高二数学推理与证明知识点与习题

选修选修 2 22 2 推理与证明 推理与证明 一 推理一 推理 1 推理 前提 结论 2 合情推理 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类 1 归纳推理 由某类事物的部分对象具有某些特征 推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理 或者由个别 事实概括出一般结论的推理 简言之 归纳推理是由部分到整体 由个别到一般的推理 2 类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征 推出另一类对象也具有这些特 征的推理 简言之 类比推理是由特殊到特殊的推理 3 演绎推理 从一般性的原理出发 推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理 简言之 演绎推理是由一般到特殊的推理 重难点 利用合情推理的原理提出猜想 利用演绎推理的形式进行证明 题型题型 1 1 用归纳推理发现规律用归纳推理发现规律 1 观察 对于任意正实数 试写出7152 11 5 516 52 11 331932 11 a b 使成立的一个条件可以是 2 11ab 点拨 前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为 22 故22 ba 2 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师 单个蜂 巢可以近似地看作是一个正六边形 如图为一组蜂 巢的截面图 其中第一个图有 1 个蜂巢 第二个图 有 7 个蜂巢 第三个图有 19 个蜂巢 按此规律 以 表示第幅图的蜂巢总数 则 f nn 4 f f n 解题思路 找出的关系式 1 nfnf 解析 1261 3 61 2 1 1 fff37181261 4 f 133 1 6181261 2 nnnnf 点评 处理 递推型 问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系 题型题型 2 2 用类比推理猜想新的命题用类比推理猜想新的命题 例 已知正三角形内切圆的半径是高的 把这个结论推广到空间正四面体 类似的结论是 1 3 解题思路 从方法的类比入手 解析 原问题的解法为等面积法 即 类比问题的解法应为等体积法 hrarahS 3 1 2 1 3 2 1 即正四面体的内切球的半径是高hrSrShV 4 1 3 1 4 3 1 4 1 点评 1 不仅要注意形式的类比 还要注意方法的类比 2 类比推理常见的情形有 平面向空间类比 低维向高维类比 等差数列与等比数列类比 实数集的性质向复数 集的性质类比 圆锥曲线间的类比等 二 直接证明与间接证明二 直接证明与间接证明 三种证明方法 综合法 分析法 反证法 反证法 它是一种间接的证明方法 用这种方法证明一个命题的一般步骤 1 假设命题的结论不成立 2 根据假设进行推理 直到推理中导出矛盾为止 3 断言假设不成立 4 肯定原命题的结论成立 重难点 在函数 三角变换 不等式 立体几何 解析几何等不同的数学问题中 选择好证明方法并运用三种证明方 法分析问题或证明数学命题 考点考点 1 综合法综合法 在锐角三角形中 求证 ABCCBACBAcoscoscossinsinsin 解析 为锐角三角形 ABC BABA 22 在上是增函数 xysin 2 0 BBAcos 2 sin sin 同理可得 CBcossin ACcossin CBACBAcoscoscossinsinsin 考点考点 2 分析法分析法 已知 求证0 bababa 解析 要证 只需证baba 22 baba 即 只需证 即证baabba 2abb ab 显然成立 因此成立ab baba 点评 注意分析法的 格式 是 要证 只需证 而不是 因为 所以 考点考点 3 反证法反证法 已知 证明方程没有负数根 1 1 2 a x x axf x 0 xf 解题思路 正难则反 选择反证法 因涉及方程的根 可从范围方面寻找矛盾 解析 假设是的负数根 则且且 0 x0 xf0 0 x1 0 x 1 2 0 0 0 x x ax 解得 这与矛盾 1 1 2 010 0 0 0 x x ax2 2 1 0 x0 0 x 故方程没有负数根0 xf 点评 否定性命题从正面突破往往比较困难 故用反证法比较多 三 数学归纳法三 数学归纳法 一般地 当要证明一个命题对于不小于某正整数 N 的所有正整数 n 都成立时 可以用以下两个步骤 1 证明当 n n0 时命题成立 2 假设当 n k 0 nkNk 且 时命题成立 证明 n k 1 时命题也成立 在完成了这两个步骤后 就可以断定命题对于不小于 n0 的所有正整数都成立 这种证明方法称为数学归纳法 考点考点 1 数学归纳法数学归纳法 题型 对数学归纳法的两个步骤的认识 例 1 已知 n 是正偶数 用数学归纳法证明时 若已假设 n k 且为偶数 时命题为真 则还需证明 2 k A n k 1 时命题成立 B n k 2 时命题成立 C n 2k 2 时命题成立 D n 2 k 2 时命题成立 解析 因 n 是正偶数 故只需证等式对所有偶数都成立 因 k 的下一个偶数是 k 2 故选 B 名师指引 用数学归纳法证明时 要注意观察几个方面 1 n 的范围以及递推的起点 2 观察首末两项的次数 或其它 确定 n k 时命题的形式 3 从和的差异 寻找由 k 到 k 1 递推中 左边要加 乘 kf 1 kf kf 上的式子 考点考点 2 数学归纳法的应用数学归纳法的应用 题型 1 用数学归纳法证明数学命题 用数学归纳法证明不等式 2 1 2 1 1 3221 nnn 解析 1 当 n 1 时 左 右 2 不等式成立2 2 假设当 n k 时等式成立 即 2 1 2 1 1 3221 kkk 则 2 1 1 2 1 2 1 1 3221 2 kkkkkkk 0 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 2 2 kk kk k kkk 2 1 1 2 1 2 1 1 3221 kkkkk 当 n k 1 时 不等式也成立 综合 1 2 等式对所有正整数都成立 点评 1 数学归纳法证明命题 格式严谨 必须严格按步骤进行 2 归纳递推是证明的难点 应看准 目标 进行变形 3 由 k 推导到 k 1 时 有时可以 套 用其它证明方法 如 比较法 分析法等 表现出数学归纳法 灵活 的 一面 推理与证明推理与证明习题习题 1 用反证法证明命题 三角形的内角中至少有一个不大于 60 度 时 反设正确的是 A 假设三内角都不大于 60 度 B 假设三内角都大于 60 度 C 假设三内角至多有一个大于 60 度 D 假设三内角至多有两个大于 60 度 2 在十进制中 那么在 5 进制中数码 2004 折合成十进制为 0123 20044 100 100 102 10 A 29 B 254 C 602 D 2004 3 利用数学归纳法证明 1 a a2 an 1 a 1 n N 时 在验证 n 1 成立时 左边应该是 a a n 1 1 2 A 1 B 1 a C 1 a a2 D 1 a a2 a3 4 用数学归纳法证明 时 从 时 12 212 2 1 nnnnn n Nn1 knkn到 左边应增添的式子是 A B C D 12 k 12 2 k 1 12 k k 1 22 k k 5 已知n为正偶数 用数学归纳法证明 时 若已假设为偶 2 1 4 1 2 1 2 1 1 4 1 3 1 2 1 1 nnnn 2 kkn 数 时命题为真 则还需要用归纳假设再证 A 时等式成立B 时等式成立1 kn2 kn C 时等式成立D 时等式成立22 kn 2 2 kn 6 否定结论 至多有两个解 的说法中 正确的是 A 有一个解 B 有两个解 C 至少有三个解 D 至少有两个解 7 否定 自然数a b c中恰有一个偶数 时的正确反设为 A a b c都是奇数B a b c或都是奇数或至少有两个偶数 C a b c都是偶数D a b c中至少有两个偶数 8 已知 a b c 0 ab bc ca 0 abc 0 求证 a 0 b 0 c 0 9 已知a b c 0 1 求证 1 a b 1 b c 1 c a不能同时大于 1 4 10 1 用数学归