用向量计算空间角.ppt

用向量计算空间角 直线a b是异面直线 经过空间任意一点O 分别引直线 我们把直线和所成的锐角 或直角 叫做异面直线a和b所成的角 异面直线所成角的范围是 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角 叫做这条直线和这个平面所成的角 由定义知 直线与平面所成的角 0 一 几类空间角的定义及范围 1 异面直线所成角 2 直线和平面所成角 特别地 一条直线垂直于平面 则它们所成的角是直角 一条直线和平面平行 或在平面内 我们说它们所成的角是0 角 1 求异面直线所成角的公式 其中是异面直线上的方向向量 2 求线面角大小的公式 其中是平面的法向量 二 空间角的向量计算 如图 设平面 的法向量为 直线AO与平面所成的角为 则 点A到平面 的距离d为 例1 如右图 直三棱柱A1B1C1 ABC中 BCA 90 点D1 F1分别是A1B1 A1C1的中点 若BC CA CC1 求BD1与AF1所成的角的余弦值 解 则B 1 0 0 A 0 1 0 1 求异面直线所成的角 所以直线BD1与AF1所成的角的余弦值 设异面直线BD1与AF1所成的角的角为 则 例2 如图 在长方体AC1中 棱AB BC 3 棱BB1 4 点E是CC1的中点 求ED与平面A1B1C所成角的大小的正弦值 B1 A1 D1 C1 C D E A 由题意知 3 0 0 设平面A1B1C的法向量为 x y z 则 令z 3 则 0 4 3 2 求直线和平面所成的角 B D 0 3 0 E 3 3 2 A1 0 0 4 B1 3 0 4 C 3 3 0 3 0 2 设DE与面A1B1C所成角为 则 Sin cos 即ED与平面A1B1C所成角的大小为 在二面角的棱上任取一点 过这点在二面角的两个面内做垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫二面角的平面角 二面角的范围是 0 1 二面角及二面角的平面角 从一条直线出发的两个半平面构成的图形叫二面角 二面角的大小可用它的平面角来度量 二面角的平面角是多少度 就说这个二面角是多少度 3 二面角 cos 如图1中 cos 图2中 cos 2 求二面角大小的公式 其中分别是二面角的两个半平面的法向量 用向量法求空间角回避了在空间图形中寻找线线角 线面角 二面角的平面角这一难点 体现了向量思想在立体几何中的重要地位 更体现了 借数言形 的数学思想 注意 建立坐标系后各个点的坐标要写对 计算要准确 二面角余弦值的正负取决于二面角是锐二面角还是钝二面角 例3 长方体AC1中 棱AB BC 3 BB1 4 求二面角B1 A1C C1的余弦值 x y z 解 如图 建立空间直角坐标系 D 0 3 0 A1 0 0 4 B1 3 0 4 C 3 3 0 C 3 3 0 D1 0 3 4 3 0 0 令z 3 则x 0 y 4 平面A1B1C的法向量为 0 4 3 设平面A1B1C的法向量为 x y z 则 又 平面A1C1C的法向量为 又 所求二面角为锐二面角 故二面角B1 A1C C1的大小为 练习 如图 已知 直角梯形OABC中 OA BC AOC 90 SO 平面OABC 且OS OC BC 1 OA 2 求 OS与平面SAB所成角的正弦值 二面角B AS O的余弦值 异面直线SA和OB所成角的余弦值 则A 2 0 0 于是我们有 2 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 B 1 1 0 令x 1 则y 1 z 2 从而 设面SAB的法向量 显然有 所以直线SA与OB所成角的余弦值为 由 知面SAB的法向量 1 1 2 又 OC 面AOS 是面AOS的法向量 令 则有 由于所求二面角为锐二面角 二面角B AS O的余弦值为 z O x y 1 如图所示 在四棱锥P ABCD中 AB CD AB AD AB 4 AD CD 2 PA 平面ABCD PA 4 1 求证 BD 平面PAC 2 点Q为线段PB的中点 求直线QC与平面PAC所成角的正弦值 z O x y 2 如图所示 正三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长都为2 D为CC1的中点 求二面角A A1D B的余弦值 z x y 3 如图所示 在平行六面体ABCD A1B1C1D1中 平面ABCD与平面D1C1CD垂直 且 D1DC 60 DC DD1 2 DA ADC 90 求异面直线A1C与AD1所成角的余弦值 4 如图所示 在四棱柱ABCD A1B1C1D1中 侧棱A1A 底面ABCD AB DC AB AD AD DC 1 AA1 AB 2 E为棱的中点 1 证明 B1C1 CE 2 求二面角B1 C