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文档简介

第八节多元函数的极值及其求法 一 多元函数的极值和最值二 条件极值拉格朗日乘数法三 小结 一 多元函数的极值和最值 1 二元函数极值的定义 例1 例 例 2 多元函数取得极值的条件 证 仿照一元函数 凡能使一阶偏导数同时为零的点 均称为函数的驻点 驻点 偏导数存在的极值点 问题 如何判定一个驻点是否为极值点 注意 例4求函数 的极值 解 求解方程组 得驻点 因此 驻点 因此 驻点 因此 驻点 与一元函数类似 可能的极值点除了驻点之外 偏导数不存在的点也可能是极值点 例如 显然函数 不存在 求最值的一般方法 将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较 其中最大者即为最大值 最小者即为最小值 与一元函数相类似 我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值 3 多元函数的最值 解 令 无条件极值 对自变量除了限制在定义域内外 并无其他条件 实例 小王有200元钱 他决定用来购买两种急需物品 计算机磁盘和录音磁带 设他购买x张磁盘 y盒录音磁带达到最佳效果 效果函数为U x y lnx lny 设每张磁盘8元 每盒磁带10元 问他如何分配这200元以达到最佳效果 问题的实质 求在条件下的极值点 三 条件极值拉格朗日乘数法 条件极值 对自变量有附加条件的极值 求解方程组 解出x y z t即得可能极值点的坐标 解 则 例6求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积 设长方体的长 宽 高为x y z 体积为V 则问题就是条件 求函数 的最大值 令 即 由 2 1 及 3 2 得 由 2 1 及 3 2 得 于是 代入条件 得 解得 这是唯一可能的极值点 因为由问题本身可知 所以 最大值就在此点处取得 故 最大值 最大值一定存在 解 则 由 1 2 得 由 1 3 得 将 5 6 代入 4 于是 得 这是唯一可能的极值点 因为由问题本身可知 最大值一定存在 所以 最大值就在这个可能的极值点处取得 故 最大值 多元函数的极值 拉格朗日乘数法 取得极值的必要条件 充分条件 多元函数的最值 四 小结 作业 70
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