新浙教版七年级上册数学第五章《一元一次方程》知识点及典型例题

1 新浙教版七年级上册数学第五章新浙教版七年级上册数学第五章 一元一次方程一元一次方程 知识点及典型例题知识点及典型例题 知识框图 朱国林 一元一次方程一元一次方程 一元一次方程一元一次方程 等式的等式的 基本性质基本性质 定义 方程两边都是整式 只含有一个未知数 未知数的指数是一次的方程 方程的解 使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解 等式的性质 1 等式的两边加上 或都减去 同一个数或式 所得的结果仍是等式 课外拓展应用课外拓展应用 题类型题类型 浙教版教材中 应用题类型 等式的性质 2 等式的两边都乘或都除以同一个数或式 除数不能为 0 所得的结 果仍是等式 解方程 求方程解的过程 一元一次一元一次 方程的解法方程的解法 浙教版教材中 方程的类型 分母为整数的方程 两边同乘最小公倍数 去分 母 和差倍分问题 可以从题目中看出明确的等量关系 分母为小数的方程 先将小数变为整数 然后再去分母 解方程的步骤去分母 去括号 移项 合并同类项 两边同除以未知数的系数 一元一次一元一次 方程的应用方程的应用 分配问题 等量关系为 全部数量 各个部分数量之和 行程问题 包括相遇问题和追及问题 顺风与逆风问题 等积问题 利用面积相等或体积相等列方程 调配问题 将 A 调往 B 等形成新的数量关系 储蓄问题 要弄清利息 利息税 本利和等概念 重叠问题 借助于韦恩图列方程 主要有人数重叠或面积重叠 折扣与利润问题 数字问题 设间接未知数 注意数如何用字母表示出来 年龄问题 抓住年龄增长的特点 一年一岁 人人平等 工程问题 一般设总工作量为 1 列方程解实际列方程解实际 问题的一般过问题的一般过 程程 审题 分析题意 找出数量关系 尤其是等量关系 设未知数 设哪一个量为未知数 x 以好列方程为原则 列方程 根据相等关系列出方程 解方程 求出未知数的值 检验 检查求得的值是否正确和符合实际情形 这是在草稿纸草稿纸 上完成或心里完成的 并写出答案以及答 这是在试卷上完成 的 2 关于一元一次方程概念的拓展关于一元一次方程概念的拓展 教材中的概念 方程两边都是整式 只含有一个未知数 未知数的指数是一次的方程是一元一次方程 那 么 x 2 x 3 是一元一次方程吗 从概念上来看 是一元一次方程 但稍作变形 就是 2 3 是不是觉得很可笑 因此 一元一次方程的概念应该是一元一次方程的概念应该是 方程两边都是整式 只含有一个未知数 未知数的指数是一次 并且能变 形为 ax b a 0 a b 均为常数 的方程是一元一次方程 也就是说 一元一次方程一定只有一个解 关于用方程解应用题的秘诀 关于用方程解应用题的秘诀 相关条件设未知数 剩余条件列方程 考点一 考点一 判断方程是不是一元一次方程及一元一次方程概念的简单应用 考点二 考点二 关于在解方程过程中的某些变形问题 只能以选择题的形式出现 考点三考点三 解一元一次方程 考点四考点四 列一元一次方程解与实际生活无关的题目 可以是选择题 填空题 解答题 考点五 考点五 列一元一次方程解与实际生活有关的题目 可以是选择题 填空题 解答题 将考点与相应习题联系起来将考点与相应习题联系起来 考点一 判断方程是不是一元一次方程及一元一次方程概念的简单应用考点一 判断方程是不是一元一次方程及一元一次方程概念的简单应用 1 下列等式中是一元一次方程的是 A 3x y 1 B C 3 x 1 2x 3 D 3x2 2 3 E 2 1 21xx 1 1x x 2 在方程 中一元一次方程的个数为 23 yx02 1 x x 2 1 2 1 x032 2 xx A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 3 如果是一元一次方程 那么 方程的解为 特别注意特别注意 063 12 a x a 考点二 关于在解方程过程中的某些变形问题 只能以选择题的形式出现考点二 关于在解方程过程中的某些变形问题 只能以选择题的形式出现 1 已知等式 则下列等式中不一定成立的是 523 ba A B C D 253ba 6213 ba 523 bcac 3 5 3 2 ba 2 解方程 去分母 得 26 3 1 xx A B C D 133xx 633xx 633xx 133xx 3 下列方程变形中 正确的是 A 方程 移项 得 1223 xx 2123 xx B 方程 去括号 得 1523 xx 1523 xx C 方程 未知数系数化为 1 得 D 方程化成 2 3 3 2 t 1 t 1 1 0 20 5 xx 101010 1 25 xx 考点三 解一元一次方程考点三 解一元一次方程 1 2 xx3 15 67 05 0 1 2 2 3 3 2 1 3 4 1 6 76 3 52 2 12 xxx 4 0 6 0 x 3 0 11 0 x 3 考点四 列一元一次方程 解与实际生活无关的题目 可以是选择题 填空题 解答题 考点四 列一元一次方程 解与实际生活无关的题目 可以是选择题 填空题 解答题 1 方程与方程的解相同 则 m 的值为 4 32 x mx 6 16 2 1 x 2 已知 5x 3 8x 3 和 6 5ax 3 7 这两个方程的解是互为相反数 则 a 3 某数的 4 倍减去 3 比这个数的一半大 4 则这个数为 4 若与互为相反数 则的值是 3 2 2 1 2 5 一个两位数 个位上的数字是十位上的数字的 3 倍 它们的和是 12 那么这个两位数是 6 写出一个以 x 2 1 为解的一元一次方程 7 小明在做解方程作业时 不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚 被污染的方程是 11 2 22 yy 怎么办呢 小明想了一想 便翻看书后答案 此方程的解是 于是很快就补好了这个常数 你能 5 3 y 补出这个常数吗 它应是 A 1 B 2 C 3 D 4 8 已知是方程的根 求代数式的值 2 1 x 32 1 4 2mxmx 1 2 1 824 4 1 2 mmm 已知关于的一元一次方程的解为 那么关于的一元一次方程xbxx 23 011 2 1 2 xy 的解为 byy 1231 011 2 1 考点五 列一元一次方程解与实际生活有关的题目 可以是选择题 填空题 解答题 考点五 列一元一次方程解与实际生活有关的题目 可以是选择题 填空题 解答题 1 日历上竖列相邻的三个数 它们的和是 39 则第一个数是 A 6 B 12 C 13 D 14 2 有 m 辆客车及 n 个人 若每辆客车乘 40 人 则还有 10 人不能上车 若每辆客车乘 43 人 则还有 1 人不能 上车 有下列四个等式 4010431mm 101 4043 nn 101 4043 nn 4 其中正确的是 4010431mm A B C D 3 某商店卖出两件衣服 每件 60 元 其中一件赚 25 另一件亏 25 那么这两件衣服卖出后 商店是 A 不赚不亏 B 赚 8 元 C 亏 8 元 D 赚 15 元 4 一件商品提价 25 后发现销路不是很好 欲恢复原价 则应降价 A 40 B 20 C 25 D 15 5 小强比他叔叔小 30岁 而两年前 小强的年龄是他叔叔的 则小强的叔叔今年 岁 4 1 6 一项工程甲独做 10 天完成 乙的工作效率是甲的 2 倍 两人合做了 2 天未完成 剩下的工作量由乙完成 还需的天数为 A 1 天 B 2 天 C 3 天 D 4 天 7 小明存入 100 元人民币 存期一年 年利率为 2 到期应缴纳所获利息的 20 的利息税 那么小明存款到 期交利息税后共得款 A 106 元 B 102 元 C 111 6 元 D 101 6 元 8 银行教育储蓄的年利率如右下表 小明现正读七年级 今年 7 月他父母为他在银行存款 30000 元 以供 3 年后上高中 使用 要使 3 年后的收益最大 则小明的父母应该采用 A 直接存一个 3 年期 B 先存一个 1 年期的 1 年后将利息和自动转存一个 2 年期 C 先存一个 1 年期的 1 年后将利息和自动转存两个 1 年期 D 先存一个 2 年期的 2 年后将利息和自动转存一个 1 年期 9 某酒店为招揽生意 对消费者实施如下优惠 凡订餐 5 桌以上 多于 5 桌的部分按定价的 7 折收费 小叶集 团公司组织工会活动 预定了 10 桌 缴纳现金 2550 元 那么每桌定价是 元 10 某商店将彩电按成本价提高 50 然后在广告上写 大酬宾 八折优惠 结果每台彩电仍获利 270 元 那 么每台彩电成本价是 11 国家规定个人发表文章 出版图书获得稿费的纳税计算办法是 1 稿费低于 800 元的不纳税 2 稿费高 于 800 元 又不高于 4000 元 应纳超过 800 元的那一部分稿费的 14 的税 3 稿费高于 4000 元 应缴纳全 部稿费的 11 的税 某作家缴纳了 280 元税 那么他获得的稿费是 元 1212 和 差 倍 分问题 和 差 倍 分问题 1 希望工程 委员会将 2000 元奖金发给全校 25 名三好学生 其中市级三好学生每 人得奖金 200 元 校级三好学生每人得奖金 50 元 问全校市级三好学生 校级三好学生各有多少人 1313 等积变形问题 等积变形问题 要锻造一个直径为 8cm 高为 4cm 的圆柱形毛坯 应截取直径为 4cm 的圆钢多少 cm 1414 调配问题 调配问题 某中学组织同学们春游 如果每辆车座 45 人 有 15 人没座位 如果每辆车座 60 人 那么空 出一辆车 其余车刚好座满 问有几辆车 有多少同学 一年期二年期三年期 2 252 432 70 5 1515 行程问题 行程问题 一队学生去学校外进行军事训练 他们以每小时 5 千米的速度行进了 18 分钟 学校要将一 个紧急通知传给队长 通讯员从学校出发 骑自行车以每小时 14 千米的速度按原路追上去 通讯员需要多少 时间可以追上学生队伍 某桥长 1000 米 一列火车从桥上通过 测得火车从开始上桥到过完桥共用 60 秒 而整列火车完全在桥上的时 间是 40 秒 求火车的速度和长度 1616 工程问题 工程问题 一项工程 甲 单独做需 20 天完成 乙单独做需 30 天完成 如果先由甲单独做 8 天 再由 乙单独做 3 天 剩下的由甲 乙两人合作还需要几天完成 1717 利润率问题 利润率问题 某商品按定价销售 每个可获利 45 元 现在按定价的 8 5 折出售 8 个所能获得的利润与按 定价每个减价 35 元出售 12 个所获得利润一样 问这种商品每个的进价 定价各是多少元 1818 银行储蓄问题 银行储蓄问题 小丽的爸爸前年存了年利率为 2 25 的二年期定储蓄 今年到期后 扣除利息的 20 作 为利息税 所得利息正好为小丽买了一只价值 36 元的计算器 问小丽爸爸前年存了多少元钱 1919 数字问题 数字问题 有一个三位数 十位数字是个位数字 2 倍 百位数字比个位数字大 3 如果把十位上的数字 与百位上的数字对调 新的三位数与原来三位数和为 1246 求原来的三位数 2020 年龄问题 其基本数量关系 年龄问题 其基本数量关系 大小两个年龄差不会变 大小两个年龄差不会变 现在儿子的年龄是 8 岁 父亲的年龄是儿子年龄的 4 倍 多少年后父亲的年龄是儿子年龄的 3 倍 21 比例类应用题 比例类应用题 甲 乙二人去商店买东西 他们所带钱数的比是 7 6 甲用掉 50 元 乙用掉 60 元 则 二人余下的钱数比为 3 2 求二人余下的钱数分别是多少 6 2222 重叠类数学问题 重叠类数学问题 七年级二班有 45 人报名参加了文学社或书画社 已知参加文学社的人数比参加书画社 的人数多 5 人 两个社都参加的有 20 人 问参加书画社的有多少人 巩巩 固固 练练 习习 一 选择题一 选择题 每小题 3 分 共 30 分 1 下列方程是一元一次方程的是 A x 2y 5 B 1 1 x 2 C x2 8x 3 D y 1 2 下列方程中 解是 x 2 的是 A 2x 2 0 B 2 1 x 4 C 4x 2 D 2 1 x 1 2 1 3 将方程 5x 1 4x 变形为 5x 4x 1 这个过程利用的性质是 A 等式性质 1 B 等式性质 2 C 移项 D 以上说法都不对 4 方程 3 2 1 x 1 变形如下 正确的是 A 6 x 1 2 B 3 x 1 2 C 6 x 1 1 D 6 x 1 2 5 如果 x 8 是方程 3x 8 4 x a 的解 则 a 的值为 A 14 B 14 C 30 D 30 6 某工作 甲单独完成需 4 天 乙单独完成需 8 天 现甲先工作 1 天后和乙共同完成余下的工作 甲一共做了 A 2 天 B 3 天 C 4 天 D 5 天 7 小明存入 100 元人民币 存期一年 年利率为 2 到期应缴纳所获利息的 20 的利息税 那么小明存款到 期交利息税后共得款 A 106 元 B 102 元 C 111 6 元 D 101 6 元 8 某种商品的标价为 132 元 若以标价的 9 折出售 仍可获利 10 则该商品的进价为 A 105 元 B 100 元 C 108 元 D 118 元 9 某工地调来 72 人挖土和运土 已知 3 人挖的 1 人恰好能全部运走 怎样调配劳动力才能使挖出来的土能够 及时运走且不窝工 解决此问题可设 x 人挖土 其他人运土 列方程 1 x x 3 72 3 2 72 x 3 x 3 x x 72 3 4 x 3x 72 上述所列方程正确的是 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 7 10 某轮船在两个码头之间航行 顺水航行需 4h 逆水航行需 6h 水流速度是 2km h 求两个码头之间的距离 我们可以设两个码头之间的距离为 xkm 得到方程 A 4 2 x 6 2 x B 4 x 2 6 x 2 C 4 x 6 x 2 D 64 2 x 4 x 2 二 填空题二 填空题 每小题 4 分 共 24 分 11 若 2 的 2 倍与 3 的差等于 2 的一半 则可列方程为 12 写出一个以 x 2 1 为解的一元一次方程 13 已知 5x 3 8x 3 和 6 5ax 3 7 这两个方程的解是互为相反数 则 a 14 小强的速度为 5 千米 时 小刚的速度为 4 千米 时 两人同时出发 相向而行 经过 x 小时相遇 则两地相 距 千米 15 某酒店为招揽生意 对消费者实施如下优惠 凡订餐 5 桌以上 多于 5 桌的部分按定价的 7 折收费 小叶集 团公司组织工会活动 预定了 10 桌 缴纳现金 2550 元 那么每桌定价是 元 16 国家规定个人发表文章 出版图书获得稿费的纳税计算办法是 1 稿费低于 800 元的不纳税 2 稿费高于 800 元 又不高于 4000 元 应纳超过 800 元的那一部分稿费的 14 的税 3 稿费高于 4000 元 应缴纳全 部稿费的 11 的税 某作家缴纳了 280 元税 那么他获得的稿费是 元 三 解答题三 解答题 共 66 分 17 6 分 解下列方程 1 4x 2 x 3 x 2 x 6 2 3 1 xx 1 18 6 分 当 x 取何值时 代数式 6 23 x 和 x 2 是互为相反数 19 6 分 若代数式 3a3b4 5n 与 6a6 m 1 bm 1是同类项 求 m2 5mn 的值 20 8 分 如图 小明将一个正方形纸片剪去一个宽为 4 厘米的长条后 再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为 5 厘米的长条 如果两次剪下的长条面积正好相等 那么每一个长条的面积为多少 21 8 分 一项工程 由甲队独做需 12 个月完工 由乙队独做需 15 个月完工 现决定由两队合作 且为了加快 8 进度 甲 乙两队都将提高工作效率 若甲队的工作效率提高 40 乙队的工作效率提高 25 则两队合作 几个月可以完工 22 10 分 某市按以下规定收取每月水费 若每月每户用水不超过 20 立方米 则每立方米水价按 1 2 元收费 若超过 20 立方米 则超过部分每立方米按 2 元收费 如果某居民在某月所交水费的平均水价为每立方米 1 5 元 那么这个月他共用了多少立方米水 23 10 分 小强 小芳 小亮在郊游 看到远处一列火车匀速通过一个隧道后 产生了以下对话 各位同学 请 根据他们的对话求出这列火车的长 24 12 分 温州和杭州某厂同时生产某种型号的机器若干台 温州厂可支援外地 10 台 杭州厂可支援外地 4 台 现 在决定给武汉 8 台 南昌 6 台 每台机器的运费