高等数学函数极限

1 第一章第一章 函数极限与连续函数极限与连续 高等数学可以说是变量数学 它的研究对象 研究方法与初等数学相比都有相 当大的差异 它主要研究对象是函数 它的主要内容是微积分学 它的主要手段是 以极限为工具 并在实数范围内研究函数的变化率及其规律性 从而产生微积分的 基本概念及性质 本章主要介绍函数的概念及其基本性质 数列与函数的极限及其 基本性质 连续函数的概念及其基本性质 为进一步学好函数的微积分打下一个良 好的基础 第一节第一节 函数的概念函数的概念 一 几个基本概念一 几个基本概念 1 常量与变量常量与变量 在日常生活或生产实践中 观察某一个事件的结果往往是用一个量的形式来表 现的 在观察的某一个过程中始终保持不变的量称之为常量常量 经常变化的量称之为 变量变量 通常用小写字母 a b c 等表示常量 用小写字母 x y z 表示 变量 例如 例如 圆周率是永远不变的量 它是一个常量 某商品的价格在一定的时间 段内是不变的 所以 在这段时间内它也是常量 又如一天中的气温 工厂在生产 过程中的产量都是不断变化的量 这些量都是变量 注意 注意 1 常量和变量是相对的 它们依赖于所研究的过程和所研究的对象 在不同的 过程中常量和变量是可以转化的 如商品的价格 某段时间是常量 另一段时间就 有可能是变量了 2 从几何意义上来表示 常量对应数轴上的定点 变量对应数轴上的动点 2 集合 区间集合 区间 集合是表示具有同一种属性的全体 例如 例如 某班的全体学生组成一个集合 长虹集团 05 年度的所有产品组成一个集 合 所有正有理数仍组成一个集合等等 有关集合的运算 集合的表示等方面的基本知识 中学数学已有介绍 这里就 不一一赘述了 下面向读者介绍高等数学中常用的数集及其简明表示符号 2 开区间 ba bxax 闭区间 bxaxba 左半开区间 或右半闭区间 bxaxba 右半开区间 或左半闭区间 bxaxba 上述四个区间的长度都是有限长的 因此把它们统称为有限区间 无穷区间有 R axxa axxa bxxb bxxb 如无特别声明 可用如下符号表示一些常用数集 R 实数集 Q 有理数集 Z 整数集 N 自然数集 有时为了讨论数轴上某点附近的性质 为此引入邻域的概念 定义定义 1 设是一个实数 是正数 通常是指很小的数 数轴上到点的距离a a 小于的点的全体 称为点的 邻域 记为 即 a aU aU axxaa 数集称为点的去心 邻域 记为 0 axxa aU 二 函数的概念二 函数的概念 定义定义 2 设x y是两个变量 是上的非空数集 对任意的 通过某DRDx 一个确定对应关系 或对应法则 在实数集上有唯一的一个与之对应 则fRy 称是从到上的一个函数 也称为定义在D上的函数 记为 fDR fRD yx 简记为 xfy 通常把称为自变量 称为因变量 或x的函数 的取值范围称为函数的xyx 定义域 就是本定义中的 一般情况下 用Df表示函数的定义域 当取D 时 按照对应法则有与之相对应 并称其为函数在点x0处的 0 xx f 00 xfy 3 函数值 当在区域上取遍时 所对应的函数值的全体称为函数的值域 记为Rf xD 即 ff DxxfyyR 对于函数概念 以下几点是值得注意的 对于函数概念 以下几点是值得注意的 1 以上函数定义基本上是按照初等数学中所描述的方式给出的 它指的是单值 函数 2 函数的实质是对应关系 或对应法则 只要两个变量之间能找到一种对应 我们就说它们之间确定了一个函数 3 确定函数有两个要素 这就是 定义域与对应关系 4 函数之间可以定义加 减 乘 除等运算 但是运算必须在所有函数都有意 义的公共范围内进行 有关函数的相等 函数的定义域 值域 函数的四则运算等概念在中学数学课 本中已有介绍 这里就不再复述了 下面我们来看几个具体的例子 下面我们来看几个具体的例子 例例 1 由关系式 能确定两个变量x与y之间的一种对应关系 可1 22 yx 以说是一个函数关系 但它不是我们所指的函数 比如x 0 时 相应的y可以等于 1 也可以等于 1 其实它们是这样两段函数 这类 22 1 1xyxy 函数我们称为多值函数 例例 2 函数 0 0 xx xx xy 的定义区域为R 值区域为 它称为绝对值函数 其图像如图 1 1 通常 0 这类函数称为分段函数 所谓分段函数是指 所谓分段函数是指 函数在定义域的不同范围内的函数表达式不同 它实质上 是一个函数 不能理解为两个或多个函数 例例 3 函数 0 1 0 0 0 1 sgn x x x xy 4 称为符号函数 这也是分段函数 记为 它的定义区域Df 值xsgn 域Rf 它的图形如图 1 2 所示 对任何实数都有下列关系式 1 0 1 x 成立 所以它起着一个符号的作用 sgnxxx 例例 4 狄立克莱函数 Dirchlet 为无理数时 为有理数时 0 1 x x y 它的定义区域是Df 值域是Rf 1 0 三 函数的表示法三 函数的表示法 1 解析法 公式法 解析法 公式法 把两个变量之间的关系直接用数学式子表示出来 必要 的时候还可以注明函数的定义域 值域 这种表示函数的方法称之为解析法解析法 这在 高等数学中是最常见的函数表示法 它便于我们进行的理论研究 如 例 1 例 2 等 2 表格法 表格法 就是把自变量和因变量的对应值用表格形式列出 这种表示法有较 强的实用价值 比如三角函数表 常用对数表等等 3 图示法 图示法 用某坐标系下的一条曲线反映自变量与因变量的对应关系的方法 比如 气象台自动温度计记录了某地区的一昼夜气温的变化情况 这条曲线在直角 坐标系下反映出来的就是一个函数关系 这种方法 几何直观性强 函数的基本性 态一目了然 看图就基本上都知道了 但它不利于理论研究 x y 图 1 1图 1 2 x y 1 1 0 5 四 函数的初等性质四 函数的初等性质 微积分学的主要研究对象是函数 既然要对函数进行研究 自然要对函数有哪 些基本几何性质有一定的了解 下面我们将逐一进行介绍 定义定义 3 函数的单调性 函数的单调性 设f x 在区间I上有定义 若对任意的 Iyx 当时 有 或 则称f x 在区间I上为单调增yx yfxf yfxf 加函数 或单调减少函数 若对任意的 当时 有 或 则Iyx yx yfxf yfxf 称 f x 在区间I上为严格单调增加函数 或严格单调减少函数 单调增加函数 或单调减少函数 严格单调增加函数 或严格单调减少函数 统称为单调函数 也称函数具有单调性 在几何上 单调增加 减少 函数的图形是沿x轴的正向渐升的 或渐降的 如下图所示 例例 5 函数在区间上严格单调递减 而在区间上却严 2 xy 0 0 格单调递增 这在考虑函数的单调性时 是要特别注意的问题 函数的单调性是函 数在一个有定义区间内的特征性质 在不同的区间上可能有不同的单调性 即便在 各个不同的区间内单调性相同 但在整个定义 域内仍有可能不单调 比如 函数 的定义域为 x y 1 函数如图 1 5 00 x y 图 1 3 x1x2 1 xf 2 xf x y 图 1 4 x1x2 1 xf 2 xf 图 1 5 x y 6 所示 它不是单调函数 但它在 0 或上分别单调递减 0 定义定义 4 函数的有界性 函数的有界性 设函数在区间上有定义 若存在M 0 使得 xfI 对 任意 恒有 则称函数在区间上有界 否则称为无界 Ix Mxf xfI 如果存在M 0 使得对任意 恒有 或者 那Ix Mxf Mxf 么称函数在区间上有上界上界 或下界下界 其几何特征如图 1 6 xfI 显然 在区间上有界等价于它在区间上既有上界又有下界 xfII 例如 三角函数是有界函数 因为对任意的都有xyxycos sin Rx 因此它们在整个数轴上有界 1cos 1sin xx 函数在内无上界 但有下界 0 为一个下界 而在 x y 1 0 内无下界 但有上界 0 为一个上界 它在定义域内是无界的 但是它在 0 任何不包含原点的闭区间上是有界的 定义定义 5 函数的奇偶性 函数的奇偶性 设函数的定义域关于原点对称 即对 xfD 有 如图 1 7 Dx Dx 1 若对 有 则称为偶函数 Dx xfxf xf 2 若对 有 则称为奇函数 Dx xfxf xf 有界 有上界 有下界 图 1 6 7 从几何特征来说 偶函数的图形关于y轴对称 奇函数的图形关于原点对称 例如 例如 等等都是偶函数 而等xyxyxy cos 42 xyxysin 3 等都是奇函数 对于定义域相同的函数来说 有如下结论 偶 奇 函数的和仍为偶 奇 函数 两个偶 奇 函数的积为偶函数 一偶一奇两个函数的积为奇函数 但是 不是任何函数都有奇偶性的 如 y x 1 既不是奇函数也不是偶函数 定义定义 6 函数的周期性 函数的周期性 设函数的定义域为 若存在常数 使 xfD0 T 得对 有 并且有成立 则称为周期函Dx DTx xfTxf xf 数 并称 T 是函数的一个周期一个周期 xf 值得注意的是 值得注意的是 一个函数如果是周期函数的话 它就有无穷多个周期 我们通常 所说的周期 是指它的最小的正周期 周期函数一定存在一个周期一个周期 它的几何特征是 以一个周期为跨度 把曲线划 断 各段曲线再移到一起 它们完全重合 可是 周期函数不一定存在最小正周期 比如 y 2 就是一个以任意正实数为 一个周期一个周期的周期函数 由于不存在最小正实数 所以y 2 不存在周期 五 初等函数五 初等函数 一一 基本的初等函数基本的初等函数 所谓基本初等函数就是指如下函数 常量函数 cy 幂函数 0 xy 指数函数 10 aay x x x f x f x x x f x f x 图 1 7 8 对数函数 10 log axy a 三角函数 xyxyxyxyxyxycsc sec cot tan cos sin 反三角函数 xarcyxyxyxycot arctan arccos arcsin 上述函数的基本性质和几何特征中学数学已有比较透彻的讨论 这里就不再一 一复述了 二 复合函数 二 复合函数 在日常生活或生产实践中 表现事物之间的关系往往是错综复杂的 因此在数 学中表示自然规律 生产规律的函数结构也是复杂的 通常情况下 我们遇到的函 数往往不是基本初等函数 而是由这些基本初等函数所构造的较为复杂的函数 也 就是说需要把两个或两个以上的函数组合成另一个新的函数 如由 当时 通过变量就建立了变量与变量 2 1 xuuy 1 xux 之间的对应关系 即 这时称是的复合函数 y 2 1xy 1 xyx 定义定义 7 设函数的定义域为 函数的定义域是 当 ufy f D xu D 时 有函数的值在 RDf ff DxDxxDx x 的范围内 这样通过变量就得到与之间的对应关系 称为复合函数复合函数 记为 f Duyx xfy f Dx 其中 y是因变量 是中间变量 是自变量 ux 按定义的要求可知 构建复合函数的前提条件就是 内层函数的值域与外层函内层函数的值域与外层函 数的定义域的交不空 数的定义域的交不空 也就是说 内层函数必须有函数值落在外层函数的定义域内 否则就会成为无意义的函数 比如 复合起来在实函数范围内就无2sin xuuy2sin xy 意义了 例例 6 设 求 x xf 2 2 xff 解解 xff x x x xf 1 2 2 2 2 2 2 2 9 它的定义域是 22 11 例例 7 是由以下简单函数 ln1sin 2xy 复合而成的 xvvuuyln1 sin2 有时在实际应用中既要知道由简单函数构造成复合函数 同时也要会从复合函数 中分解为简单函数 三 反函数 三 反函数 函数反映的是因变量随着自变量的变化而变化的规律 用另一种语言来说的话 就是 有两个变量 一个是主动变量 自变量有两个变量 一个是主动变量 自变量x 另一个是被动变量 因变量 另一个是被动变量 因变量y 主动变量一旦取定了 被动变量也相继唯一确定 主动变量一旦取定了 被动变量也相继唯一确定 但是变量之间的制约是相互的 在我们研究的不同领域里 经常需要更换这两个变量的主次关系 当这种主次关系 对换后 仍然成为函数关系 这就是我们所要介绍的反函数 定义定义 8 设函数的定义域是 值域是 若对 有唯一 xfy f D f R f Ry 的一个 使得 这就定义了上的一个函数 此函数称为 f Dx xfy f R 的反函数 记为 这时称为直接函数直接函数 xfy 1 yfx f Ry xfy 由反函数的定义不难发现 存在反函数当且仅当f是到的一一 xfy f D f R 对应关系 并且反函数的定义域是直接函数的值域 反函数的值域是直接函数的定 义域 当我们把反函数与直接函数的图像描在同一坐标系下 直角坐标系 我们会发 现 两图完全重合 在数学上 我们总习惯用x表示自变量 用y表示因变量 为了满足习惯记法 的需要 最后我们会把反函数记为 1 yfx 1 xfy 既然这样 在几何上 直接函数与其反函数有何关系呢 其实它们的图像关于 直线y x对称 通常把反函数记为 称为互为反函数 它们在同 1 xfy 1 xfxf 与 一直角坐标系下是关于直线对称的 xy 例如 例如 图 1 8 2 xy xy xy 10 0 2 xxxfy 0 1 xxxfy 如图 1 8 四 初等函数 四 初等函数 前面已经说过 在实际问题中我们遇到的不仅是基本初等函数 而且往往是较 为复杂的函数 也就是指初等函数 定义定义 9 由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算得到的 并能用一个解 析式表示的函数称为初等函数 如 2sin ln 1 log1 3 10 32 xxxy 在高等数学中讨论的函数主要是初等函数 第二节第二节 数列的极限数列的极限 从极限产生的历史背景来看 极限是从解决微分学与积分学的实际问题中产生 的 在人们的日常生活中 经常用到这样的描述 用市场变化趋势来研究产品需求 量的状况 用学校发展的趋势来分析学校未来的前途等等 这种趋势用在数学上就 是极限 极限是变量变化的终极状态极限是变量变化的终极状态 极限是微积分学中一个基本概念 微分学与积分学的许多概念都是由极限引入 的 并且最终由极限知识来解决 因此它在微积分学中占有非常重要的地位 一 极限概念的引入一 极限概念的引入 我国春秋战国时期的 庄子 天下篇 中说 一尺之棰 日取其半 万世不 竭 这就是极限的最朴素思想 在这个过程中可以试想一下 一根棒子 每天取其一半 尽管永远取不完 可 到了一定的时候 还能看得见吗 看不见意味着什么 不就是没了吗 终极的时候 就彻底地没有了 它的终极状态就是零 那么我们如何去理解这个终极状态和零呢 公元三世纪 中国数学家刘徽的割圆术 就是用圆内接正多边形的周长逼近圆 的周长的极限思想来近似计算圆周率的 他说 割之弥细 所失弥少 割之又 割 以至不可再割 则与圆合体而无所失矣 直到 17 世纪 60 年代 18 世纪初 牛顿 Newton 1642 1727 和莱布尼兹 Leibniz 两人分别从力学问题和几何学问题入手 在前人工作的基础上 利用还 不严密的极限方法各自独立地建立了微积分学 最后由柯西 Cauchy 1789 1857 和 11 维尔斯特拉斯 Weierstrass 1815 1897 完善了微积分的基础概念 极限 用现代数学的思想来说 刘徽割圆术中所述的不可再割的情况是不存在的 无 论怎么一种割法 都不可能 与圆合体而无所失 但是 他体现出来的终极思想是 无可非议的 微分学与积分学中还有许多有关极限思想的应用问题 在后面的课程中我们还 会有这方面的阐述 在这里我们就不作介绍了 二 数列极限二 数列极限 1 数列的概念数列的概念 定义定义 1 按照一定次序排列起来的一组数就称为数列 比如 简记为 21n uuu n u 其中称为该数列的通项或一般项 由于数列完全可由其通项决定 故也 n u n u 常简称为数列 n u 注注 1 数列分有穷数列和无穷数列 有穷数列是指只含有限项的数列只含有限项的数列 比如 1 3 5 7 9 这五项数值构成一个有穷数列 对此 本书不作讨论 本书所讨论的数列都是无穷数列 2 数列也是函数 它可以看作定义在自然数集N上的函数 即 数列也称为整标函数就是这个道理 nfun 3 2 1 n 例例 1 数列 1 其通项为 可简记为 2 1 1 3 1 nn 1 1 n 例例 2 数列的通项 则数列为 n u1 2 nun n u 1 12 11 222 n 例例 3 数列 1 0 1 0 1 0 数列在几何上有两种表示 1 数轴上的表示 数列中每一个数都可用数轴上的一个点来表示 这些点的全体就是数列在数轴 上的几何表示 12 数列可表示如下 如图 1 9 n n 1 1 1 图 1 9 2 直角坐标平面上的表示 数列中每一个数都可用直角坐标平 n u 面上的点来表示 这些点的全体就 n un 是数列在平面上的几何表示 比如 描在直角坐标系上如图 1 10 n 下面再看几个数列的例子 例例 4 n u 1 1 1 1 1 1 n n v 2 1 2 1 2 1 2 1 32n n x 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2n n y 1 2 5 8 4 6 3 4 1 n n 2 数列极限的概念数列极限的概念 就拿例 4 列举的几个数列来看 当无限增大时 相应项的值的变化情况各不n 相同 在变化过程中 数列的一般项在与之间交替变化 它没有一个确定的 n u 1 1 n n u11 与 终极趋势 数列的一般项的值无限地与靠近 n v n n v 2 1 0 0 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 图 1 10 13 数列的一般项 k 它没有一个确定的 n x kn kn x k n 2 2 1 12 1 3 2 1 终极趋势 数列的一般项它最终无限靠近 2 n y 1 2 n n yn 从上面几个例题可以看出 当无限增大时 有的数列的值无限地接近一个定n 数 有的数列则在无限增大的过程中飘浮不定 对于这些现象 用数学语言描述n 出来就是下列数列极限 定义定义 2 设有数列 如果当无限增大时 数列相应的项无限趋近于常 n un n u 数 则称数列当趋于无穷时以为极限 或称数列收敛于 一般记A n unA n uA 为 或 n 这时也简称收敛 n n u limA n u A n u 如果数列没有极限 当时 称发散 n u n n u 如上例中数列的极限为 记为 数列的极限为 2 可记为 n v0 n n v lim0 n y 而数列与没有极限 即是发散的 2lim n n y n u n x 关于极限 有一点是必须明确的 极限是变量变化的终极趋势 极限是变量变化的终极趋势 也可以说是变变 量变化的最终结果 量变化的最终结果 因此 可以说 数列极限的值与数列前面有限项的值无关数列极限的值与数列前面有限项的值无关 比如 某人的目的地是北京 至于他是从武汉出发的 还是从广州出发的 这 与它的目的目的无关 最终到了北京 就算达到目的了 这种比方尽管不严格 但编者 认为它有助于读者对上面的说法的理解 上面给出的数列极限的定义 采用的是描述性方式给出的 为了让读者对极限 的分析定义有个初步的了解 下面我们给出数列极限的分析定义 定义定义 3 语言 语言 设有数列 A是一个常数 如果对 N n u0 总存在自然数N 当时 恒有Nn 成立 Aun 则称数列当趋于无穷时存在极限 称为它的极限值 或者说数列收敛 n unA n u 14 于 记作A 或 n n n u limA n u A 如果数列没有极限 就称数列发散 n u n u 下面我们从一个例题分析来解释 语言 从而加深对这个概念的理解 N 设有数列 1 不难看出 当无限增大时 数列相应的值与 1 无限接 n u n 1 n n u 近 如何刻画数列与 1 无限地接近呢 当然就是通过的大小来实现 n u n un 1 1 了 自然越小就越近 另一方面 变到什么时候 才够得上无限大了呢 n 比如 要使得 就可以找到 100 当 100 时 其后01 0 1 1 n unNn 所有的项与 1 的距离都小于 0 01 这就是说 大于 100 的n就 103102101 uuu 够大了 要使得 可以找到N 1000 当 1000 大于 1000001 0 1 1 n unn 的n就够大了 其以后所有的项与 1 的距离都小于 0 001 100310021001 uuu 更一般地 要使成立 与 1 的距离比还要小 也0 1 n u n u 就是 所以只要就可以了 所以 存在自然数 当时 n 1 1 n 1 NNn 这时n就达到无限大的要求了 总有 1 n u 于是 按分析定义有1lim n n u 例例 5 观察以下数列的变化趋势 确定它们的敛散性 对收敛数列 写出其极限 1 2 3 n u 1 n n 12 1 1 n u n n 1 1 n n u 解解 1 即通项与 之间的距离 n u 1 n n 1 4 3 3 2 2 1 n n n u1 1 n u 15 当自变量无限增大时 无限接近于 即相应的项 1 1 n n 1 1 n n 1 n u0 无限趋近于 故数列收敛 且 n u1 n u 1 lim n n n 1 2 即通项与之 12 1 1 n u n n 12 1 1 7 1 5 1 3 1 n n n u0 间的距离 当自变量无限增大时 0 n u 0 12 1 1 n n 12 1 n n 无限接近于 即相应项无限趋近于 故数列收敛 且 0 n u0 n u0 n u 12 1 1lim n n n 0 3 即 当为奇数时 1 1 n n u11 11 1 1 n n n u1 当为偶数时 即当无限增大时 奇数项等于 1 而偶数项等于 n n u1 n1 没有一个固定的终极趋势 因此该数列发散 n u 3 数列极限的几何解释 数列极限的几何解释 1 数轴上的解释 数轴上的解释 若 那么对于任意给定的正数 总存在一个Aun n lim 自然数 使得数列中第 1 项以后所有项所表示的点 N n uN 即 都落在点A的 邻域内 外面的项最多只有 321 NNN uuu AA N项 也就是说 若 那么数列对应的点非常密集地 堆积 在点 A 的Aun n lim n u 周围 如图 1 11 A A A 除有限项外 所有项都在这个区间内 图 1 11 16 2 直角坐标平面上的解释 直角坐标平面上的解释 若 那么对于任意给定的正数 总Aun n lim 存在一个自然数 使得数列中第 1 项以后的所有项所表示的点 即N n uN 都落在直线与之间 如 1 1 N uN 2 2 N uN Ay Ay 图 1 12 三 数列极限的性质三 数列极限的性质 定理定理 1 有界性 有界性 若数列收敛 则一定存在 使得对任意的 有 n uM0 n 即收敛数列必有界收敛数列必有界 Mun 这是数列收敛的必要条件 如果已知一个数列无界 则它一定不收敛 比如 是无界数列 所以它是发散的 2 n 反之不一定成立 即数列有界 它不一定收敛数列有界 它不一定收敛 比如 数列 1 0 1 0 1 0 有界 但它无极限 2 11 n 定理定理 2 唯一性 唯一性 若数列收敛 则其极限值唯一 n u 也就是 如果 则A B lim lim n BuAu nn n 定理定理 3 保号性 保号性 设 且 则一定存在自然数 lim lim n BvAu nn n BA N Ay Ay Ay 图 1 12 17 当时 有不等式 恒成立 NNn nn vu 注注 这些性质在此不证明 因为要证明它就要用到 语言 但在以后N 学习中经常要用到 公理公理 单调有界数列必有极限 有时也可以叙述为 单调递增有上界 或单调递减有下界 数列必有极限 注意 单调有界只是数列收敛的充分条件 其中有界是必要的 单调并非必要 条件 如数列收敛 但不单调 n n 1 3 后面将要介绍一个重要极限 该极限的存在性证明就要用此e n n n 1 1 lim 公理 定理定理 4 极限的四则运算 极限的四则运算 设为常数 则k lim lim n BvAu nn n 1 kAukku n n n n limlim 2 BAvuvu n n n n nn n limlim lim 3 BAvuvu n n u n nn n limlim lim 4 B A v u v u n n n n n n n lim lim lim0 B 特别提醒 特别提醒 四则运算法则的应用 是有前提的 其一 参与运算的每一项必须存在极限 否则就会出现类似于 的推理错误 0sinlim0sinlim 1 lim sin lim nn nn n nnnn 其二 参与运算的项数必须有限 否则就会出现类似于 222222 lim 2 lim 1 lim 21 lim n n nnn n nn nnnn 0000 的计算错误 其三 分母极限不能为零 即 0 B 18 当然如果两个数列都不收敛 它们的和 差 积 商有可能存在极限 比如 当时都没有极限 但它们的和的极限为 22 n vnu nn n 0 再比如 是发散的 但是收敛的 n nn vu 1 1 nn vu 例例 6 求 为常数 3 2 lim nn k n k 解解 因为 所以 0 2 lim 0lim 3 n nn k n 000 2 lim 3 nn k n 例例 7 求 21 lim 222 n n nn n 解解 上面已经提到 此题就不能直接用四则运算和差的法则 注意到 2 1 321 nn n 所以 21 lim 222 n n nn n 2 1 2 1 lim 321 lim 22 n nn n n nn 例例 8 求 1 1 32 1 21 1 lim nn n 解解 此题也不能直接用性质或运算法则 要进行拆项处理 因为 1 11 1 n n 1 3 1 2 1 32 1 2 1 1 1 21 1 nn 所以有 1 1 32 1 21 1 lim nn n 1 1 1 1 lim n n 例例 9 求 32 25 lim 2 2 n nn n 解解 因为 它是未定型 32 lim 25 lim 2 n 2 nnn n 所以不能直接用商的运算法则进行计算 若用同除分子分母 则有 2 n 19 32 25 lim 2 2 n nn n 2 1 3 2 25 1 lim 2 2 n nn n 例例 10 求 2 lim 22 nnn n 解解 这是 未定型 不能用差的运算法则 像这样含有根式的求极限 通常情况下是用分子有理化的方法 2 lim 22 nnn n 2 2 2 lim 22 2222 nnn nnnnnn n 2 2 lim 22 nnn n n 2 1 总结总结 通过以上几个例题就可以看出 计算数列的极限没有固定的方法 要根 据题目本身的特点 相应找到解决它的办法 这里不仅要掌握极限的基本概念和性 质 同时还需要一定的技巧 在以后函数的极限中还会继续介绍它的技巧和方法 第三节第三节 函数极限函数极限 数列作为定义在自然数集上的函数 我们讨论了它的极限 即自变量无限增大 时 相应的函数值 即相应项的值 的变化趋势 因为数列中的自变量是离散变量 对于函数中连续的自变量而言 我们是否同样可以讨论当自变量连续趋近某个数值 时 函数的变化情况呢 这就是我们这节要讲的内容 一 自变量趋于无穷时的极限一 自变量趋于无穷时的极限 1 时的极限时的极限 x 为了和数列的极限相对应 我们先给出自变量趋于正无穷时极限定义 20 定义定义 1 若存在常数 0 函数在 时有定义 当自变量沿x轴正M xfxMx 方向无限远离原点时 相应的函数值无限趋近于常数 则称函数当 xfA xf 趋向正无穷大时以为极限 记作 A 或 xA xlim xf xAxf 例如例如 1 0 1 lim x x xlim x 1 1 x x 2lim0 这个概念描述的是当自变量朝正无穷远方向变化时 相应的函数值趋近于某个 常数的变化趋势 当然 不是所有的函数都有这种性质 比如函数 1 可 xfx 以看到 当自变量朝正无穷远方向变化时 即 相应的函数值x x 1 也随之无限增大 不会趋于任何常数 因此这个函数在趋于正无穷大 xfxx 时没有极限 2 时的极限时的极限 x 定义定义 2 若存在常数 0 函数在0 函数在 时有定义 当自变量无限远M xf xM 离原点时 相应的函数值无限趋近于常数 则称函数当趋向无穷大 xfA xfx 时以为极限 记作 A 或 A limxf x xAxf 21 例如例如 1 而 0 1 lim x x 1 1 lim x x 0 1 1 lim 2 x x 前面介绍了自变量以三种个不同的方式无限远离原点时的函数极限 它们之间 有何关系呢 定理定理 1 的充分必要条件是 limxf x AAxfxf xx lim lim 的几何解释 limxf x A 在平面上 对于任给的两条直线与 其中 0 可xoy Ay Ay 找到两条直线x M和x M 使得这两条直线外侧的函数曲线y 完全落在 xf 与两条直线之间 如图 1 13 Ay Ay 读者可自己给出的几何解释 AxfAxf xx lim lim与 以上都是描述性的定义 同样可以给出数学逻辑语言的定义 供读者参照 我们仅以为例 其它情况可以仿照给出 x 定义定义 设函数在上有定义 如果 总存在 当 3 xfMx 0 0 G 时 恒有Gx Ay Ay Ay Mx Mx 图 1 13 22 Axf 成立 则称函数当时以A为极限 记为 xf xAxf x lim 二 自变量趋于有限值时函数的极限二 自变量趋于有限值时函数的极限 在引入概念之 我们前先看一个例子 设函数 函数的定 1 1 2 x x xfy 义域是 也就是说在这点没有1 x1 x 定义 但我们关心的是 当自变量从 1 的x 附近无限地趋近于 1 时 相应的函数值的变 化情况 它的终极结果是什么 其实 当x无限趋近于 1 时 相应函数值就无限趋近 2 如图 1 14 所示 这 时称当时以 2 为极限 xf1 x 为此我们可以给出函数在某定点的极限的定义 定义定义 4 设函数在的某一去心邻域内有定义 当在 xf 0 x 0 xU x 内无限趋近时 相应的函数值无限趋近于常数 则称当 0 xU 0 x xfA xf 时以A为极限 记作 0 xx 或 Axf xx lim 0 0 xxAxf 值得注意的是 值得注意的是 1 描述的是当自变量无限接近时 相应的函数值无Axf xx lim 0 x 0 x xf 限趋近于常数的一种变化趋势 与函数在点是否有定义无关 A xf 0 x 2 在无限趋近的过程中 既可以从大于的方向趋近 也可以从小于x 0 x 0 x 0 x y 1 2 x 图 1 14 23 的方向趋近于 整个过程没有任何方向限制 0 x 0 x 3 当自变量与无限接近时 相应的函数值无限趋近于常数的意义x 0 x xfA 是 当进入的充分小的去心邻域内 可以小于任意给定的正数 即x 0 xAxf 对于任意给定的 总可以找到一个 当 时 都有0 0 0 xx Axf 下面我们给出数学上严格的定义 定义定义 语言 语言 设函数在的某一去心邻域内有定 4 xf 0 x 0 xU 义 对 总存在 当时 有 恒成立 0 0 0 0 xxAxf 则称当时以A为极限 记作 xf 0 xx 或 Axf xx lim 0 0 xxAxf 例例 1 对R 讨论 0 x x xx coslim 0 解解 对 2 0 xUx 2 sin2 2 sin 2 sin2coscos 000 0 xxxxxx xx 又当 0 时 故有 x 2 xx sin 22 sin 00 xxxx 所以有 0 0 0 2 2coscosxx xx xx 显然当 即无限趋近于 0 xx 0coscos 0 xxxcos 0 cosx 因此 x xx coslim 0 0 cosx 同样地有 R 为常数 0 x x xx sinlim 0 0 sin xcc xx 0 limc 0 0 limxx xx 24 的几何意义 的几何意义 Axf xx lim 0 对任意正数 在平面上 作两条直线与 总可找到 xoy Ay Ay 另外两条直线和 使得在这两条直线之间的曲线完 0 xx 0 xx xfy 全落在两条水平直线之间 如下图所示 有时我们在考察函数时只考虑在点左邻域 或它的右邻域内 有定义的情况 0 x 为此我们给出函数当从的左侧无限接近于和从的右侧无限接近于时的x 0 x 0 x 0 x 0 x 极限定义 定义定义 5 设函数在的某个右半邻域 或左半邻域 xf 0 x 00 xx 内有定义 当对 或对 与 00 xx 00 xxx 00 xxx 无限接近时 相应的函数值无限趋近于常数 则称函数在点存 0 x xfA xf 0 x 在右 或左 极限 记作 或 或记为 Axf xx lim 0 Axf xx lim 0 这时称A为在的右极限 或左极限 的值 00 xfxf xf 0 x 定理定理 2 的充分必要条件是 并且 Axf xx lim 0 Axf xx lim 0 Axf xx lim 0 Ay Ay Ay 0 x 0 xx 0 xx 图 1 12 25 例例 2 讨论函数 在的极限的存在性 01 1 0 1 10 1 xx x xx xf0 x 解解 函数在点的内有定义 当从的右侧趋于时 相应 xf0 x 1 0 Ux00 的函数值无限趋近于 1 即 当从的左侧趋于时 xxf 1 1 lim 0 xf x x00 相应的函数值无限趋近于 1 即 有xxf 1 1 lim 0 xf x 所以 1 lim lim 00 xfxf xx 1 lim 0 xf x 而对于函数 容易知道 01 1 0 1 10 1 xx x xx xf1 lim 0 xf x 所以不存在 1 lim 0 xf x lim 0 xf x 五 函数极限的性质五 函数极限的性质 性质性质 1 唯一性 唯一性 若 则 Axf xx lim 0 Bxf xx lim 0 AB 性质性质 2 局部有界性 局部有界性 若 则存在去心邻域和Axf xx lim 0 0 x 0 xU 使得 有 0 M 0 xUx Mxf 性质性质 3 保号性 保号性 若 且 则存在 使得Axf xx lim 0 0 0 AA或0 有 x 0 xU 0 0 xfxf或 推论推论 1 若在某个邻域内 有 且 0 x 0 xU xf 0 0 xf或 则 或 Axf xx lim 0 0 A0 A 性质性质 4 四则运算法则 四则运算法则 若 Axf xx lim 0 Bxg xx lim 0 26 则 1 BAxgxfxgxf xxxxxx lim lim lim 000 2 BAxgxfxgxf xxxxxx lim lim lim 000 3 B A xg xf xg xf xx xx xx lim lim lim 0 0 0 0 B 注意注意 1 以上性质我们只以方式给出 它对任何其它方式 如 0 xx 都成立 xxxxxxx 00 2 性质 4 结论成立的前提要求和数列极限相同 函数与的极 xf xg 限必须存在 参与运算的项数必须有限 分母极限必须不为零等等 否则结论不 成立 如这个做法是错误的 因为在时 x x x x xxx 1 sinlimlim 1 sinlim 000 0 0 x 函数没有极限 x 1 sin 推论推论 1 若 c为常数 则 Axf xx lim 0 lim lim 00 xfcxcf xxxx 推论推论 2 若 则 Axf xx lim 0 Nn nn xx n xx Axfxf lim lim 00 如 n n xxxx xxxx 00 00 lim lim 则 特别提醒 特别提醒 推论 2 不对n取极限 在这个式子里n是常数 定理定理 3 设函数是由函数复合而成 如果 xf xuufy 且在的一个邻域内 除外 又 0 lim 0 ux xx 0 x 0 x x 0 uAuf uu lim 0 则 Axf xx lim 0 如 则 0 sinsinlim 0 xx xx n n xx xx 0 0 lim n n xx xx 0 sinsinlim 0 例例 3 设多项式函数 其中 证 nn nn n axaxaxaxQ 1 1 10 Rx 明 lim 0 0 xQxQ nn xx 27 证明 证明 lim 0 xQn xx lim 1 1 10 0 nn nn xx axaxaxa n xx xa0 0 lim 1 1 0 lim n xx xa xan xx 1 0 lim n xx a 0 lim nn nn axaxaxa 01 1 0100 0 xQn 例 1 说明当时多项式函数的极 0 xx 1 1 10nn nn n axaxaxaxQ 限就等于这个函数在的函数值 0 x 0 xQn 例例 4 求 154 lim 2 3 xx x 解解 22 154 lim 2 3 xx x 13534 2 例例 5 设函数 其中表示次多项式函数 表示 xQ xQ xP n m xQmm xQn 多项式函数 且0 证明 n 0 xQn lim 0 0 xPxP xx 证明证明 由性质 4 及例 1 有 lim lim lim 0 0 0 0 0 0 xP xQ xQ xQ xQ xP n m n xx m xx xx 例例 6 求 52 13 lim 4 2 1 x xx x 解解 首先看分母的极限 所以同由上例知 52 lim 4 1 x x 03512 4 52 13 lim 4 2 1 x xx x 1 512 1131 4 2 例例 7 1 32 lim 2 2 1 x xx x 解解 首先看分母的极限 所以不能运用商的极限的运算法则 再0 1 lim 2 1 x x 看看分子的极限 这种两个无穷小量之比的极限通常称为未0 32 lim 2 1 xx x 28 定型 记为 型 由于分子 分母在的函数值都为 说明分子 分母都 0 0 1 x0 含有因式 注意到 函数在一点的极限值与函数在这一点的函数值无关 对本1 x 例来说 在整个变化过程中 x始终不等于 1 因此 可先消去分子分母同为零的因 式 然后 再运用极限的运算法则进行计算 1 x 1 32 lim 2 2 1 x xx x 1 1 3 1 lim 1 xx xx x 1 3 lim 1 x x x 2 11 31 例例 8 求 1 32 lim 2 2 x xx x 解解 当时分子 分母都是无穷大量 我们不能运用商的极限的运算法则 x 这种两个无穷大量之比的极限 也称为不定式 记为 型 对这种形式的极 限 首先将分子分母的的最高次幂提出 再进行运算 x 1 32 lim 2 2 x xx x 1 1 32 1 lim 2 2 2 2 x x xx x x 1 1 1 32 1 lim 2 2 x xx x 一般地 有如下结论 例例 9 求 为正整数 01 1 1 01 1 1 lim bxbxbxb axaxaxa m m m m n n n n x 0 0 mn banm 解解 mm mm nn nn m n x x b x b x bb x a x a x aa x x 111 111 lim 0 1 11 0 1 11 D 因为 m n mm mm nn nn x b a x b x b x bb x a x a x aa 111 111 lim 0 1 11 0 1 11 1 当时 mn 0 1 lim nm x x D mm mm nn nn mn x x b x b x bb x a x a x aa x 111 111 lim 0 1 11 0 1 11 m n b a 00 29 2 时 mn 1 1 lim nm x x D mm mm nn nn mn x x b x b x bb x a x a x aa x 111 111 lim 0 1 11 0 1 11 m n b a 3 时 mn mn x x lim D mm mm nn nn mn x x b x b x bb x a x a x aa x 111 111 lim 0 1 11 0 1 11 综上所述 当 为正整数时 0 0 mn banm 01 1 1 01 1 1 lim bxbxbxb axaxaxa m m m m n n n n x mn mn a a mn m n 当 当 当 0 例例 10 求 11 lim 22 xx x 解解 这是 型 先分子有理化 再进行运算 11 lim 22 xx x 11 11 11 lim 22 2222 xx xxxx x 0 11 2 lim 22 xx x 例例 11 设函数 当b取什么值时 存在 0 0 12 2 xbx xx xf lim 0 xf x 解解 函数在点左 右两侧的表达式不同 而求时的极限 xf0 x0 x xf 要考察从的两侧趋于时相应的函数值的变化情况 因此要分别求在这点x000 x 的左 右 极限 lim 0 xf x bbx x lim 0 lim 0 xf x 1 12 lim 2 0 x x 因为存在充分必要条件是 Axf x lim 0 lim 0 xf x lim 0 Axf x 30 所以当时 存在 b1 lim 0 xf x 由以上例题 我们可以得出求函数极限一般方法 在求极限的过程中 分母的极 限不能为零 若为零则想办法去掉使分母为零的因式 有根式的要设法有理化 要 注意的是 是表示无限地接近于 但永远不等于 还有很多求极限的 0 xx x 0 x 0 x 方法和技巧在以后课程中会有介绍 第四节第四节 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量 一 无穷小量一 无穷小量 定义定义 1 若 则称当时是无穷小量 或无穷小 0 lim 0 xf xx xf 0 xx 注意 1 同一个函数 在不同的趋向下 可能是无穷小量 也可能不是无穷小量 如如 对于 在时的极限为 所以在时是一个1 xxf1 x xf01 x xf 无穷小量 当时的极限为 1 因而当时不是一个无穷小0 x xf0 x xf 量 所以称一个函数为无穷小量 一定要明确指出其自变量的趋向 2 无穷小量不是一个量的概念 不能把它看作一个很小很小的 常 量 它是 一个变化过程中的变量 最终在自变量的某一趋向下 函数以零为极限 3 特别地 零本身看作无穷小量 4 此定义中可以将自变量的趋向换成其它任何一种情形 0 xx 0 xx 或 结论同样成立 以后不再说明 0 xx x x x 例例 1 指出自变量在怎样的趋向下 下列函数为无穷小量 x 1 2 3 1 1 x y1 2 xy x ay 1 0 aa 解解 1 因为 所以当时 函数是一个无穷小量 0 1 1 lim x x x 1 1 x y 2 因为与 所以当时函 01lim 2 1 x x 01lim 2 1 x x 11