx 向 对应于 t 增大的方向 的方向导数 解 该函数在点 1 1 1 处的方 22332 3 2 zxy z u xyz y u zy x u 3 2 1 s 向导数为 14 4 1 1 1 l u 4 求函数在 1 1 1 处的梯度 ln 222 xzyu 解 222222222 2 2 2 zyx z z u zyx y y u zyx x x u kjigradu 3 2 3 2 3 2 1 1 1 8 多元函数的极值及求法 1 求函数的极值 22233 22 yxyxyxf 答案 极小值点 3 1 3 1 2 求函数的极值yxyxyxfln18ln2 22 答案 极小值3ln1810 3 1 f 3 函数在点 1 1 处取得极值 求常数 a 5 yxyaxxyxf22 22 4 求函数在条件下的条件极值1 22 yxz03 yx 解 3 1 22 yxyxyxF 极小值为 0 0 y x F F 3 2 3 2 2 11 5 欲造一个无盖的长方体容器 已知底部造价为 3 元 平方 侧面造价均为 1 元 平方 现想用 36 元造一个容积最大的容器 求它的尺寸 长和宽 2 米 高 3 米 6 在球面 上求一点 使函数 2222 5rzyx 0 0 0 zyx 达到极大值 并求此时的极大值 利用此极大值zyxzyxfln3lnln 证明 有cba 53 5 27 cba abc 证明 令zyxLln3lnln 5 2222 rzyx 令 解得驻点 所以函数0 0 0 z L y L x L 2222 5rzyx rzryx3 在处达到极大值 极大值为 zyxzyxfln3lnln rzryx3 33ln 5 r 即 令 53 33rxyz 5 222 523222 5 27 27 zyx rzyx 得 222 czbyax 53 5 27 cba abc 7 求椭球面被平面 x y z 0 截得的椭圆的长半轴与短半轴1 23 2 22 z yx 的 长度 解 1 23 2 2 22 1 222 zyxz yx zyxF 0 1 23 022 02 0 3 2 2 2 22 21 21 2 1 zyx z yx zzF yyF x xF y y x 3 2 3 1 2 x 1 2 2 y 1 2 1 2 z 2222 1 dzyx 长半轴 短半轴 6 1311 1 6 1311 6 1311 第八章 自测题 一 一 选择题 每题 2 分 共 14 分 1 设有二元函数 则 0 0 0 0 0 42 2 yx yx yx yx yxf A 存在 lim 0 0 yxf yx B 不存在 lim 0 0 yxf yx C 存在 且在 0 0 处不连续 lim 0 0 yxf yx yxf D 存在 且在 0 0 处连续 lim 0 0 yxf yx yxf 2 函数在各一阶偏导数存在且连续是在连续的 yxf 000 yxP yxf 000 yxP A 必要条件 B 充分条件 C 充要条件 D 既非必要也非充分条件 3 函数 在 0 0 点处 yx yx yx xy yxf 0 A 极限值为 1 B 极限值为 1 C 连续 D 无极限 4 在处 存在是函数在该点可微分的 yxfz 000 yxP yxfx yxfy A 必要条件 B 充分条件 C 充要条件 D 既非必要亦非充分条件 5 点是函数的 0 0 O 2 xyz A 极小值点 B 驻点但非极值点 C 极大值点 D 最大值点 6 曲面在点P 2 1 0 处的切平面方程是 3 xyze z A B 042 yx42 zyx C D 042 yx052 yx 7 已知函数均有一阶连续偏导数 那么 uf t x y xs tys t u t A B xtyt ff txtyt fff C D tt ff ttt fff 二 二 填空题 每题 分 共 18 分 1 0 22 2 0 0 sin lim yx yx yx 设 则 xyz ezyxf zyx f 3 31 222 zyxxyze xyz 设则 0 0 0 0 sin 2 xy xy y xy yxf 1 0 x f 设 则在点处的全微分 x yxz 2 0 1 2 dydxdz 曲线在点处的切线方程为 zx xy 2 2 1 1 1 0 P 4 1 1 1 2 1 zyx 曲线在点 1 1 1 处的切线方程为 4642 3 222 zyx xzyx 0 1 1 1 2 1 zyx 三 计算题 每题 6 分 1 设 求的一阶偏导数 ln 22 yxxyxf yxf 22 2 22 2 ln yx x yxyxfx 22 2 yx xy yxfy 2 设 求此函数在点处的全微分 并求该函数在该点处沿着从 y x xyxfln 1 1 0 P P 到方向的方向导数 0 1 2 1 Pdydxdf 2 1 1 1 5 2 l f 设具有各二阶连续偏导数 求 f x y yxfz 2 yx z 2 解 解 yx z 2 2 1 1 2 x xf 2 f 22 3 1211 3 2f x y yffx yx z 2 设 求和 0 0 0 1 sin 22 22 22 22 yx yx yx yx yxf yxfx yxfy 不存在 故不存在 故不存在 同理 不存在 同理 也不存在 也不存在 x x x x fxf xx 2 00 1 sin lim 0 0 0 0 lim 0 0 x f 0 0 y f 当当时 有时 有 0 0 yx 222 322 2222 1 cos 21 sin yxyx x yxyx x yxfx 222 322 2222 1 cos 21 sin yxyx y yxyx y yxfy 设由方程所确定 求 yxfz 0 yxz eyxzdzdydxdz 设 具有连续的二阶偏导数 可导 求 xyyxfz f yx z 2 21 fxf x z 22211211 2 yffyffx yx z 221211 1 fyfyxfx 设确定函数 求 0 0 222 22 uxy uyx yxyxuu yx u 2222 22 2 22 2 2 2 2 4 2 4 u xyyu y u xyy y u u yx x u uxu x u 设 式中二阶可导 求 1 222 222 zyxf zyx u f 2 2 2 2 2 2 z u y u x u 解 记解 记 则 则 222 zyxr 1 rrf r rf u y r rfrrf y u x r rfrrf x u 33 z r rfrrf z u 3 3 2 5 2 2 2 3 r rfrrf x r rfrrfrfr x u 类似地 有类似地 有 3 2 5 2 2 2 3 r rfrrf y r rfrrfrfr y u 3 2 5 2 2 2 3 r rfrrf z r rfrrfrfr z u 3 2 5 2 2 2 2 2 2 2 3 3 r rfrrf r r rfrrfrfr z u y u x u r rf 四 分 试分解正数为三个正数之和 而使它们的倒数和为最小 a 设三个正数为设三个正数为 则 则 记 记 令 令zyx azyx zyx F 111 111 azyx zyx 则由则由 解出解出 azyx z y x z y x 0 1 0 1 0 1 2 2 2 3 a zyx 五 证明题 分 试证 曲面上任一点处的切平面都平行于一条直线 式中连续可导 zyfxz f 证明 曲面在任一点证明 曲面在任一点处的切平面的法向量为处的切平面的法向量为 zyxM ffn 1 1 定直线定直线 L 的方向向量若为的方向向量若为 则 则 1 1 1 s 即 即0 snsn 则曲面上任一点的切平面平行于以则曲面上任一点的切平面平行于以 1 1 1 为方向的定直线 为方向的定直线 第九章重积分 1 二重积分的概念与性质 1 由二重积分的几何意义求二重积分的值 其中 D 为 dxdyyxI D 22 4 22 yx dxdyyxI D 22 3 16 2 4 3 1 2 4 2 设 D 为圆域若积分 求 a 的值 0 222 aayx dxdyyxa D 222 12 解 dxdyyxa D 222 3 3 4 2 1 a 8 1 a 3 设 D 由圆求 2 1 2 22 且且 yx D dxdy3 解 由于 D 的面积为 故 D dxdy3 6 2 4 设 D 10 53 yxyx 比较 与的大小关系 DD dxdyyxIdxdyyxI 2 21 ln ln 1 I 2 I 解 在 D 上 故 ln yx 2 ln yx 1 I 2 I 5 设 f t 连续 则由平面 z 0 柱面 和曲面所围的 1 22 yx 2 xyfz 立体的体积 可用二重积分表示为 1 2 22 yxD dxdyxyfV 6 根据二重积分的性质估计下列积分的值 D ydxdyx 22 sinsin yxD0 0 0 D ydxdyx 22 sinsin 2 7 设 f x y 为有界闭区域 D 222 ayx 上的连续函数 求 D a dxdyyxf a 1 lim 2 0 解 利用积分中值定理及连续性有 0 0 lim 1 lim 0 8 2 0 ffdxdyyxf a a D a 2 二重积分的计算法 1 设 其中 D 是由抛物线与直线 y 2x x 0 所围成的区 D dxdy y x I 1 1 2 xy 域 则 I A B 2 1 2ln3ln 8 7 2 1 2ln3ln 8 9 C D 2 1 2ln3ln 8 9 4 1 2ln3ln 8 9 2 设 D 是由不等式所确定的有界区域 则二重积分为 1 yx D dxdyyx A 0 B C D 1 3 1 3 2 3 设 D 是由曲线 xy 1 与直线 x 1 x 2 及 y 2 所围成的区域 则二重积分 为 D xydxdy ye A B eee 2 1 2 1 24 2 1 24 2 1 2 1 eeee C D ee 2 1 2 1 4 24 2 1 ee 4 设 f x y 是连续函数 则二次积分为 dyyxfdx x x 2 1 1 0 1 A B dxyxfdydxyxfdy yy 1 1 2 1 1 1 1 0 2 dxyxfdy y 1 1 1 0 C D dxyxfdydxyxfdy yy 1 1 2 1 1 1 1 0 2 dxyxfdy y 1 1 2 0 2 5 设有界闭域 D1 D2关于 oy 轴对称 f 是域 D D1 D2上的连续函数 则二重 积分为 D dxdyyxf 2 A B 1 2 2 D dxdyyxf 2 2 4 D dxdyyxf C D 1 4 2 D dxdyyxf 2 2 2 1 D dxdyyxf 6 设 D1是由 ox 轴 oy 轴及直线 x y 1 所围成的有界闭域 f 是域 D x y 1 上的连续函数 则二重积分为 D dxdyyxf 22 A B 1 2 22 D dxdyyxf 1 4 22 D dxdyyxf C D 1 8 22 D dxdyyxf 1 2 1 22 D dxdyyxf 7 设 f x y 为连续函数 则为 ax dyyxfdx 00 A B aa y dxyxfdy 0 ay a dxyxfdy 0 C D ay dxyxfdy 00 ax dxyxfdy 00 8 求 其中 由 x 2 y x xy 1 所围成 D dxdy y x I 2 2 D 4 9 9 设 I 交换积分次序后 I 为 3 1 ln 0 x dyyxfdx I 3 1 ln 0 x dyyxfdx 3ln 0 3 y e dxyxfdy 10 改变二次积分的次序 4 2 4 0 2 00 xx dyyxfdxdyyxfdx 2 0 1 2 2 1 x x dx y dxx 11 设 D x y 0 x 1 0 y 1 求的值 D yx dxdye 解 D yx dxdye 1 0 2 1 0 1 0 1 0 1 edyedxedyedx yx l yx 12 设 I 其中 D 是由 x2 y2 Rx 所围城的区域 求 I D dxdyyxR 2223 3 1 R 13 计算二重积分 其中 D 是圆域 D dxdyyx 4 22 9 22 yx 解 D dxdyyx 4 22 rdrrdrdrrd 2 0 3 2 2 2 0 2 0 2 4 4 2 41 14 计算二重积分 其中 D x y 0 x 1 0 y 1 D yx dxdye max 22 解 D yx dxdye 22 max 1 1 00 1 00 22 edxeddyedx y y x x y 15 计算二重积分 D D dxdy yx yx 22 1 1 22 yxyx 解 D dxdy yx yx 22 2 4 sin cos 2 0 1 sincos 1 2 rdr r r d 3 三重积分 1 设是由 x 0 y 0 z 0 及 x 2y z 1 所围成的空间有界域 则为 xdxdydz A B 1 0 21 0 1 0 yx yxdzddx 2 1 0 21 0 1 0 y yx xdydzdx C D 2 1 0 21 0 1 0 x yx xdzdydx 1 0 1 0 1 0 xdzdydx 2 设是由曲面 x2 y2 2z 及 z 2 所围成的空间有界域 在柱面坐标系下将三 重积分表示为累次积分 I dxdydzzyxf A B 1 0 2 0 2 0 2 z dz sin cosf dd 2 0 2 0 2 0 2 dzz sin cosf dd C D 2 0 2 2 2 0 2 dzz sin cosf dd 2 0 2 0 2 0 dzz sin cosf dd 3 设是由所确定的有界闭域 求三重积分 1 222 zyx dve z 解 2 dve z 1 1 1 222 zyx z dzdxdye 1 0 2 2 1 dzze z 4 设是由曲面 z xy y x x 1 及 z 0 所围成的空间区域 求 dxdydzzxy 32 1 364 5 设是球域 求 0 1 222 zyx dxdydz zyx zyxz 1 1ln 222 222 6 计算 其中为 平面 z 2 与曲面所围成的 Q dxdydzyx 22 222 2zyx 区域 5 64 7 计算其中是由平面 z 0 z y y 1 以及 y x2所围成的闭区域 Q zdxdydzx2 2 27 8 设函数 f u 有连续导数 且 f 0 0 求dxdydzzyxf t tzyx t 1 lim 2222 222 4 0 解 dxdydzzyxf t tzyx t 2222 222 4 0 1 lim 0 4 limsin 1 lim 4 0 2 00 2 2 00 4 0 f t drrfr drrrfdd t t t t t 4 重积分的应用 1 1 由面积 2x 4x y x y 0 所围成的图形面积为 22 yx 22 yx A B C D 2 4 1 2 2 1 2 4 3 2 2 位于两圆与之间 质量分布均匀的薄板重心坐标是 sin2 sin4 A 0 B 0 C 0 D 0 3 5 3 6 3 7 3 8 3 由抛物面和平面 x 2 所围成的质量分布均匀的物体的重心坐标是 xyz4 22 A B C D 0 0 3 4 0 0 3 5 0 0 4 5 0 0 4 7 4 质量分布均匀 密度为 的立方体所占有空间区域 该立方体到 oz 轴的转动惯量 IZ 10 10 10 zyxzyx A B C D 3 1 3 2 3 4 2 求均匀上半球体 半径为 R 的质心 解 显然质心在 z 轴上 故 x y 0 z 故质心为 0 0 8 31R zdv V R 3 8 4 曲面将球面分割成三部分 由上至下依次记 22 13yxz 25 222 zyx 这三部分曲面的面积为 s1 s2 s3 求s1 s2 s3 解 10 25 5 9 22 2 dxdy yx yx 1 S 20 25 5 16 22 2 dxdy yx yx 3 S 70 2 S 5 求曲面包含在圆柱内部的那部分面积xyRz 222 Ryx 解 3 122 2 2 222 22 R dxdy R yxR Ryx S 6 求圆柱体包含在抛物面和 xoy 平面之间那部分立Rxyx2 22 Rzyx2 22 体的体积 解 4 3 2 1 3 22 2 2 R dxdyyx R Rxyx V 第九章 自测题 一 选择题 40 分 1 1 x dyyxfdx 1 0 1 0 A A B B 1 0 1 0 dxyxfdy x x dxyxfdy 1 0 1 0 C C D D 1 0 1 0 dxyxfdy y dxyxfdy 1 0 1 0 2 2 设 设为为 当当 时 D 222 ayx a D dxdyyxa 222 A 1 B B C C D D 3 2 3 3 4 3 3 2 1 3 设 其中由所围成 则 B D dxdyyxI 22 D 222 ayx I A B 4 0 2 2 0 ardrad a 4 0 2 2 0 2 1 ardrrd a C D 3 0 2 2 0 3 2 adrrd a 4 0 2 2 0 2 aadrad a 4 设是由三个坐标面与平面 1 所围成的空间区域 则 zyx 2 xdxdydz A B C D 48 1 48 1 24 1 24 1 5 5 设设 D dxdyyxI 22 其其中中D由由 222 ayx 所所 围围成成 则则I A A 4 0 2 2 0 ardrad a B B 4 0 2 2 0 2 1 ardrrd a C C 3 0 2 2 0 3 2 adrrd a D D 4 0 2 2 0 2 aadrad a 6 6 设设 是是由由三三个个坐坐标标面面与与平平面面zyx 2 1 1 所所围围成成的的 空空间间区区域域 则则 xdxdydz A A 48 1 B B 48 1 C C 24 1 D D 24 1 5 设是锥面与平面所围成的 0 2 2 2 2 2 2 a b y a x c z 0 0 cbczyx 0 0 空间区域在第一卦限的部分 则 dxdydz z xy A B B C C D cba 22 36 1 bba 22 36 1 acb 22 36 1 abc 36 1 6 计算 围成的立体 则正确的为 和 zdvI1 222 zyxz为 A B 1 0 1 0 2 0 zdzrdrdI 11 0 2 0r zdzrdrdI C C D D 11 0 2 0r rdrdzdI z zrdrddzI 0 2 0 1 0 7 曲面包含在圆柱内部的那部分面积 22 yxz xyx2 22 s A B C D 3 2 5 22 8 由直线所围成的质量分布均匀 设面密度为 的平面薄2 2 2 yxyx 板 关于轴的转动惯量 x x I A A B B C C D D 3 5 4 6 二 计算下列二重积分 20 分 1 其中是闭区域 D dyx 22 D 0 sin0 xxy 9 40 2 2 其中是由直线及圆周 所围 D d x y arctanD0 y1 4 2222 yxyxxy 成的在第一象 限内的闭区域 2 64 3 3 其中是闭区 域 D dyxy 963 2 D 222 Ryx 24 9 4 RR 4 其中 D dyx 2 22 D3 22 yx 2 5 三 作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序 15 分 1 1 yy dxyxfdydxyxfdy 3 0 3 1 2 0 1 0 x x dyyxfdx 3 2 2 0 2 2 2 111 0 x x dyyxfdx 22 2 0 2 10 1 0 yyy dxyxfdydxyxfdy 3 3 00 sin cos rdrrrfd a 00 sin cos rdrrrfd a 四 计算下列三重积分 15 分 1 抛物柱面所围 cos dxdydzzxyxy 2 zxozoy及平面 成的区域 2 1 16 2 2 其中是由平面上曲线绕轴旋转而成的曲面与 22 dvzy xoyxy2 2 x 平面所围 5 x 3 250 五 5 分 求平面被三坐标面所割出的有限部分的面积 1 c z b y a x 222222 2 1 accbba 六 5 分 设在上连续 试证 xf 1 0 3 1 0 1 0 1 6 1 dxxfdxdydzzfyfxf x y x 0 0 1 0 0 FdxxftF xfxFdttfxF x 且 且 1 0 1 x y x dxdydzzfyfxf dyxFyFyfdxxf x 1 0 1 dxxFFxFxFFxf 1 1 2 1 2 1 0 22 1 2 1 1 6 1 1 2 1 333 FFF 1 6 1 3 F 第十章 曲线积分与曲面积分 1 对弧长的曲线积分 1 1 设 关于 轴对称 表示在 轴上侧的部分 当关于是偶函数时 Lx 1 LLx yxf y L dsyxf A 0 B C D ABC 都不对 1 2 L dsyxf 1 2 L dsyxf 2 设是以点为顶点的正方形边界 则 L 1 0 0 1 1 0 0 1 DCBA L yx ds A 4 B 2 C D 2422 3 有物质沿曲线 分布 其线密度为 则它 L 10 3 2 32 t t z t ytx 2y 的质量 m A B C D 1 0 42 1dtttt 1 0 422 1dtttt 1 0 42 1dttt 1 0 42 1dtttt 4 求其中L为由所围区域的整个边界 L xds 2 xyxy 解 2 2 155 12 1 2 4 1 1 1 0 1 0 xdxdy y y 5 其中L为双纽线 dsy L 0 222222 ayxayx 解 原积分 222sin4sin44 2 0 2 0 2 2 44 1 adadrrrdsy L 6 其中L为 L dsyx 22 0 22 aaxyx 原积分 2 2 2 0 2cos2aadtta 7 其中L为球面与平面的交线 2 L dsx 2222 azyx 0 yx 解 将代入方程得于是yx 2222 azyx 222 2azx L 的参数方程 又tazt a yt a xsin sin 2 cos 2 adtds 原积分 2 0 32 2 2 cos 2 aadtt a 8 求均匀弧 的重心坐标 0 sin cos tezteytex ttt 33 3 0 dteMdteds tt 5 2 3cos 1 0 0 dtete M x tt 2 1 5 1 00 zy 2 对坐标的曲线积分 一 选择题一 选择题 1 设关于 轴对称 表示在 轴上侧的部分 当关于是偶函数 Lx 1 LLx yxP y 时 A 0 B C D ABC 都不对 L dxyxP 1 2 L dxyxP 1 2 L dxyxP 2 设为的正向 则 A 0 B 4 C 2 D 2L1 yx L yx ydyxdx 3 为的正向 A 2 B 2 C 0 D L 222 ayx L yx dyyxdxyx 22 二 计算 1 其中由曲线从 dyyxdxyx L 2222 L 2011 xxy 到方向 0 2A 0 0O 解 1 1B01 12 2 xxyBOxxyAB I BOAB 3 4 122 0 1 22 1 2 222 dxxxdxxxdxxx 2 其中是正向圆周曲线 dyyxxxyydxyx L ln 2222 L 222 ayx 解 由奇偶对称性 0 22 L dxyxL sin costtaytax I dttattadtttacos1lncossincossin 3224 4 cossin 4 224 a dttta 3 其中为从点到的有向线段 dzyxydyxdx1 1 1 1A 4 3 2B 解 方程 13 12 1 tztytx I 13614 1 0 dtt 三 过和的曲线族 求曲线使沿该曲线从 0 0O 0 A 0sin axayL 到的积分的值最小 0 0O 0 A dyyxdxy L 21 3 解 3 0 33 3 4 4cossin2sin1aadxxaxaxxaaI 最小 此时 0811 014 2 IaaaI 1 a aIxysin 四 空间每一点处有力 其大小与到轴的距离成反 zyxP zyxF zyxP z 比 方向垂直指向 轴 试求当质点沿圆周从点到ztzytxsin 1 cos 0 1 1M 时 力所作的功 1 1 0N zyxF 解 由已知 0 2222 yx ky yx kx zyxF 2ln 2 cos 1cos cos 2 0 22222 k td t tk dy yx ky dx yx kx W L 五 将积分化为对弧长的积分 其中L 沿上半圆周yyxQxyxP L d d 02 22 xyx 0 2 0 0 BO到从 解 2 2 xxy x xx x yd 2 1 d 2 xydsd1 2 x xx d 2 1 2 于是 s x d d cos 2 2 xx x s y 1 d d cos yyxQxyxP L d d sxyxQxxyxP L d 1 2 2 3 格林公式及其应用 一 选择题选择题 1 若是上半椭圆取顺时针方向 则 L sin cos tby tax L xdyydx A 0 B C D ab 2 ab ab 2 2 设为的正向 则L 222 ayx L yx ydyxdxxy 22 22 A 2 B 2 C 0 D 3 设为曲线的正向 则L9 22 yx dyxxdxyxy L 422 2 A 9 B 18 C 9 D 0 二 计算题 1 设是圆取逆时针方向 则 L12 22 xyx L y xyx dyedxyx 2 ln 22 22 2 解 将方程代入被积函数在由格林公式得 LD y dxdydyedxx0 00 21ln 2 2 其中为点到的抛物线 L dyyxxydxxyxy 3sin21cos2 3233 L 0 0O 1 2 A 的弧段xy 2 2 解 因故积分与路径无关 取 y P x Q 0 2 B I 42 3 2 sin210 2 1 0 2 2 dyyy BAOB 3 求 为 1 2 正方形边界的正向 L yx xdyydx I 22 L 111 22 yx1 yx 解 1 直接用格林公式 0 2 设 为圆周 取逆时针方向 其参数方程l 222 ryx 20 sin cos ttrytrx 原积分为所以 lDlLl dxdy0 2 cossin 2 0 2 2222 2222 dt r trtr yx xdyydx yx xdyydx lL 4 验证在面上是某函数的全微分 求出 dyexydxyey xx 2 2 xoy yxu yxu 解 x ey y P x Q 2 x yexyyxu 2 5 设曲线积分与路径无关 其中具有连续的导数 且 dyxydxxy 2 x 计算的值 00 1 1 0 0 2 dyxydxxy 解 取路径 沿从到 再沿从到则0 x 0 0 1 01 y 1 0 1 1 2 1 0 1 0 1 0 xdxdyyI 或 2 00 2xxx y P x Q 且且 4 对面积的曲面积分 1 计算曲面积分 其中是平面在第一卦限的 dsyxz 3 4 2 1 432 zyx 部分 解 xy D x dydxdxdy y x yx I 2 0 2 1 3 0 614 3 61 4 3 61 3 4 2 32 1 4 2 求曲面积分 其中是界于平面 z 0 和 z H 之间的圆柱面 ds zyx 222 1 222 Ryx 解 R R H D dy yR dz zR Rdydz yR y zR I yz 22 0 2222 2 22 1 1 21 1 2 2 R H R y R z R R H arctan2 arcsin arctan 0 3 求曲面积分 其中是锥面被柱面 dszxyzxy 22 yxz 所截得的有限部分 axyx2 22 解 dxdyyxyxxyI xy D 2 22 2 2 cos2 0 2 2 sin cossincos a rdrrrrd 4 2 15 64 a 5 对坐标的曲面积分 一 选择题 1 设关于面对称反向 是在面的前侧部分 若关于 为偶函 yoz 1 yoz zyxP x 数 则 dydzzyxP A 0 B C D ABC 都不对 1 2dydzzyxP 1 2dydzzyxP 2 设取上侧 则下述积分不等于零的是 0 2222 zazyx A B C D dydzx2 xdydz ydxdy zdxdz 3 设为球面取外侧 为其上半球面 则有 1 222 zyx 1 A B C D 0 1 2zdszds 1 2zdxdyzdxdy 1 22 2dxdyzdxdyz 二 计算 1 其中由及三个坐标面所围成闭曲面的外侧 dxdyzdzdxydydzx 222 1 zyx 11 22 2 00 1 11 12 1 4 xy x D z dxdyxydxdydxxydy 解 由轮换对称性原式 2 其中为锥面被平面所截部分的外侧 xy dydz 22 yxz 1 z 22 21 2 22 22 00 1 0 cos 3 x xy ydydz x xdydzxz dxdydxdydrdr xy 解 由对称性 原式 3 其中为被平面所截部 dxdyxzdzdxzydydzyx 22 yxz 1 z 分 其法向量与 z 轴成锐角 22 2222 1 21 32 00 0 22 cos 2 xy ydydzzdzdx xyzxdxdyxyx dxdy drrdr 解 由对称性 原式 三 用两类曲面积分之间的关系计算 1 求其中是柱面在部分 dSzyx coscoscos 333 222 ayx hz 0 是的外法线的方向余弦 cos cos cos 32 2 3 33224442 00 3 224cos 4 ha a x dydzy dzdxzdxdy dxdy x dydzx dydzdzaydyhatdta h 解 原式 由奇偶对称性 及 0 得 原式 2 其中为连续函数 dxdyzzyxfdzdxyzyzfdydzxzyxf 2 zyxf 为平面在第四卦限部分的上侧 1 zyx 1 1 1 n 解 的法向量为 3 1 cos 3 1 cos 3 1 cos 1 3 xyz dS 原式 xy D dxdy31 3 1 2 1 四 试求向量穿过由及及所围成圆台外侧 k yx e jziA z 22 22 yxz 1 z2 z 面 不含上下底 的流量 22 22 22 01 0 21 z z r e dydzzdzdxdxdy xy e dxdydydzzdzdx xy de dree 解 由奇偶对称性知 6 6 高斯公式高斯公式 1 设是抛物面介于及之间部分的下侧 求 2 1 22 yxz 0 z2 z zdxdydydzxz 2 8 2 设为取外侧 求 222 1xyz 222 111x xdydzy ydzdxz zdxdy 32 5 3 设为平面在第一卦限部分的上侧 则 1xyz xydydzyzdzdxxzdxdy 1 8 4 求矢量场穿过曲面所 333 Ax iy jz k 22222 0zRRxyRzxy 与 围成的闭曲面外侧的通量 5 28 5 R 5 求 其中有连续的二阶导数 是 zdxdydzdx y x f x dydz y x f y 11 uf 所围立体的外侧 2222 8 zxyzxy 22 22 222 00 4 828216 xy dVxydxdydrrdr A 解 原式 6 求 其中是 dxdyzyxydzdxzyxdydzxz 2322 2 及所围曲面的外侧 222 yxaz 0 z 2 2 22245 000 2 sin 5 a xyzdVddr dra A 解 原式 7 其中为取外侧 2 3 222 zyx zdxdyydzdxxdydz 2222 xyzR 33 11 34xdydzydzdxzdxdydV RR AA 解 原式 7 7 斯托克斯公式斯托克斯公式 1 设为依参数增大方向的椭圆 L 求 20cos cossin2 sin 22 ttazttaytax 0 dzy