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欧式期权定价 研习内容 一 二叉树模型1 单步二叉树模型2 多步二叉树模型二 Black Scholes模型1 股票价格变动2 二叉树方法到B S模型3 B S期权定价模型三 B S期权定价模型的检验四 小结 一 二叉树模型 单步 单步二叉树模型 一个实例 股价S 100美元无风险利率r 0 06执行价格X 100假设该股价一年后将会变为90美元 D 0 9 或110美元 U 1 1 则该股票 且一年到期的看涨期权c 考虑两个组合组合 一份看涨期权多头组合 N股股票多头和初始资金为B美元的空头一年后 如果股价上涨组合 价值10美元 组合 价值N 110 B 1 0 06 1 如果股价下跌组合 价值0 组合 价值N 90 B 1 0 06 2 一 二叉树模型 单步 令到期时组合 和组合 的价值相等 有股票N 0 5股初始资金B 42 45美元显然组合 和组合 在期初的价值也应相等 否则存在套利机会因此 看涨期权的价值c N S B 0 5 100 42 45 7 55美元股票期权 一 二叉树模型 单步 概率的作用上述分析没有使用概率的概念 即没有考虑股票价格升降的可能行 事实上 在风险中性的假设下 所计算的期权价格同上述无套利条件下的结果是一样的 同上述分析的推导 用字母代替数字 可得期权价格c R D U D c上 U R U D c下 R 3 其中R 1 rc上 c下分别为股价上涨和下跌时期权的价格风险中性条件下 股价上升的概率p上 R D U D p下 U R U D 对上文的例子 我们有p上 1 06 0 9 1 1 0 9 0 8 p下 0 2期权价格C 0 8 10 0 2 0 1 06 7 55美元结论 期权的价值等于在风险中性假设下 期权到期时期望的盈利以无风险利率贴现后的价值 一 二叉树模型 单步 单步二叉树模型的缺陷1 仅适用与单个时期 我们需要能够估价多期后到期的期权 2 关于股价变动的假设不现实 显然我们无法知道股价在一个时期内如何变动 试图改进这些缺陷 一 二叉树模型 多步 多步二叉树模型n个时期 到期时有2 n种可能的股票价格状态 考虑n个时期内股价有j期上升 n j期下降的情况 1 到期股价为 因此期权的价值为MAX 0 X 2 每次股价上升和下降的事件是相互独立的 因此股价有j期上升 n j期下降的概率为3 股价有j期上升 n j期下降的次序显然不止一种 其不同的次序数可用组合数来表达 即综合1 2 3 再j从0遍历到n 最后以无风险利率R贴现 就得到看涨期权到期期望损益的现值 这也就是期权的价格公式 一 二叉树模型 多步 多步二叉树模型的缺陷1 n 20时 2 20 100万 即有超过100万种股票价格的结果 计算太繁琐 2 虽然通过调整时期的长度 股票价格变动和利率 可以使模型尽可能的贴近股票市场的真实情况 然而股价如果连续变动 将有无限个时期需要考虑 显然我们无法对无限个时期计算二叉树模型的价值 我们需要其它的方法 二 Black Scholes模型 股价变动 为什么要研究股票价格的变动过程 期权是标的资产的衍生工具 其价格波动的来源就是标的资产价格的变化 期权价格受到标的资产价格的影响 因此期权定价使用的是相对定价法 即相对于证券价格的价格 因而要为期权定价首先必须研究证券价格 期权的价值正是来源于签订合约时 未来标的资产价格与合约执行价格之间的预期差异变化 在现实中 资产价格总是随机变化的 需要了解其所遵循的随机过程 二 Black Scholes模型 股价变动 股票价格变动任何股价模型都是偏离股价变动的真实描述的 建立一个股价变动的模型是可能的 一个描述股票价格行为最广泛使用的模型 其中 为预期收益率 为股票价格波动率为服从标准正态分布N 0 1 的随机抽样值 二 Black Scholes模型 股价变动 两个股票价格路径 二 Black Scholes模型 股价变动 股价变动模型回顾1模型有时也称几何布朗运动 其离散形式为 S为短时间 t后股票价格S的变化 显然 它服从正态分布 较长的时间t后 股票的价格变化 St服从正态分布吗 很遗憾 St不服从正态分布 能找到 St服从什么分布吗 二 Black Scholes模型 股价变动 股价变动模型回顾2幸运的是 我们可以找到 St的分布情况 但这需要引入一个伊藤定理 若变量x遵循伊藤过程 即 其中是一个标准布朗运动 则变量x和t的函数G将遵循如下过程利用伊藤定理 我们来推到lnS遵循的过程 令G lnS 有从而有零时刻G的值为lnS t时刻G的值为lnSt 显然G服从正态分布 且 股价变动模型回顾3事实上 股票价格S遵循几何布朗运动的实质 就是股价S的对数服从正态分布 下面我们用这点来证明 适当选取参数 二叉树模型的极限就是几何布朗运动 实际股价行为的研究表明股价的对数确实接近正态分布 因此我们对股价的假设是一个很好的近似 另一方面 它的优势是在数学上是可处理的 可以直接推出欧式看涨期权价值的解 二 Black Scholes模型 股价变动 二 Black Scholes模型 二叉树到BS 二叉树模型 假定在每个时间里 股价或以概率p上涨u倍 或以概率 1 p 下跌d倍 选取 可以证明 当趋近于0时 相应的价格服从对数正态分布 即股价遵循几何布朗运动 证明思路 记第i期股价上涨 则Yi 1 否则Yi 0 然后写出t时刻的股价St lnSt 当趋近于0时 根据中心极限定理 推出lnSt服从正态分布 再算出它的期望和方差 可知它的期望和方差与我们上面假定的几何布朗运动的期望和方差完全一样 二 Black Scholes模型 BS公式 BS微分方程的推导假设 1 证券价格遵循几何布朗运动 即和为常数 2 允许卖空标的证券 3 没有交易费用和税收 所有证券都是高度可分的 4 衍生证券有效期内标的证券没有红利支付 5 不存在无风险套利机会 6 证券交易是连续的 价格变动也是连续的 7 衍生证券有效期内 无风险利率r为常数 二 Black Scholes模型 BS公式 BS微分方程的推导假设f是依赖于S的衍生证券的价格 构造证券组合 1份衍生证券 份股票显然 组合证券的价值利用几何布朗运动和伊藤定理的离散形式 得到时间后证券组合价值的变化这个方程不含随机项 因此它肯定等于组合的短期无风险收益 否则就存在套利机会 即把相关方程带入上式 化简得 这就是著名的Black Scholes微分方程 对应不同的边界条件 可得到特定的衍生证券的解 欧式看涨期权的边界条件为 f max S X 0 当t T时 二 Black Scholes模型 BS公式 风险中性定价很遗憾 上面的微分方程 我解不出来 但仔细观察BS微分方程 我们发现 该方程不包括任何受投资者风险偏好影响的变量 方程中出现的变量是股票当前价格 到期时间 股价方差和无风险利率 而不独立于风险偏好的预期收益则不在其中 这说明风险偏好不会对f的解产生影响 因此我们可以假定 所有投资者都是风险中性的 通过上述假定得到的解 也适用于其它风险偏好世界 一个有启发性的例子 二叉树期权定价时 我们一直没用股价上涨下跌的概率 这意味着期权价格是独立于股票的预期收益的 二 Black Scholes模型 BS公式 BS公式的推导风险中性定理是说 在风险中性条件下 所有证券的预期收益率都等于无风险利率r 此时 欧式看涨期权的价格c可以表示为 我们已知ST服从对数正态分布 在风险中性世界里 只需将换成r即可 对上式求解就是一个积分过程 比较复杂 最后得到 其中 N x 为标准正态分布变量的累计概率分布函数 即小于x的概率 二 Black Scholes模型 BS公式 对BS公式的理解在B S公式中 N d2 是在风险中性世界中ST大于X的概率 或者说是欧式看涨期权被执行的概率 Xexp rt N d2 是X的风险中性期望值的现值 SN d1 是ST的风险中性期望值的现值 这个公式与我们一直考虑的一般形式 看涨期权的价值必定不小于股价减去行权价的现值 c S Xexp rt 类似 为了适用于描述风险 分别给股价和行权价乘以一个风险因子 并把不等号变成了等号 N d1 是期权价格c对股价S的偏导数 也就是我们常说的Delta 根据期权平价公式 c Xexp rt p S 可以很容易推出看跌期权的公式 三 B S期权定价模型的检验 实证研究显示 1 B S期权定价公式倾向于高估方差高的期权 低估方差低的期权 2 高估实值期权的价格 低估虚值期权的价格 3 改变波动率估计的方式会提高B S期权定价公式在预测实际价格时的表现 4 当考虑交易成本时 大多数期权价格偏离所造成的套利机会将消失 5 目前所有的期权定价模型中 还不能得出这样一个结论 某一期权定价模型优于B S模型 造成B S公式计算的期权价格偏离市场价格的原因主要有以下几点 1 期权市场价格偏离均衡位置 2 使用了错误的参数 3 B S公式建立在众多的假定基础之上 而实际情况并不完全满足 如可以卖空 股价服从几何布朗运动等 4 错误套用公式 如没考虑分红 股本稀释时没做出相应的调整等 三 B S期权定价模型的检验 四 小结 简单入手 离散 单步二叉树 改进 多步二叉树 初识