圆的知识点概念公式大全

圆的知识点概念公式大全圆的知识点概念公式大全 一 一 圆的定义圆的定义 1 在一个平面内 线段绕它固定的一个端点旋转一周 另一个端点所形成的OAOA 图形叫圆圆 这个固定的端点叫做圆心 线段叫做半径 以点为圆心的圆记OOAO 作 O 读作圆O 2 圆是在一个平面内 所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形 3 确定圆的条件 圆心 半径 其中圆心确定圆的位置 半径长确定圆的大 小 二 二 同圆 同心圆 等圆同圆 同心圆 等圆 1 圆心相同且半径相等的圆叫做同圆同圆 2 圆心相同 半径不相等的两个圆叫做同心圆同心圆 3 半径相等的圆叫做等圆等圆 三 弦和弧三 弦和弧 1 连结圆上任意两点的线段叫做弦弦 经过圆心的弦叫做直径直径 并且直径是同一圆中 最长的弦 直径等于半径的 2 倍 2 圆上任意两点间的部分叫做圆弧 简称弧弧 以为端点的弧记作 读作弧AB AB AB 在同圆或等圆中 能够重合的弧叫做等弧等弧 3 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧 每一条弧都叫做半圆半圆 在一个圆 中大于半圆的弧叫做优弧优弧 小于半圆的弧叫做劣弧劣弧 4 从圆心到弦的距离叫做弦心距弦心距 5 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形弓形 四 与圆有关的角及相关定理四 与圆有关的角及相关定理 1 顶点在圆心的角叫做圆心角圆心角 将整个圆分为等份 每一份的弧对应的圆心3601 角 我们也称这样的弧为的弧 圆心角的度数和它所对的弧的度数相等 1 2 顶点在圆上 并且两边都和圆相交的角叫做圆周角圆周角 圆周角定理圆周角定理 在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角相等 都等于这条弧所 对的圆心角的一半 推论推论 1 1 在同圆或等圆中 如果两个圆周角相等 它们所对的弧一定相等 推论推论 2 2 半圆 或直径 所对的圆周角是直角 的圆周角所对的弦是直径 90 在同圆中 半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角 3 顶点在圆内 两边与圆相交的角叫圆内角圆内角 圆内角定理圆内角定理 圆内角的度数等于圆内角所对的两条弧的度数和的一半 4 顶点在圆外 两边与圆相交的角叫圆外角 圆外角定理圆外角定理 圆外角的度数等于圆外角所对的长弧的度数与短弧的度数的差的一 半 5 圆内接四边形圆内接四边形的对角互补 一个外角等于其内对角 6 如果三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形是直角三角形 7 圆心角 弧 弦 弦心距圆心角 弧 弦 弦心距之间的关系定理 在同圆或等圆中 相等的圆心角所对 的弧相等 所对的弦相等 所对的弦的弦心距相等 推论推论 在同圆或等圆中 如果两个圆心角 两条弧 两条弦或两条弦的弦心距中 有一组量相等 那么它们所对应的其余各组量分别相等 五 垂径定理五 垂径定理 1 垂径定理垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分弦所对的两条弧 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 2 其它正确结论 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧 圆的两条平行弦所夹的弧相等 3 知二推三 知二推三 直径或半径 垂直弦 平分弦 平分劣弧 平分优弧 以上五个条件知二推三 注意 在由 推 时 要注意平分的弦非直径 4 常见辅助线做法 常见辅助线做法 过圆心 作垂线 连半径 造 用勾股 求长度 RT 有弧中点 连中点和圆心 得垂直平分 相关题目 相关题目 1 平面内有一点到圆上的最大距离是 6 最小距离是 2 求该圆的半径 2 08 郴州 已知在中 半径 是两条平行弦 且 O 5r ABCD 86ABCD 则弦的长为 解 AC25 27 2 六 点与圆的位置关系六 点与圆的位置关系 1 点与圆的位置点与圆的位置有三种 点在圆外 点在圆上 点在圆内 dr dr dr 如下表所示 位置关系图形定义性质及判定 点在圆外 P r O 点在圆的外部点在的外部 dr PO 点在圆上 P r O 点在圆周上点在的圆周上 dr PO 点在圆内 Pr O 点在圆的内部点在的内部 dr PO 2 过已知点作圆过已知点作圆 经过点的圆 以点以外的任意一点为圆心 以的长为半径 即可作AAOOA 出过点的圆 这样的圆有无数个 A 经过两点的圆 以线段中垂线上任意一点作为圆心 以的长为AB ABOOA 半径 即可作出过点的圆 这样的圆也有无数个 AB 过三点的圆 若这三点共线时 过三点的圆不存在 若三点ABC ABC 不共线时 圆心是线段与的中垂线的交点 而这个交点是唯一存在的 ABBCO 这样的圆有唯一一个 过个点的圆 只可以作个或 个 当只可作一个时 其圆心是其中n 4n 01 不共线三点确定的圆的圆心 3 定理 定理 不在同一直线上的三点确定一个圆 注意注意 不在同一直线上 这个条件不可忽视 换句话说 在同一直线上的三 点不能作圆 确定 一词的含义是 有且只有 即 唯一存在 4 三角形的外接圆三角形的外接圆 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆外接圆 外接圆的圆心是三角形三条边垂 直平分线的交点 叫做三角形的外心外心 这个三角形叫做这个圆的内接三角形内接三角形 三角形外心的性质 三角形的外心是指外接圆的圆心 它是三角形三边垂直平分线的交点 它到三 角形各顶点的距离相等 三角形的外接圆有且只有一个 即对于给定的三角形 其外心是唯一的 但一 个圆的内接三角形却有无数个 这些三角形的外心重合 锐角三角形外接圆的圆心在它的内部 如图 1 直角三角形外接圆的圆心在斜 边中点 处 即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半 如图 2 钝角三角形外接圆的 圆心在 它的外部 如图 3 图 3图 2图 1 O C B A O C B A O C B A 五 直线和圆的位置关系的定义 性质及判定五 直线和圆的位置关系的定义 性质及判定 设的半径为 圆心到直线 的距离为 则直线和圆的位置关系如下表 O rOld 位置 关系 图形定义性质及判定 相离 l O d r 直线与圆没有公共点直线 与相离dr lO 相切 l O d r 直线与圆有唯一公共点 直 线叫做圆的切线 公共点叫 做切点 直线 与相切dr lO 相交 l O d r 直线与圆有两个公共点 直 线叫做圆的割线 直线 与相交dr lO 从另一个角度 直线和圆的位置关系还可以如下表示 四 切线的性质及判定四 切线的性质及判定 直线和圆的位置关系相交相切相离 公共点个数 210 圆心到直线的距离与半径的关dr 系 dr dr dr 公共点名称交点切点 直线名称割线切线 1 切线的性质 切线的性质 定理 圆的切线垂直于过切点的半径 推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 2 切线的判定切线的判定 定义法 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线 距离法 和圆心距离等于半径的直线是圆的切线 定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 3 切线长和切线长定理 切线长和切线长定理 在经过圆外一点的圆的切线上 这点和切点之间的线段的长 叫做这点到圆的 切线长 从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 圆心和这一点的连线平分两 条切线的夹角 五 三角形内切圆五 三角形内切圆 1 定义 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆内切圆 内切圆的圆心叫做三角形 的内心 内心 这个三角形叫做圆的外切三角形外切三角形 2 多边形内切圆多边形内切圆 和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆 该多边形叫做 圆的外切多边形 六 圆和圆的位置关系的定义 性质及判定六 圆和圆的位置关系的定义 性质及判定 设的半径分别为 其中 两圆圆心距为 则两圆位置关系 12 OO Rr Rr d 如下表 位置关 系 图形定义性质及判定 外离 两个圆没有公共点 并且每 个圆上的点都在另一个圆的 外部 两圆外dRr 离 外切 两个圆有唯一公共点 并且 除了这个公共点之外 每个 圆上的点都在另一个圆的外 部 两圆外dRr 切 相交两个圆有两个公共点 两RrdRr 圆相交 内切 两个圆有唯一公共点 并且 除了这个公共点之外 一个 圆上的点都在另一个圆的内 部 两圆内dRr 切 内含 两个圆没有公共点 并且一 个圆上的点都在另一个圆的 内部 两圆同心是两圆内含 的一种特例 两圆0dRr 内含 说明 圆和圆的位置关系 又可分为三大类 相离 相切 相交 其中相离两圆没有 公共点 它包括外离与内含两种情况 相切两圆只有一个公共点 它包括内切与外切 两种情况 七 正多边形与圆七 正多边形与圆 1 正多边形正多边形的定义 各条边相等 并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形 2 正多边形的相关概念 正多边形的中心中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心 正多边形的半径半径 正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径 正多边形的中心角中心角 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角 正多边形的边心距边心距 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距 3 正多边形的性质正多边形的性质 正边形的半径和边心距把正边形分成个全等的直角三角形 nn2n 正多边形都是轴对称图形 正边形共有条通过正边形中心的对称轴 nnn 偶数条边的正多边形既是轴对称图形 也是中心对称图形 其中心就是