第十二章电路定理

第十二章第十二章 电路定理电路定理 一 教学基本要求一 教学基本要求 1 了解周期函数分解为傅里叶级数的方法和信号频谱的概念 2 理解周期量的有效值 平均值的概念 掌握周期量有效值的计算方法 3 掌握非正弦周期电流电路的谐波分析法和平均功率的计算 了解滤波 器的概念 二 教学重点与难点二 教学重点与难点 教学重点 1 非正弦周期电流电路的电流 电压的有效值 平均值 2 非正弦周期电流电路的平均功率 3 非正弦周期电流电路的计算方法 叠加定理 戴维宁定理和诺顿定理 教学难点 1 叠加定理在非正弦周期电流电路中的应用 2 非正弦周期电流电路功率的计算 三 本章与其它章节的联系 三 本章与其它章节的联系 本章主要讨论非正弦周期电流 电压信号的作用下 线性电路的稳态分析 和计算方法 非正弦周期信号可以分解为直流量和一系列不同频率正弦量之和 每一信号单独作用下的响应 与直流电路及交流电路的求解方法相同 再应用 叠加定理求解 是前面内容的综合 四 学时安排四 学时安排 总学时 总学时 4 教 学 内 容学 时 1 非正弦周期信号及周期函数分解为傅立叶级数2 2 有效值 平均值和平均功率 非正弦周期电流电路的计算 2 五 教学内容五 教学内容 12 1 12 1 非正弦周期信号非正弦周期信号 生产实际中不完全是正弦电路 经常会遇到非正弦周期电流电路 在电子 技术 自动控制 计算机和无线电技术等方面 电压和电流往往都是周期性的 非正弦波形 非正弦周期交流信号的特点 1 不是正弦波 2 按周期规律变化 满足 k 0 1 2 式中 T 为周期 图 12 1 为一些典型的 非正弦周期信号 a 半波整流波形 b 锯齿波 c 方波 图 12 1 本章主要讨论非正弦周期电流 电压信号的作用下 线性电路的稳态分析 和计算方法 采用谐波分析法 实质上就是通过应用数学中傅里叶级数展开方 法 将非正弦周期信号分解为一系列不同频率的正弦量之和 再根据线性电路 的叠加定理 分别计算在各个正弦量单独作用下电路中产生的同频率正弦电流 分量和电压分量 最后 把所得分量按时域形式叠加得到电路在 非正弦周期激 励下的稳态电流和电压 12 2 12 2 周期函数分解为付里叶级数周期函数分解为付里叶级数 电工技术中所遇到的非正弦周期电流 电压信号多能满足展开成傅里叶级 数的条件 因而能分解成如下傅里叶级数形式 也可表示成 以上两种表示式中系数之间关系为 上述系数可按下列公式计算 k 1 2 3 求出 a0 ak bk 便可得到原函数 f t 的展开式 注意 非正弦周期电流 电压信号分解成傅里叶级数的关键在于求出系数 a0 ak bk 可以利用函数的某种对称性判断它包含哪些谐波分量及不包含哪 些谐波分量 可使系数的确定简化 给计算和分析将带来很大的方便 如以下 几种周期函数值得注意 1 偶函数 波形对称于纵轴 如图 12 2 所示 图 12 2 满足 2 奇函数 波形对称与原点如图 12 3 所示 图 12 3 满足 3 奇谐波函数 波形镜对称如图 12 4 所示 图 12 4 满足 4 若函数是偶函数又是镜对称时 则只含有奇次的余弦项 即 5 若函数是奇函数又是镜对称时 则只含有奇次的正弦相 即 实际中所遇到的周期函数可能较复杂 不易看出对称性 但是如果将波形 作一定的平移 或视为几个典型波形的合成 则也能使计算各次谐波的系数简 化 例 12 1 把图示周期性方波电流分解成傅里叶级数 例 12 1 图 解 周期性方波电流在一个周期内的函数表示式为 各次谐波分量的系数为 K 为奇数 因此 的傅里叶级数展开式为 即 周期性方波可以看成是直流分量与一次谐波 三次谐波 五次谐波等 的叠加 如下图所示 例 12 2 给定函数 f t 的部分波形如图所示 为使 f t 的傅里叶级数中只 包含如下的分量 1 正弦分量 2 余弦分量 3 正弦偶次分量 4 余 弦奇次分量 试画出 f t 的波形 例 12 2 图 解 1 f t 的傅里叶级数中只包含正弦分量 说明 f t 为奇函数 对原点 对称 可用下图波形表示 2 f t 的傅里叶级数中只包含余弦分量 说明 f t 为偶函数 对坐标纵 轴对称 可用下图波形表示 3 f t 的傅里叶级数中只包含正弦偶次分量 可用下图波形表示 4 f t 的傅里叶级数中只包含余弦奇次分量 可用下图波形表示 12 3 有效值 平均值和平均功率有效值 平均值和平均功率 1 三角函数的性质 1 正弦 余弦函数在一个周期内的积分为 0 即 2 sin2 cos2 在一个周期内的积分为 即 3 三角函数的正交性如下式所示 2 非正弦周期函数的有效值 设非正弦周期电流可以分解为傅里叶级数 代入有效值的定义式中有 利用上述三角函数的性质 上式中 i 的展开式平方后将含有下列各项 这样可以求得 i 的有效值为 由此得到结论 周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方 和的方根 此结论可以推广用于其他非正弦周期量 3 非正弦周期函数的平均值 设非正弦周期电流可以分解为傅里叶级数 则其平均值定义为 即 非正弦周期电流的平均值等于此电流绝对值的平均值 按上式可求得 正弦电流的平均值为 注意 1 测量非正弦周期电流或电压的有效值要用电磁系或电动系仪表 测量 非 正弦周期量的平均值要用磁电系仪表 2 非正弦周期量的有效值和平均值没有固定的比例关系 它们随着波形 不同而不同 4 非正弦周期交流电路的平均功率 设任意一端口电路的非正弦周期电流和电压可以分解为傅里叶级数 则一端口的平均功率为 代入电压 电流表示式并利用三角函数的性质 得 式中 由此得出结论 非正弦周期电流电路的平均功率 直流分量的功率 各次谐波的平均功率 12 4 非正弦周期交流电路的计算非正弦周期交流电路的计算 根据以上讨论可得非正弦周期电流电路的计算步骤如下 1 把给定电源的非正弦周期电流或电压作傅里叶级数分解 将非正弦 周期量展开成若干频率的谐波信号 2 利用直流和正弦交流电路的计算方法 对直流和各次谐波激励分别 计算其响应 3 将以上计算结果转换为瞬时值迭加 注意注意 1 交流各次谐波电路计算可应用相量法 2 对不同的频率 感抗与容抗是不同的 对直流 C 相当于开路 L 相于短路 对 k 次谐波有 例 12 3 电路如图 a 所示 电流源为图 b 所示的 方波信号 求输出电压u0 已知 例 12 3 图 a b 解 计算步骤如下 1 由例 12 1 知方波信号的展开式为 代入已知数据 得直流分量 基波最大值 三次谐波最大值 五次谐波最大值 角频率为 因此 电流源各频率的谐波分量表示式为 2 对各次频率的谐波分量单独计算 a 直流分量 IS0 单独作用时 把电容断路 电感短路 电路如图 c 所示 计算得 c b 基波单独作用时 电路如图 a 所示 计算得容 抗和感抗为 所以阻抗为 因此 c 三次谐波单独作用时 计算得容抗和感抗为 阻抗为 则 d 五次谐波单独作用时 计算得容抗和感抗为 阻抗为 则 3 把各次谐波分量计算结果的瞬时值迭加 例 12 4 图 a 所示电路中各表读数 有效值 及电路吸收的功率 例 12 4 图 a 解 1 当直流分量 u0 30V 作用于电路时 L1 L2 短路 C1 C2 开路 电 路如图 b 所示 b 所以 2 基波作用于电路 u1 120cos1000tV L1 C1 对基波发生并联谐振 所以 基波电压加于 L1 C1 并 联电路两端 故 3 二次谐波 u2 60cos 2000t 4 V 作用于电路 有 L2 C2 对二次谐波发生并联谐振 所以 电压加于 L2 C2 并联电路两端 故 所以电流表 A1 1A A2 A3 电压表 V1 V2 例 12 5 图 a 所示电路中 已知电源 u t 是周期函数 波形如图 b 所 示 L 1 2 mH C 125 F 求 理想变压器原边电流i1 t 及输出电压u2 的有效值 例 12 5 图 a b 解 由图 b 知 当直流分量 u0 12V 作用于电路时 电容开路 电感短路 有 当 作用于电路时 有 图 a 的原边等效电路如图 c 所示 c 电容和电感发生并联谐振 电源电流为零 因此 则 例 12 6 求图示电路中 a b 两端电压有效值 Uab 电流 i 及功率表的读数 已知 例 12 6 图 解 电压有效值 一次谐波作用时 三次谐波作用时 所以 功率表读数为 注意 同频率的电压电流构成有功功率 例 12 7 已知图 a 电路中 L 0 1H C3 1 F 电