2014-2015学年第一学期期中考试《高等数学 I》试卷解答.pdf

第 1 页 共 4 页 考试日期 考试日期 2014 年年 11 月月 13 日日 考试形式 闭卷笔试考试形式 闭卷笔试 华东政法大学华东政法大学 2014 2015 学年第学年第一一学期期中学期期中考试考试 刑事司法刑事司法学院学院 2014 年级年级计算机科学与技术计算机科学与技术专业专业 高等数学高等数学 I 学院 班级 学号 姓名 题类 一 二 三 四 五 总分 得分 阅卷人 一一 填空题 本题满分填空题 本题满分 15 分 共有分 共有 5 道小题 每道小题道小题 每道小题 3 分 请将合适的答案填在空中 分 请将合适的答案填在空中 答案 答案 1 奇 偶 2 0 1 1 xx x 第一类 跳跃 间断点 第一类 可去 间断点 第二类 无穷 间断点 3 3 4 1 1ab 5 2 1 esin2arctan 23 x xxC 6 82 55 ab 7 同阶但非等价的无穷小是与 xdy 8 4 9 2 1 1 01 2 11 x x x 二二 求极限求极限 本题满分 本题满分 20 分 共有分 共有 4 道小题 每道小题道小题 每道小题 5 分 分 1 3 2 2 6 e 第 2 页 共 4 页 3 14 1 15 1 3 1 lim 2 n n 解 原式 12 1 12 1 7 1 5 1 5 1 3 1 3 1 1 2 1 lim nn n 2 1 12 1 1lim 2 1 n n 4 nn n n n n n n 222 2 lim 解 因 22222 2n n n nn n n n n n nn n n 而 1 1 1 limlim 1 1 1 limlim 2 2 2 2 2 n n n n nn n nnnn 由夹逼准则 原式 1 三 三 计算计算题题 本题满分本题满分 24 分分 每小题 每小题 8 分分 1 要使 xf在0 x 处可导 必须 xf在0 x 处连续 而 0 0 lim arcsin 0 x fax 0 fb 由 0 0 ff 有0b 3 分 又 000 0 arcsin 0 limlimlim 0 xxx f xfaxax fa xxx 2 00 0 2 0 limlim2 0 xx f xfxx f xx 由 xf在0 x 处可导 有 0 0 ff 6 分 得2a 故当0 2ab 时 函数 xf在0 x 处可导 2 22 2 22 6 1 3 1 2 dyd yt t t dxdxt 2 1 2 4 t d y dx 3 dx dy 1 sin cos1 sincos 1 cos sin1 sincos tt tt etetttdydx dtdtetettt 第 3 页 共 4 页 2 2 1s i nco s 1 sincos t d yddydtttdx ttdtdxdtdxdx 3 2 1 sin 1 sincos t et tt 四四 证明题 证明题 本题满分 本题满分 27 分分 每小题 每小题 9 分分 1 设函数 f x在其定义域内可导 若 f x是偶函数 证明 fx为奇函数 证明 若 f x是偶函数 fxf x fxxf xx 由导数定义 00 limlim xx f xxf xfxxfx fx xx 0 lim x fxxfx fx x fx是奇函数 2 若 xf在 ba 上连续 而且 bbfaaf 证明在 ba 内至少存在一点 使 f 证明 设 xxfxF 因 为 xf在 ba 上 连 续 且 bbfaaf 则 xF在 ba 上 连 续 且 0 0 bbfbFaafaF 所以在 ba 内至少存在一点 使 0 F即 0 f 亦即 在 ba 内至少存在一点 使 f 3 解 0 1 0 1 0 xx f xx xx 当时 当时 当时 由初等函数的连续性知 f x在 0 与 0 内处处连续 另外 00 lim lim 0 xx f xx 00 1 lim lim xx f x x 第 4 页 共 4 页 所以0 x 为 f x的第二类间断点 五五 综合题 综合题 本题满分 本题满分 14 分分 1 小题小题 10 分分 2 小题小题 4 分分 1 令 F xf af xg xg b 因为 F x在闭区间 ba 上连续 在开区间 ba 内可导 且 0F aF b 由罗尔定理 存在一点 a b 使得 0F 由于 F xf af xg xg xg bfx 所以 0F