湖南长沙市一中2010届高三三模数学(文)

湖南省长沙市一中高三第三次模拟考试试卷 文科数学 时量 120 分钟 满分 150 分 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题只有一项是正确的 1 已知集合 1 2 3 4 5 6 7 U 2 4 5 7 A 3 4 5 B 则 U CAB A 1 6 B 4 5 C 2 3 7 D 2 3 4 5 7 2 命题 存在 0 x R 2 00 10 xx 的否定是 A 不存在 0 x R 2 00 10 xx B 存在 0 x R 2 00 1xx 0 C 对任意的x R 2 10 xx D 对任意的x R 2 10 xx 3 设平面向量 1 2 2 y ab 若ab 则y等于 A 4B 2C 2D 4 4 下列区间中 函数sin 2 3 yx 单调递增的是 A 0 2 B 3 22 C 5 12 12 D 7 12 12 5 曲线 yf x 在点 P 2 3 处的切线方程为240 2 xy f 则 A 0 2 B 3 22 C 5 12 12 D 7 12 12 6 中华人民共和国道路交通安全法 规定 车辆驾驶员血液酒精浓度在 20 80mg 100ml 不含 80 之间时 属酒后驾车 处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证 并处 200 元以上 500 元以下罚款 血液酒 精浓度在 80mg 100ml 含 80 以上时 属醉酒驾车 处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾 驶证 并处 500 元以上 2000 元以下罚款 据统计 2010 年 1 月 1 日至 5 月 28 日 全国查处酒后驾车和 醉酒驾车共 10 万人 如图是对这 10 万人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图 则属于醉酒驾车的人数约为 A 0 15 万B 1 5 万C 2 万D 3 万 7 设函数 3 2 log x f xa x 在区间 1 2 内有零点 则实数a的取值范围是 A 3 1 log 2 B 3 0 log 2 C 3 log 2 1 D 3 1 log 4 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 005 0 01 0 015 0 02 酒精含量 mg 100ml 频率 组距 00 435 46 873 6 7 8 9 8 在区间 内随机取两个数分别记为 a b 则使得函数 22 2 f xxaxb 有零点的概率为 A 7 8 B 3 4 C 1 2 D 1 4 二 填空题 本大题共 7 小题 每小题 5 分 共 35 分 9 2 2 1 i 10 在一次数学统考后 某班随机抽取10名同学的成绩为样本进行分析 获得 成绩数据的茎叶图如右 样本的平均成绩 11 函数 x yex 的最小值为 12 右边的程序框图中 输出结果 s 13 如图是某一几何体的三视图 左视图为直角三角形 俯视图为矩形 则这个几何体的体积是 14 曲线 C1的参数方程为 12cos 2sin x y 为参数 曲线 C2的极坐标方程为 2 以极点为原点 极 轴为 x 轴的非负半轴 则曲线 C1 与 C2的公共弦所在直线的直角坐标系方程为 15 定义运算 1 1 1 1 1 2 N 2 2 1 n nn n naba adbcan aacd 若数列满足且则 3 a 数列 n a的通项公式为 n a 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 20 题保留 16 本小题满分 12 分 已知ABC 为ABC 的三内角 且其对边分别为 abc 若 2cos tan 2 A mA 1 cos 2 tan A n A 且 1 2 m n 求角 A 若4 bc ABC 的面积为3 求 a 17 本小题满分 12 分 一个盒子中装有4张卡片 每张卡片上写有1个数字 数字分别是1 2 3 4 现从盒子中随机抽取卡 片 若一次抽取3张卡片 求3张卡片上数字之和大于7的概率 若第一次抽1张卡片 放回后再抽取1张卡片 求两次抽取中至少一次抽到数字3的概率 18 本小题满分 12 分 如图 在四棱锥PABCD 中 底面ABCD是菱形 60ABC PA 平面ABCD 点M N分别为BC PA的中点 2PAAB I 证明 BC 平面AMN II 在线段 PD上是否存在一点E 使得NM 平面ACE 若存在 求出 PE 的长 若不存在 说明理 由 19 本小题满分 13 分 为了保护环境 实现城市绿化 某房地产公司要在拆迁地长方形 ABCD上规划出一块长方 形地面建造公园 公园一边落在 CD 上 但不得越过文物保护区AEF 的 EF 问如何设才能使公园占地面 积最大 并求这最大面积 其中 AB 200 m BC 160 m AE 60 m AF 40 m 20 本小题满分 13 分 如果有穷数列 131211 mmmm a aaamaaaaaa 2 为正整数 满足条件 1 1 2 m aai i 1 即我们称其为 对称数列 假如 数列 1 2 5 2 1 与数列 8 4 2 4 8 都是 对称数 列 1 设 123414 7 2 11 n bb b b bbb 是项的 对称数列 其中是等差数列 且 依次写出 n b的 每一项 2 设 252649 49 n cccc 是项的 对称数列 其中是首项为1 公比为2的等比数列 求 n c的各项的和 S 3 设 5152100 100 n dddd 是项的 对称数列 其中是首项为2 公差为3的等差数列 求 D N M A CB P 100 nn dns n 的前项的和 1 2 21 本小题满分 13 分 已知椭圆C的对称中心为原点O 焦点在x轴上 离心率为 1 2 且点 3 1 2 在该椭圆上 I 求椭圆C的方程 II 过椭圆C的左焦点 1 F 的直线l与椭圆C相交于A B两点 若AOB 的面积为 6 2 7 求圆心在原点 O且与直线l相切的圆的方程 文科数学参考答案 题号12345678 答案ADACABCB 9 i 10 80 11 1 12 33 13 16 14 1 2 x 15 10 4n 2 16 解 由 1 2 m n 得 2 11 2cos1cos 222 A A 所以120A 6 分 由 11 sinsin1203 22 ABC SbcAbc 得4 bc 9 分 222222 2cos 12 abcbcAbcbcbcbc 所以2 3a 12 分 17 解 设A表示事件 抽取3张卡片上的数字之和大于7 任取三张卡片 三张卡片上的数字全部可能的结果是 1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4 其中数字之和大于7的是 1 3 4 2 3 4 所以 1 2 P A 6 分 设B表示事件 至少一次抽到3 第一次抽 1 张 放回后再抽取一张卡片的基本结果有 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 2 4 3 1 3 2 3 3 3 4 4 1 4 2 4 3 4 4 共16个基本结果 事件B包含的基本结果有 1 3 2 3 3 1 3 2 3 3 3 4 4 3 共7个基本结果 所以所求事件的概率为 7 16 P B 11 分 答 1 若一次抽取3张卡片 3张卡片上数字之和大于7的概率为 1 2 2 两次抽取中至少一次抽到数字3的概率为 7 16 12 分 18 解 因为ABCD为菱形 所以ABBC 又60ABC 所以ABBCAC 又M为BC中点 所以BCAM 而PA 平面ABCD BC 平面ABCD 所以PABC 又PAAMA 所以BC 平面AMN 6 分 II 存在 取 PD中点E 连结NE EC AE 8 分 因为N E分别为 PA PD中点 所以NEAD 且 1 2 NEAD 又在菱形ABCD中 CMAD 1 2 CMAD 所以NEMC NEMC 即MCEN是平行四边形 所以 NMEC 又EC 平面ACE NM 平面ACE 所以MN 平面ACE 即在 PD上存在一点E 使得NM 平面ACE 10 分 此时 1 2 2 PEPD 12 分 19 解 设 CG x 矩形 CGPH 面积为 y 作 EN PH 于点 N 则 3 2802 60 140 40 x EN xEN HC 160 3 2760 3 2802xx 5 分 2 2 760 6 1 2760 2 6 1 3 2760 xx x xy 3 72200 10 分 当19027602 xxx m 即CG长为190m时 最大面积为 3 72200 m2 12分 答 略 13 分 20 解 1 设数列 n b的公差为 d 则 41 32311 3 bbddd 解得 2 5 8 11 8 5 2 n b 数列为 2 2242526 124925264925 2 2 1222 12 21 23 Sccccccc 3 51100 2 2 50 1 149 dd 由题意得 1250 d dd 是首项149 公差为 3的等差数列 当 2 12 1 3 3301 50149 222 nn n n nSdddnnn 时 10 分 当 505152 50 51 51 37752 50 3 2 nn nn nSSdddn 时 2 3299 7500 22 n n 综上所述 2 2 3301 150 22 3299 7500 51100 22 n nnn S nnn 21 I 设椭圆 C 的方程为 22 22 1 xy ab 0 ab 由题意可得 1 2 c e a 又 222 abc 所以 22 3 4 ba 因为椭圆C经过 3 1 2 代入椭圆方程有 2 2 9 1 4 1 3 4 a a 解得2a 所以1c 2 413b 故椭圆C的方程为 22 1 43 xy 5 分 解法一 当直线lx 轴时 计算得到 3 1 2 A 3 1 2 B 1 113 1 3 222 AOB SABOF 不符合题意 7 分 当直线l与x轴不垂直时 设直线l的方程为 1 yk x 0k 由 22 1 1 43 yk x xy 消去y 得 2222 34 84120kxk xk 显然0 成立 设 11 A xy 22 B xy 则 2 12 2 8 34 k xx k 2 12 2 412 34 k xx k 9 分 又 22222 12121212 ABxxyyxxkxx 2222 121212 1 1 4kxxkxxxx 42 2 222 644 412 1 34 34 kk k kk 即 22 2 22 12112 1 1 3434 kk ABk kk 又圆O的半径 22 00 11 kkk r kk 所以 1 2 AOB SAB r 2 2 2 1 12 1 234 1 kk k k 2 2 6 16 2 347 kk k 化简 得 42 17180kk 即 22 1 1718 0kk 解得 2 1 1k 2 2 18 17 k 舍 12 分 所以 2 2 2 1 k r k 故圆O的方程为 22 1 2 xy 13 分 解法二 设直线l的方程为1xty 由 22 1 1 43 xty xy 消去x 得 22 43 690tyty 6 分 因为0 恒成立 设 11 A xy 22 B xy 则 1212 2