2015届绵阳一诊数学(理工类)试题(含参考答案)

绵阳市高绵阳市高 20122012 级第一次诊断性考试级第一次诊断性考试 数学数学 理工类 参考解答及评分标准参考解答及评分标准 百度贴吧网络红人安晓庆吧编辑整理 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 DBDAC BACDA 10 题提示 由 对 x R 恒成立 显然 a 0 b ax 1 x ebax 1 x e 若 a 0 则 ab 0 若 a 0 则 ab a a2x 设函数 求导求出 f x 的最小值为 1 x e xfxaae x21 aaaafln2 1 ln 22 设 求导可以求出 g a 的最大值为 0 ln2 22 aaaaag 3 2 3 2 1 eeg 即的最大值是 此时 ab 3 2 1 e 2 3 2 3 2 1 ebea 二 填空题 本大题共 5 小题 每小题 5 分 共 25 分 11 12 113 4014 3021 15 5 3 15 题提示 容易证明正确 不正确 反例 在区间 0 6 上 xxf 正确 由定义 得 2 1 0 2 0 mm mxx 1 1 1 00 2 0 xmmxx 又所以实数m的取值范围是 0 x 11 20 m 正确 理由如下 由题知 ab ab x lnln ln 0 要证明 即证明 ab x 1 ln 0 b a a b ab ab a b abab ab ln 1lnln 令 原式等价于 1 t a b 0 1 ln2 1 ln 2 t tt t tt 令 则 1 1 ln2 t t ttth0 1 121 1 2 2 2 2 2 2 t t t tt tt th 所以得证 0 1 1 ln2 h t ttth 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 16 解 2m n 1 xf1cos2cossin2 2 xxx 6 分 4 2sin 22cos2sin xxx 由题意知 即 解得 7 分 T 2 2 1 由 知 4 2sin 2 xxf x 得 6 4 12 7 4 2 x 4 3 又函数 y sinx 在 上是减函数 12 7 4 3 10 分 34 sin 2 12 7 sin2 max xf 3 sin 4 cos2 3 cos 4 sin2 12 2 13 分 17 解 由题知解得 即 3 分 01 02 t t 21 t 21 D g x x2 2mx m2 此二次函数对称轴为 4 分 22 2 mmx mx 若 2 即 m 2 时 g x 在上单调递减 不存在最小值 m 21 若 即时 g x 在上单调递减 上递增 21 m12 m 1 m 2 m 此时 此时值不存在 22 2 min mmgxgm 1 即 m 1 时 g x 在上单调递增 m 21 此时 解得 m 1 11 分221 1 2 min mmgxg 综上 12 分1 m 18 解 5 1 cos5 ABCAB 2BC 由余弦定理 52 22 2 5 2 25 ABCBCBABCBAAC cos2 222 5 1 3 分 5 AC 又 所以 0 ABC 5 62 cos1sin 2 ABCABC 由正弦定理 ABC AC ACB AB sinsin 得 6 分 5 62sin sin AC ABCAB ACB 以为邻边作如图所示的平BCBA 行四边形 如图 ABCE 则 5 1 coscos ABCBCE BE 2BD 7 CE AB 5 在 BCE 中 由余弦定理 BCECECBCECBBE cos2 222 即 5 1 522549 2 CBCB 解得 10 分4 CB 在 ABC 中 33 5 1 45245cos2 22222 ABCBCBABCBAAC 即 12 分33 AC 19 解 由 83 2 53 9aaaS BC D A E 得 解得 7 2 4 9 2 23 3 11 2 1 1 dadada da 12 1 da 5 分1 nann nnn Sn 2 3 22 12 2 由题知 n c 1 2 2 n n 若使为单调递减数列 则 n c nn cc 1 2 2 2 1 n n 1 2 2 n n 对一切 n N 恒成立 8 分0 1 2 2 4 2 nn n 即 max 1 2 2 4 0 1 2 2 4 nnnn 又 10 分 1 2 2 4 nn 3 2 2 23 2 1 2 2 2 n n nn n nn n 当或时 1 n2 max 1 2 2 4 nn3 1 12 分 3 1 20 证明 由 得 1 分1 axexf x aexf x 由 0 即 0 解得 x lna 同理由 0 解得 x lna x f aex x f 在 lna 上是减函数 在 lna 上是增函数 xf 于是在取得最小值 xfaxln 又 函数恰有一个零点 则 4 分 xf0 ln min afxf 即 5 分01ln ln aae a 化简得 1ln1ln01ln aaaaaaaa a 于是 即 6 分 1 aa ea 解 由 知 在取得最小值 xfaxln lnaf 由题意得 0 即 0 8 分 lnaf1ln aaa 令 则 1ln aaaahaahln 由可得 0 a1 0 a h0 a h 在 0 1 上单调递增 在 1 上单调递减 即 ah0 1 max hah 当 0 a1 时 h a 0 要使得 0 对任意 x R 恒成立 xf 1 a 的取值集合为 13 分a 1 21 解 由得 x e nxm xf ln x xe xmxnxm xf ln 0 x 由已知得 解得 m n 0 1 e nm f 又 即 n 2 ee n f 2 1 m n 2 3 分 由 得 ln1 2 xxx xe xf x 令 xpxxxln1 0 x 当 x 0 1 时 当 x 1 时 0 xp0 xp 又 所以当 x 0 1 时 当 x 1 时 0 x e0 x f0 x f 的单调增区间是 0 1 的单调减区间是 1 8 分 xf xf 证明 由已知有 ln1 1ln xxx x x xg 0 x 于是对任意 等价于 0 x 2 1 exg 1 1ln ln1 2 e x x xxx 由 知 xpxxxln1 0 x ln ln2ln 2 exxxp 0 x 易得当时 即单调递增 0 2 ex 0 x p xp 当时 即单调递减 2 ex0 x p xp 所以的最大值为 故 xp 22 1