固体物理第三章.ppt

本章主要讨论晶格的动力学晶体中离子实或原子围绕其平衡位置的振动振动对固体性质的影响 晶格振动决定了晶体的宏观热学性质 晶格振动理论也是研究研究晶体的电学性质 光学性质 超导等的重要理论基础 晶格动力学理论又叫晶格谐振理论 1912年由玻恩和卡门建立 其基本假设 假设晶体中每个原子的中心平衡位置在对应的晶格格点上 这个原子离开平衡位置的位移与原子间距比是小量 可以用谐振近似 也就是说原子间的弹性势能可以表达成位移的二次项 本章主要内容用最近邻原子间谐力模型来讨论晶格振动的本征频率 用格波来描写晶格原子的集体运动 用量子理论来表述格波相应的能量量子 在此基础上处理固体的热学性质 第三章晶格振动和晶体热学性质 3 1一维晶格的振动晶格振动的根本原因 原子间存在着相互作用力 对于一对原子而言 可以用彼此间的相互作用势能来表示 一维单原子链的振动是简单可解的问题 又能体现晶格振动的基本特点 把一些主要方法和结论推广到三维情况 一 一维简单晶格 为了简单起见 采用简谐近似 即原子间相互作用力类似于弹性力 正比于原子间距离对平衡距离的偏差 原子振动犹如弹簧振子 设两原子间的互作用势为U r 这两原子间的互作用力为 一般条件下 原子作微小振动 Un a 为了取近似 将U r 在平衡位置a附近展成泰勒级数 当 r a 很小 即振动很微弱时 展开式只保留到 r a 2项 则原子间距离变化为 r a 时 互作用力为 为常数 得到一对原子间距离变化为 r a 时受到的弹性力为 令 称为弹性恢复力系数 考察第n个原子受到的力 只考虑最近邻原子间的作用力 则第n个原子受到的力为 第n个原子的牛顿运动方程为 通常采用试解的方法求解 假设上式具有简谐波形式的试解 q为波矢 qna是序号为n的原子在t 0时刻的振动位相 l为整数 则 若两原子的位相因子之差 序号为n 的原子的位移 即两原子因振动而产生的位移相同 即该两原子有相反的位移 表明 在任一时刻 原子的位移有一定的周期分布 原子的位移构成了波 这种波称为格波 格波 晶体中所有原子共同参与的一种频率相同的振动 不同原子间有振动相位差 这种振动以波的形式在整个晶体中传播 称为格波 将简谐波形式的试解代入运动学方程 对应相同的角频率 i为整数 考虑振动波函数单值的要求 波矢q可限制在如下范围 简约布里渊区 注意到 说明格波的频率 在波矢空间内是以倒格矢2 a为周期的周期函数 波矢q与波矢q 的格波等价 这也正是晶格排列周期性的结果 上式中指标n已被消去 这意味着所有原子的运动方程都导出同样的频率 波矢关系 称为色散关系 表明试解代表一种简正模型 即一个 和一个q值 的格波 格波 连续介质弹性波 从形式看 格波与连续介质弹性波完全类似 但连续介质弹性波中的X是可连续取值的 而在格波中只能取na 原子位置 这是一系列周期排列的点 一个格波解表示所有原子同时作频率为的振动 不同原子有不同的振动位相 相邻两原子的振动位相差为aq 若aq改变的整数倍 这两个格波所描述的所有原子的振动状态完全相同 格波的波速 1 在长波区域 波矢 色散关系的格波称为声频支格波 格波的波速 在长波区域 波矢 波速是常数 某一原子周围若干原子都以相同的振幅和位相振动 格波的波速 2 波矢 对应格波的截止频率 相邻原子以相同的振幅作相对振动 周期性边界条件 玻恩 卡门边界条件 实际情况 N个原子构成的一维晶体 边界上原子受力的情况有别于体内原子 设想边界条件 无限多个相同晶体相联接 各晶体中相对应的原子的运动情况都一样 近似考虑 N非常大 边界上原子数目极少 在考虑晶体大块性质时将边界上原子视如体内原子不至于带来误差 玻恩 卡门边界条件 德国理论物理学家 量子力学的奠基人之一玻恩 M MaxBorn1882 1970 1954年荣获诺贝尔物理学奖 周期性边界条件 玻恩 卡门边界条件 上式表明 周期性边界条件限制了晶格振动 即描写晶格振动状态的波矢q只能取一些分立的值 因为q的取值范围限制在第一布里渊区 即 q只能取相隔的分立值 允许的波矢数目等于N 振动谱是分离谱 晶格振动波矢的数目 晶格原胞数 第一布里渊区内的波矢代表点数目为 在波矢空间中 每一个可能的q所占据的线度为 二 一维复式格子晶格由质量分别为m和M的两种不同原子构成的一维复式格子 晶格常数 2a 相邻同种原子间的距离 当原子产生位移时 平衡位置在2n与第 2n 1 个原子的运动方程 假设 分子内和分子间距离相等 分子内原子和分子间原子的相互作用力相同 即 1 2 2a 试解 A与B分别表示质量为m与M的原子的振幅 将试解代入运动方程可得 这是振幅A与B的线性齐次方程 A与B不能同时为零 要求 由此可得 一维双原子复式格子具有两支色散关系 声学波和光学波 在布里渊区的边界 2a处达到最大值 在布里渊区的边界 2a处达到最小值 由m M可见 在两支色散关系间存在一频隙 O在布里渊区中心 即倒空间原点达到其最大值 讨论 1 光学波与声学波 即 称频率较高的一支 O的格波为光学波 因为光学格波的频率处于光波频率范围 大约处于远红外波段 离子晶体能吸收红外光产生光学格波共振 这是光谱学中的一个重要效应 称频率较低的一支 A的格波为声学波 当q 0时 A有近似于线性的色散关系 而波速为 为一常数 频率与波矢成正比 波速为常数是弹性波的特点 2 相邻两种不同原子的振幅比 这有两种情况 对于声学波由 3 式 这说明 相邻两种不同原子的振幅有相同的正号或负号 即对于声学波 相邻原子都是沿着同一方向振动的 当在长波极限 即波矢q接近于布里渊区中心附近 q 0时 A 0 有 说明长波限原胞内两个原子振幅相同 相邻原子振动的位相差qa 0 对于光学波 表明波长相当长时 声学波实际上代表原胞质心的振动 相邻两种原子振幅之比 由 3 得到 这表明 对于光学波 相邻两种不同原子的振动方向是相反的 可得 长波光学波描述原胞是原子间的相对运动 当q 0时 cos qa 1 又 3 短波限格波的特点以上讨论两频率分支的区别对于短波限 即波矢在布里渊区边界q 2a处并不明显 对于声学波 A 有 质量为m的原子静止 质量为M的原子振动 对于光学波 O 有 质量为M的原子静止 而质量为m的原子振动 两者都对应只有一种原子振动的情形 4 用周期性边界条件确定波矢波恩 卡门周期性边界条件 对一维复式格子 有类似的结果 同一维单原子晶格一样 在第一布里渊区q可有N个不同的取值 注意 这里每个q对应两个不同 O A 所以晶体中共有2N个独立的振动模式 一维双原子晶格中 每个原胞有两个原子 每个原子有一个自由度 因此 晶体的自由度数为2N 得出结论 晶格振动的波矢q的数目 晶体的原胞数 晶格独立振动模式 振动频率 数目 晶体自由度数