因式分解补充知识（一）

1 因式分解补充知识 一 因式分解补充知识 一 型二次三项式的因式分解 2 xpxq 学习重 难点 重点 熟练掌握型多项式的因式分解 2 xpxq 难点 熟悉整数的因数分解 减少尝试次数 学习过程 一 例题引入 学习新知一 例题引入 学习新知 例 1 计算 1 2 2 2356xxxx 41xx 3 4 42yy 53yy 问题 1 观察计算结果中的一次项系数 常数项和因式中的两个常数项的关系 尝试填写 下表 题号因式中的常数项 结果中的一次项系数 与因式常数项的关系 结果的常数项与因式 常数项的关系 1 23523 62 3 2 3 4 我们可以用一个等式表示以上规律 设是整数 于是 a b 2 xaxbxab xab 问题 2 令结果中的一次项系数为 常数项为 即 由 ab pabqabp abq 于是整数 所以也为整数 此时 式的结果可化为 通过以上题目 a b p q 2 xpxq 你能总结形如 是整数 的二次三项式的因式分解的方法吗 2 xpxq p q 2 我们可以这样来考虑 可将我们可以这样来考虑 可将看作是结果常数项的一组因数分解 那么对于形如看作是结果常数项的一组因数分解 那么对于形如abq 是整数 的多项式 如果能找到常数项的一组因数分解 例如是整数 的多项式 如果能找到常数项的一组因数分解 例如 2 xpxq p qqab 并且这组因数分解的因数和正好等于常数项并且这组因数分解的因数和正好等于常数项 即 即 那么原多项式就可以分解为 那么原多项式就可以分解为ppab 的形式了 的形式了 2 xpxqxaxb 对于型多项式 可以首先提取 再分解提取后的即可 例如 2 xpxq 1 提取变为 再将分解为 2 710 xx 1 2 710 xx 2 710 xx 25xx 那么 2 71025xxxx 二 例题精讲 练习巩固二 例题精讲 练习巩固 例 2 分解因式 1 2 2 812xx 2 712xx 注意观察常数项的因数分解后的两个因数的符号与一次项系数的符号的关系 3 4 2 1112xx 2 412xx 注意观察常数项的因数分解后的两个因数的符号与一次项系数的符号的关系 练习一 分解因式 1 2 2 76xx 2 56xx 3 4 2 712xx 2 812xx 小结 1 观察 1 4 的常数项系数符号 以及常数项因数分解的因数的系数与一次项系数 符号的关系可知 对于 是整数 的二次三项式 若常数项 填写 则将常数项分解为两个与一次项系数符号 的因数 填写 相同 或 不同 q 3 5 6 2 6xx 2 6xx 7 8 2 28xx 2 28xx 小结 2 观察 5 6 的常数项系数的符号 以及常数项因数分解的因数的系数与一次项系 数符号的关系可知 对于 是整数 的二次三项式 若常数项 填写 则将常数项分解为两个 的因数 填写 同号 或 异号 并且绝对值较大的因q 数的符号与一次项系数的符号 填写 相同 或 不同 三 深入发掘 举一反三三 深入发掘 举一反三 1 本方法的适用范围 首先介绍一个概念 完全平方数 如果一个数可以写成另一个数的平方 那么这个数就叫做完全平方数 例如 那么和都叫做完全平方数 显然 如果一个数是完全平方 2 42 2 42 93 4 4 9 数 那么它必定是非负数 对于对于 是整数 的二次三项式 如果是整数 的二次三项式 如果不是完全平方数 那么不是完全平方数 那么 2 xpxq p q 2 4pq 该多项式在实数范围内不能因式分解该多项式在实数范围内不能因式分解 2 方法的推广 形如的二次三项式 如果是分数 也可以利用本方法分解 只不过 2 xpxq p q 需要具备更强的数感 并且能熟练掌握有理数的加减法 例如 可将分解 2 31 22 xx 1 2 为 而 从而 11 1 22 13 1 22 2 311 1 222 xxxx 形如的多项式 每一项都是和的二次式 称为和的齐次式 22 xaxyby xyxy 它的分解方法与本方法类似 只不过需要将看成常数即可 要将分解为如下形式 y 2 by 注意 不能分解为这种形式 2 12 byb y b y A 22 12 byb yb A 如果 那么可以分解为如下的形式 1212 b yb ybbyay 22 xaxyby 4 22 12 xaxybyxb yxb y 例 3 分解因式 22 25144xxyy 分析 可以分解为 而 所 2 144y 2 144169yyy A 16925yyy 以 22 25144169xxyyxyxy 四 课后练习 总结提高 1 2 2 815xx 2 215xx 3 4 2 1336xx 2 20 xx 5 6 2 922xx 2 210 xx 7 8 2 56xx 2 56xx 9 10 2 52 33 xx 2 13 22 xx 11 12 2 8 1 3 xx 2 718xx 13 14 提示 再将看做整体 22 712xxyy 42 109xx 2 42 xx 2