利用一次函数与不等式进行方案设计

1 4 利用一次函数与不等式进行方案设计利用一次函数与不等式进行方案设计 不等式与一次函数原本是属于不同性质的两个数学知识 但在我们的生活 实践中却存在着许多的问题 若能巧妙地构造出一次函数 再运用综合运用不 等式的知识求解 往往能显得十分简捷 现以 2008 年中考试题为例说明如下 例例 1 南充市 南充市 某乒乓球训练馆准备购买 10 副某种品牌的乒乓球拍 每 副球拍配 x x 3 个乒乓球 已知 A B 两家超市都有这个品牌的乒乓球拍和乒乓 球出售 且每副球拍的标价都为 20 元 每个乒乓球的标价都为 1 元 现两家超 市正在促销 A 超市所有商品均打九折 按原价的 90 付费 销售 而 B 超市 买 1 副乒乓球拍送 3 个乒乓球 若仅考虑购买球拍和乒乓球的费用 请解答下 列问题 1 如果只在某一家超市购买所需球拍和乒乓球 那么去 A 超市还是 B 超市买更合算 2 当 x 12 时 请设计最省钱的购买方案 分析 1 分别求出 A B 两家超市购买所需费的表达式 再进行分类讨论 求解 2 当 x 12 时 即购买 10 副球拍应配 120 个乒乓球 由此可通过适当 计算进行比较求解 解 1 去 A 超市购买所需费用 yA 0 9 20 10 10 x 9x 180 去 B 超市购买所需费用 yB 20 10 10 x 3 10 x 170 当 yA yB时 即 9x 180 10 x 170 解得 x 10 当 yA yB时 即 9x 180 10 x 170 解得 x 10 当 yA yB时 即 9x 180 10 x 170 解得 x 10 综上所述 当 x 10 时 去 A 超市购买更合算 当 x 10 时 去 A 超市或 B 超市购买一样 当 3 x 10 时 去 B 超市购买更合算 2 当 x 12 时 即购买 10 副球拍应配 120 个乒乓球 若只去 A 超市购 买的费用为 9x 180 9 12 180 288 元 若在 B 超市购买 10 副球拍 去 A 超市购买余下的乒乓球的费用为 200 0 9 12 3 10 281 元 因为 281 288 所以最佳方案为 只在 B 超市 购买 10 副球拍 同时获得送 30 个乒乓球 然后去 A 超市按九折购买 90 个乒乓 球 2 4 说明 这是一道方案设计问题 意在全面考查同学们应用不等式 一次函 数解决生活实际问题的能力 例例 2 湘潭市 湘潭市 我市花石镇组织 10 辆汽车装运完 A B C 三种不同品质 的湘莲共 100 吨到外地销售 按计划 10 辆汽车都要装满 且每辆汽车只能装同 一种湘莲 根据下表提供的信息 解答以下问题 湘 莲 品 种ABC 每辆汽车运载量 吨 12108 每吨湘莲获利 万元 342 1 设装运 A 种湘莲的车辆数为 x 装运 B 种湘莲的车辆数为 y 求 y 与 x 之间的函数关系式 2 如果装运每种湘莲的车辆数都不少于 2 辆 那么车辆的安排方案有几 种 并写出每种安排方案 3 若要使此次销售获利最大 应采用哪种安排方案 并求出最大利润的 值 分析 1 依题意 每种车型的装载量和总载重可得一个等式 12x 10y 8 10 x y 100 即可整理得 y 与 x 的关系 2 由装运每种湘莲的 车辆数都不少于 2 辆 由此得到装运 A 种湘莲的车辆数的不等式组 即确定出 x 的取值范围 再根据 x 是正整数 决定方案 3 依题意 可列出此次销售的 一次函数表达式 再利用一次函数的性质求解 解 1 因为装 A 种为 x 辆 装 B 种为 y 辆 装 C 种为 10 x y 辆 则根据题意 得 12x 10y 8 10 x y 100 所以 y 10 2x 2 10 x y 10 x 10 2x x 故装 C 种车也为 x 辆 所以 2 1022 x x 解得 2 x 4 x 为整数 所以 x 2 3 4 故车辆有 3 种安排方案 方案如 下 方案一 装 A 种 2 辆车 装 B 种 6 辆车 装 C 种 2 辆车 方案二 装 A 3 4 种 3 辆车 装 B 种 4 辆车 装 C 种 3 辆车 方案三 装 A 种 4 辆车 装 B 种 2 辆车 装 C 种 4 辆车 3 设销售利润为 W 万元 则 W 3 12x 4 10 10 2x 2 8x 28x 400 故 W 是 x 是的一次函数 且 x 增大时 W 减少 故 x 2 时 W 的最大值 400 28 2 344 万元 说明 本题着重考查同学们根据实际问题建立函数模型的能力 求解时可运 用不等式组解决方案设计问题 利用一次函数的性质确定最大利润问题 例例 3 梅州市 梅州市 一方有难 八方支援 在抗击 5 12 汶川特大地震灾害中 某市组织 20 辆汽车装运食品 药品 生活用品三种救灾物资共 100 吨到灾民安 置点 按计划 20 辆汽车都要装运 每辆汽车只能装运同一种救灾物资且必须装 满 根据表中提供的信息 解答下列问题 物资种类食品药品生活用品 每辆汽车运载量 吨 654 每吨所需运费 元 吨 120160100 1 设装运食品的车辆数为 x 装运药品的车辆数为 y 求 y 与 x 的函数关 系式 2 如果装运食品的车辆数不少于 5 辆 装运药品的车辆数不少于 4 辆 那么车辆的安排有几种方案 并写出每种安排方案 3 在 2 的条件下 若要求总运费最少 应采用哪种安排方案 并求出 最少总运费 分析 1 由于装运食品 药品 生活用品之和等于 100 由此可以得出一 个关于 x 与 y 的方程 即得到 y 与 x 的函数关系式 2 利用 装运食品的车辆 数不少于 5 辆 装运药品的车辆数不少于 4 辆 列出不等式组 从而确定了装 运食品 药品 生活用品的车辆数 3 构造出一次函数 利用一次函数的性 质即可求解 解 1 根据题意 装运食品的车辆数为 x 装运药品的车辆数为 y 那么装运生活用品的车辆数为 20 x y 则有 6x 5y 4 20 x y 100 整理 得 y 20 2x 4 4 2 由 1 知 装运食品 药品 生活用品三种物资的车辆数分别为 x 20 2x x 则由题意 得解这个不等式组 得 5 x 8 5 2024 x x 因为 x 为整数 所以 x 的值为 5 6 7 8 所以安排方案有 4 种 方案一 装运食品 5 辆 药品 10 辆 生活用品 5 辆 方案二 装运食品 6 辆 药品 8 辆 生活用品 6 辆 方案三 装运食品 7 辆 药品 6 辆 生活用品 7 辆 方案四 装运食品 8 辆 药品 4 辆 生活用品 8 辆 3 设总运费为 W 元 则 W 6x 120 5 20 2x 160 4x