第一章解三角形综合检测

第一章解三角形综合检测第一章解三角形综合检测 一 选择题 本大题共 12 个小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符号题目要求的 1 在 ABC 中 a 80 b 100 A 45 则此三角形解的情况是 A 一解 B 两解 C 一解或两解D 无解 答案 B 解析 bsinA 100 50 80 2 22 bsinA a b 此三角形有两解 2 在 ABC 中 A 45 AC 4 AB 那么 cosB 2 A B 3 10 10 3 10 10 C D 5 5 5 5 答案 D 解析 BC2 AC2 AB2 2AC ABcosA 16 2 8cos45 10 BC 210 cosB AB2 BC2 AC2 2AB BC 5 5 3 在 ABC 中 b c 3 B 30 则 a 的值为 3 A B 2 33 C 或 2D 2 33 答案 C 解析 sinC c sinB b 3 2 C 60 或 C 120 A 30 或 A 90 当 A 30 时 a b 3 当 A 90 时 a 2 故选 C b2 c23 4 已知关于 x 的方程 x2 xcosA cosB 2sin2 0 的两根之和等于两根之积的一半 C 2 则 ABC 一定是 A 直角三角形B 钝角三角形 C 等腰三角形D 等边三角形 答案 C 解析 由题意知 cosA cosB sin2 C 2 cosA cosB cos 180 A B cos A B 1 cosC 2 1 2 1 2 1 2 1 2 cosA cosB sinA sinB cos A B 1 1 2 1 2 A B 0 A B ABC 为等腰三角形 故选 C 5 ABC 中 已知下列条件 b 3 c 4 B 30 a 5 b 8 A 30 c 6 b 3 B 60 c 9 b 12 C 60 其中满足上述条件的三角形有两解的 3 是 A B C D 答案 A 解析 csinB b c 故有两解 bsinA a b 故有两解 b csinB 有一解 c bsinC 无解 所以有两解的有 故选 A 6 等腰 ABC 底角 B 的正弦与余弦的和为 则它的顶角是 6 2 A 30 或 150 B 15 或 75 C 30 D 15 答案 A 解析 由题意 sinB cosB 两边平方得 sin2B 设顶角为 A 则 A 180 2B 6 2 1 2 sinA sin 180 2B sin2B 1 2 A 30 或 150 7 在 ABC 中 内角 A B C 所对的边分别是 a b c 已知 8b 5c C 2B 则 cosC A B 7 25 7 25 C D 7 25 24 25 答案 A 解析 由 及 8b 5c C 2B 得 b sinB c sinC 5sin2B 8sinB cosB cosC cos2B 2cos2B 1 4 5 7 25 8 ABC 中 5 8 20 则 为 A 6B 7 C 8D 9 答案 B 解析 20 cosA 20 cosA 1 2 由余弦定理 得 2 2 2 2 cosA 49 7 9 已知钝角三角形的三边长分别为 2 3 x 则 x 的取值范围是 A 1 x 5 B x 513 C 1 x 或 x 5 513 D 1 x 5 答案 C 解析 当 x 为最大边时Error Error x 5 13 当 3 为最大边时Error Error 1 x 5 x 的取值范围是 1 x 或 x 5 513 10 在 ABC 中 三边长分别为 a 2 a a 2 最大角的正弦值为 则这个三角 3 2 形的面积为 A B 15 4 15 3 4 C D 21 3 4 35 3 4 答案 B 解析 三边不等 最大角大于 60 设最大角为 故 对的边长为 a 2 sin 120 3 2 由余弦定理 得 a 2 2 a 2 2 a2 a a 2 即 a2 5a 解得 a 5 三边长为 3 5 7 S ABC 3 5 sin120 1 2 15 3 4 11 在 ABC 中 B 60 C 45 BC 8 D 为 BC 上一点 且 则 AD 的 3 1 2 长为 A 4 1 B 4 1 33 C 4 3 D 4 3 33 答案 C 解析 由题意知 BAC 75 根据正弦定理 得 AB 8 1 BCsin45 sin75 3 因为 所以 BD BC 3 1 2 3 1 2 又 BC 8 所以 BD 4 1 3 在 ABD 中 AD AB2 BD2 2AB BD cos60 4 3 3 12 如图 一货轮航行到 M 处 测得灯塔 S 在货轮的北偏东 15 与灯塔 S 相距 20n mile 随后货轮按北偏西 30 的方向航行 30min 后 又测得灯塔在货轮的东北方向 则货轮 的速度为 A 20 n mile h 26 B 20 n mile h 62 C 20 n mile h 36 D 20 n mile h 63 答案 B 解析 由题意可知 SMN 15 30 45 MS 20 MNS 45 90 30 105 设货轮每小时航 行 xn mile 则 MN x 1 2 MSN 180 105 45 30 由正弦定理 得 1 2x sin30 20 sin105 sin105 sin 60 45 sin60 cos45 cos60 sin45 6 2 4 x 20 故选 B 62 二 填空题 本大题共 4 个小题 每个小题 4 分 共 16 分 将正确答案填在题中横线 上 13 在 ABC 中 已知 b 1 sinC bcosC ccosB 2 则 3 5 答案 或 8 5 8 5 解析 由余弦定理的推论 得 cosC cosB a2 b2 c2 2ab a2 c2 b2 2ac bcosC ccosB 2 2 a2 b2 c2 2a a2 c2 b2 2a a 2 即 2 sinC 0 Cc 已知 2 cosB b 3 求 1 3 1 a 和 c 的值 2 cos B C 的值 解析 1 由 2 得 c acosB 2 又 cosB 所以 ac 6 1 3 由余弦定理得 a2 c2 b2 2accosB 又 b 3 所以 a2 c2 9 2 6 13 1 3 解Error Error 得 a 2 c 3 或 a 3 c 2 因为 a c 所以 a 3 c 2 2 在 ABC 中 sinB 1 cos2B1 f 1 3 2 2 2 3 由正弦定理 得 sinC sinB c b 2 3 2 2 3 4 2 9 因为 a b c 所以 C 为锐角 因此 cosC 1 sin2C1 f 4 r 2 9 2 7 9 于是 cos B C cosBcosC sinBsinC 1 3 7 9 2 2 3 4 2 9 23 27 21 本题满分 12 分 如图 已知半圆 O 的半径为 1 点 C 在直径 AB 的延长线上 BC 1 点 P 是半圆 O 上的一个动点 以 PC 为边作正三角形 PCD 且点 D 与圆心分别在 PC 两侧 1 若 POB 试将四边形 OPDC 的面积 y 表示成 的函数 2 求四边形 OPDC 面积的最大值 解析 1 设 POB 且 0 180 在 OPC 中 OP 1 OC 2 由余弦定理 得 PC2 OP2 OC2 2OP OC cos 5 4cos SOPDC S OPC S PDC OP OC sin PC2 sin 5 4cos sin cos 1 2 3 4 3 43 5 3 4 即 y sin cos 3 5 4 3 2 由 1 得 y sin cos 2sin 60 3 5 4 3 5 3 4 0 180 60 60 120 当 sin 60 1 即 60 90 也即 150 时 SOPDC有最大值 且为 2 故当 POC 150 时 四边形 OPDC 的面积最大 最大值为 2 5 3 4 5 3 4 22 本题满分 14 分 如图所示 A B 两个小岛相距 21n mile B 岛在 A 岛的正南方 现在甲船从 A 岛出发 以 9n mile h 的速度向 B 岛行驶 而乙船同时以 6n mile h 的速度离 开 B 岛向南偏东 60 方向行驶 问行驶多少时间后 两船相距最近 并求出两船的最近距 离 解析 设行驶 t 小时后 甲船行驶了 9tn mile 到达 C 处 乙船行驶了 6