向量自回归模型讲义

1 第第 8 8 章章 VAR 模型与协整模型与协整 1980 年年 Sims 提出向量自回归模型 提出向量自回归模型 vector autoregressive model 这种模型采用多方程 这种模型采用多方程 联立的形式 它不以经济理论为基础 在模型联立的形式 它不以经济理论为基础 在模型 的每一个方程中 内生变量对模型的全部内生的每一个方程中 内生变量对模型的全部内生 变量的滞后值进行回归 从而估计全部内生变变量的滞后值进行回归 从而估计全部内生变 量的动态关系 量的动态关系 8 1 向量自回归向量自回归 VAR 模型定义模型定义 8 1 1 模型定义模型定义 VAR 模型是自回归模型的联立形式模型是自回归模型的联立形式 所以 所以 称称向量自回归模型向量自回归模型 假设 假设 y1t y2t之间存在关之间存在关 系 如果分别建立两个自回归模型系 如果分别建立两个自回归模型 y1 t f y1 t 1 y1 t 2 y2 t f y2 t 1 y2 t 2 则无法捕捉两个变量之间的关系 如果采用联则无法捕捉两个变量之间的关系 如果采用联 立的形式 就可以建立起两个变量之间的关系 立的形式 就可以建立起两个变量之间的关系 VAR 模型的结构与两个参数有关 一个是所模型的结构与两个参数有关 一个是所 含变量个数含变量个数 N 一个是最大滞后阶数 一个是最大滞后阶数 k 以两个变量以两个变量 y1t y2t滞后滞后 1 期的期的 VAR 模型模型 为例 为例 2 y1 t c1 11 1 y1 t 1 12 1 y2 t 1 u1 t y2 t c2 21 1 y1 t 1 22 1 y2 t 1 u2 t 8 1 其中其中 u1 t u2 t IID 0 2 Cov u1 t u2 t 0 写成矩阵形式是 写成矩阵形式是 8 2 t t y y 2 1 1 2 c c 1 22 1 21 1 12 1 11 1 2 1 1 t t y y t t u u 2 1 设 设 Yt c 1 ut t t y y 2 11 2 c c 1 22 1 21 1 12 1 11 t t u u 2 1 则 则 Yt c 1 Yt 1 ut 8 3 那么 含有那么 含有 N 个变量滞后个变量滞后 k 期的期的 VAR 模型表模型表 示如下 示如下 Yt c 1 Yt 1 2 Yt 2 k Yt k ut ut IID 0 8 4 其中 其中 Yt y1 t y2 t yN t c c1 c2 cN j j 1 2 k jNNjNjN jNjj jNjj 2 1 2 22 21 1 12 11 ut u1 t u2 t uN t 3 Yt为为 N 1 阶时间序列列向量 阶时间序列列向量 C 为为 N 1 阶常阶常 数项列向量 数项列向量 1 k 均为均为 N N 阶参数矩阶参数矩 阵 阵 ut IID 0 是是 N 1 阶随机误差列向量 阶随机误差列向量 其中每一个元素都是其中每一个元素都是非自相关的非自相关的 但这些元素 但这些元素 即不同方程对应的随机误差项之间可能存在相即不同方程对应的随机误差项之间可能存在相 关 关 因因 VAR 模型中每个方程的右侧只含有内生模型中每个方程的右侧只含有内生 变量的滞后项 他们与变量的滞后项 他们与 ut是渐近不相关的 是渐近不相关的 所以可以用所以可以用 OLS 法依次估计每一个方程 得法依次估计每一个方程 得 到的参数估计量都具有一致性 到的参数估计量都具有一致性 估计估计 VAR 的的 EViews 4 1 操作 操作 打开工作文件 点击打开工作文件 点击 Quick 键键 选选 Estimate VAR 功能 作相应选项后 即可得到功能 作相应选项后 即可得到 VAR 的的表格式输出方式 表格式输出方式 在在 VAR 模型估计结果窗模型估计结果窗 口点击口点击 View 选选 representation 功能功能可得到可得到 VAR 的的代数式输出结果 代数式输出结果 8 1 2 VAR 模型的特点是 模型的特点是 1 不以严格的经济理论为依据 在建模 不以严格的经济理论为依据 在建模 过程中只需明确两件事 过程中只需明确两件事 共有哪些变量是相共有哪些变量是相 互有关系的 把有关系的变量包括在互有关系的 把有关系的变量包括在 VAR 模模 型中 型中 确定滞后期确定滞后期 k 使模型能反映出变量 使模型能反映出变量 4 间相互影响的绝大部分 间相互影响的绝大部分 2 VAR 模型对参数不施加零约束 模型对参数不施加零约束 对 对 无显着性的参数估计值并不从模型中剔除 不无显着性的参数估计值并不从模型中剔除 不 分析回归参数的经济意义 分析回归参数的经济意义 3 VAR 模型的解释变量中不包括任何当模型的解释变量中不包括任何当 期变量 所有与联立方程模型有关的问题在期变量 所有与联立方程模型有关的问题在 VAR 模型中都不存在 主要是参数估计量的模型中都不存在 主要是参数估计量的 非一致性问题 非一致性问题 4 VAR 模型的另一个特点是有相当多的模型的另一个特点是有相当多的 参数需要估计 比如一个参数需要估计 比如一个 VAR 模型含有三个模型含有三个 变量 最大滞后期变量 最大滞后期 k 3 则有 则有 k N 2 3 32 27 个参数需要估计 当样本容量较小时 多个参数需要估计 当样本容量较小时 多 数参数的估计量误差较大 数参数的估计量误差较大 5 无约束 无约束 VAR 模型的应用之一是预测 模型的应用之一是预测 由于在由于在 VAR 模型中每个方程的右侧都不含有模型中每个方程的右侧都不含有 当期变量 这种模型用于样本外一期预测的优当期变量 这种模型用于样本外一期预测的优 点是不必对解释变量在预测期内的取值做任何点是不必对解释变量在预测期内的取值做任何 预测 预测 6 用 用 VAR 模型做样本外近期预测非模型做样本外近期预测非 常准确 做样本外长期预测时 则只能预测出常准确 做样本外长期预测时 则只能预测出 变动的趋势 而对短期波动预测不理想 变动的趋势 而对短期波动预测不理想 西姆斯 西姆斯 Sims 认为 认为 VAR 模型中的全部变模型中的全部变 5 量都是内生变量 近年来也有学者认为具有单量都是内生变量 近年来也有学者认为具有单 向因果关系的变量 也可以作为外生变量加入向因果关系的变量 也可以作为外生变量加入 VAR 模型 模型 附录附录 file B8c1 VAR模型静态预测的模型静态预测的EViews操作 点击操作 点击 Procs选选Make Model功能 点击功能 点击Solve 在出 在出 现的对话框的现的对话框的Solution option 求解选择 中 求解选择 中 选择选择Static solution 静态解 静态解 VAR模型动态预测的模型动态预测的EViews操作 点击操作 点击 Procs选选Make Model功能 工作文件中如果已功能 工作文件中如果已 经有经有Model 则直接双击 则直接双击Model 点击 点击 Solve 在出现的对话框的 在出现的对话框的Solution option 求 求 解选择 中选择解选择 中选择Dynamic solution 静态解 静态解 注意 注意 Model窗口中的第一行 窗口中的第一行 ASSIGN ALL F 表示模拟结果保存在原表示模拟结果保存在原 序列名后加序列名后加F的新序列中 以免原序列中的数的新序列中 以免原序列中的数 据被覆盖掉 据被覆盖掉 静态预测的效果非常好 动态预测的表现静态预测的效果非常好 动态预测的表现 是前若干期预测值很接近真值 以后则只能准是前若干期预测值很接近真值 以后则只能准 确预测变化的总趋势 而对动态的变化特征预确预测变化的总趋势 而对动态的变化特征预 测效果较差 综上所述 用测效果较差 综上所述 用VAR做做样本外动样本外动 6 态预测态预测1 2期则预测效果肯定是非常好的 期则预测效果肯定是非常好的 8 2VAR 模型稳定的条件模型稳定的条件 VAR 模型稳定的充分与必要条件是模型稳定的充分与必要条件是 1 见 见 8 3 式 的所有特征值都要在单位圆式 的所有特征值都要在单位圆 以内 在以横轴为实数轴 纵轴为虚数轴的坐以内 在以横轴为实数轴 纵轴为虚数轴的坐 标体系中 以原点为圆心 半径为标体系中 以原点为圆心 半径为 1 的圆称为的圆称为 单位圆 单位圆 或特征值的模都要小于 或特征值的模都要小于 1 1 先回顾单方程情形 以 先回顾单方程情形 以 AR 2 过程过程 yt 1 y t 1 2 y t 2 ut 8 11 为例 改写为为例 改写为 1 1 L 2 L 2 yt L yt ut 8 12 yt稳定的条件是稳定的条件是 L 0 的根必须在单位圆以的根必须在单位圆以 外 外 2 对于 对于 VAR 模型 也用特征方程判别模型 也用特征方程判别 稳定性 以稳定性 以 8 3 式 式 Yt c 1 Yt 1 ut 为 为 例 改写为例 改写为 I 1 L Yt c ut 8 13 保持保持 VAR 模型稳定的条件是模型稳定的条件是 I 1L 0 的根都在单位圆以外 的根都在单位圆以外 I 1L 0 在此称作在此称作 相反的特征方程相反的特征方程 reverse characteristic function 第 第 2 章称特征方程 章称特征方程 7 例例 8 1 以二变量 以二变量 N 2 k 1 的的 VAR 模型模型 8 14 t t y y 2 1 8 54 1 2 18 5 1 2 1 1 t t y y t t u u 2 1 其中其中 1 为例分析稳定性 相反的特为例分析稳定性 相反的特 8 54 1 2 18 5 征方程是征方程是 I 1L LL LL 8 5 4 1 2 1 8 5 10 01 1 5 8 L 2 1 8 L 2 1 0 978 L 1 0 27 L 0 8 15 求解得求解得 L 1 1 0 978 1 022 L 2 1 0 27 3 690 因为因为 L 1 L 2都大于都大于 1 所以对应的 所以对应的 VAR 模型模型 是稳定的 是稳定的 3 VAR 模型稳定的另一种判别条件是 模型稳定的另一种判别条件是 特征方程特征方程 1 I 0 的根都在单位圆以内的根都在单位圆以内 特征方程特征方程 1 I 0 的根就是的根就是 1的特征值 的特征值 例例 8 2 仍以仍以 VAR 模型模型 8 14 为例 特征方为例 特征方 程表达如下 程表达如下 8 1 I 0 0 0 8 54 1 2 18 5 8 54 1 2 18 5 即即 5 8 2 1 8 5 8 2 2 8 1 0 978 0 271 0 8 16 得得 1 0 9786 2 0 2714 1 2是特征方是特征方 程程 1 I 0 的根 是参数矩阵的根 是参数矩阵 1的特征的特征 值 因为值 因为 1 0 978 2 0 271 都小于 都小于 1 该 该 VAR 模型是稳定的 模型是稳定的 注意注意 1 因为 因为 L1 1 0 978 1 1 L2 1 0 27 1 2 所以 所以特征方程与相反的特征方特征方程与相反的特征方 程的根互为倒数 程的根互为倒数 L 1 2 在单方程模型中 通常用相反的特征 在单方程模型中 通常用相反的特征 方程方程 L 0 的根描述模型的稳定性 即单的根描述模型的稳定性 即单 变量过程稳定的条件是 相反的 特征方程变量过程稳定的条件是 相反的 特征方程 L 0 的根都要在单位圆以外 而在的根都要在单位圆以外 而在 VAR 模型中通常用特征方程模型中通常用特征方程 1 I 0 的根描的根描 述模型的稳定性 述模型的稳定性 VAR 模型稳定的条件是 模型稳定的条件是 特征方程特征方程 1 I 0 的根都要在单位圆以的根都要在单位圆以 内 或相反的特征方程内 或相反的特征方程 I L 1 0 的根都的根都 要在单位圆以外 要在单位圆以外 9 4 对于 对于 k 1 的的 k 阶阶 VAR 模型可以通过模型可以通过友友 矩阵变换矩阵变换 companion form 改写成 改写成 1 阶分阶分 块矩阵的块矩阵的 VAR 模型形式 然后利用其特征方模型形式 然后利用其特征方 程的根判别稳定性 具体变换过程如下 程的根判别稳定性 具体变换过程如下 给出给出 k 阶阶 VAR 模型 模型 Yt c 1 Yt 1 2 Yt 2 k Yt k ut 8 17 再配上如下等式 再配上如下等式 Yt 1 Yt 1 Yt 2 Yt 2 Yt k 1 Yt k 1 把以上把以上 k 个等式写成分块矩阵形式 个等式写成分块矩阵形式 1 1 2 1 NK kt t t t Y Y Y Y 1NK c 0 0 0 NKNK kk 000 000 000 I I I 121 1 3 2 1 NK kt t t t Y Y Y Y 1 NK t 0 0 0 u 8 18 其中每一个元素都表示一个向量或矩阵 令其中每一个元素都表示一个向量或矩阵 令 Yt Yt 1 Yt 2 Yt k 1 NK 1 C c 0 0 0 NK 1 10 A NKNK kk 000 000 000 I I I 121 Ut ut 0 0 0 NK 1 上式可写为上式可写为 Yt C A Yt 1 Ut 8 19 注意 注意 用友矩阵变换的矩阵 向量 用正用友矩阵变换的矩阵 向量 用正 黑体字母表示 黑体字母表示 k 阶阶 VAR 模型用友矩阵表示模型用友矩阵表示 成了成了 1 阶分块矩阵的阶分块矩阵的 VAR 模型 模型 例如 例如 2 变量变量 2 阶阶 VAR 模型的友矩阵变模型的友矩阵变 换形式是换形式是 8 20 1t t Y Y 0 c 0I 21 2 1 t t Y Y 0 t u 其中等式的每一个元素 项 都表示一个其中等式的每一个元素 项 都表示一个 4 1 阶向量或阶向量或 4 4 阶矩阵 阶矩阵 例如 例如 2 变量变量 3 阶阶 VAR 模型的友矩阵变模型的友矩阵变 换形式是换形式是 8 21 2 1 t t t Y Y Y 0 0 c 00 00 321 3 2 1 t t t Y Y Y 0 0 t u 其中等式的每一个元素 项 都表示一个其中等式的每一个元素 项 都表示一个 6 1 阶向量或阶向量或 6 6 阶矩阵 阶矩阵 VAR 模型的稳定性要求模型的稳定性要求 A 的全部特征值 的全部特征值 11 即特征方程即特征方程 A I 0 的全部根必须在单位的全部根必须在单位 圆以内或者相反的特征方程圆以内或者相反的特征方程 I L A 0 的全的全 部根必须在单位圆以外 部根必须在单位圆以外 注意注意 特征方程中的 特征方程中的 A 是是 Nk Nk 阶的 阶的 特征方程中的特征方程中的 I 也是也是 Nk Nk 阶的 阶的 以以 2 阶阶 VAR 模型的友矩阵变换为例 模型的友矩阵变换为例 I AL L 00 0 II I 21 II I L LL 21 I 1 L 2 L2 0 8 22 的全部根必须在单位圆以外 的全部根必须在单位圆以外 以以 3 阶阶 VAR 模型的友矩阵变换为例 模型的友矩阵变换为例 I AL L 00 00 00 00 00 I I I II II I L L LLL 0 0 321 I 1 L 2 L2 3 L3 0 8 23 的全部根必须在单位圆以外 的全部根必须在单位圆以外 因此 对于因此 对于 k 阶阶 VAR 模型的友矩阵变换模型的友矩阵变换 形式 特征方程是 形式 特征方程是 I 1 L 2 L 2 k L k 0 8 24 12 附录 附录 求求VAR模型特征根的模型特征根的EViews 4 1操作 在操作 在 VAR模型估计结果窗口点击模型估计结果窗口点击View 选选 Lag Structrure AR Roots Table 功能 即可得到功能 即可得到 VAR模型的全部特征根 若选模型的全部特征根 若选Lag Structrure AR Roots Graph 功能 即可得到单位圆曲线功能 即可得到单位圆曲线 以及以及VAR模型全部特征根的位置图 模型全部特征根的位置图 13 1 5 1 0 0 5 0 0 0 5 1 0 1 5 1 5 1 0 0 50 00 51 01 5 Inverse Roots of AR Characteristic Polynomial 14 1 5 1 0 0 5 0 0 0 5 1 0 1 5 1 5 1 0 0 50 00 51 01 5 Inverse Roots of AR Characteristic Polynomial 8 3 VAR 模型的稳定性 模型的稳定性 stability 特征 特征 现在讨论现在讨论 VAR 模型的稳定性特征 稳定性模型的稳定性特征 稳定性 是指当把一个脉动冲击施加在是指当把一个脉动冲击施加在 VAR 模型中某模型中某 一个方程的新息 一个方程的新息 innovation 过程上时 过程上时 随随 着时间的推移 这个冲击会逐渐地消失着时间的推移 这个冲击会逐渐地消失 如果 如果 是不消失 则系统是不稳定的 是不消失 则系统是不稳定的 下面分析一阶下面分析一阶 VAR 模型模型 15 Yt c 1 Yt 1 ut 8 29 为例 当为例 当 t 1 时 有时 有 Y1 c 1 Y0 u1 8 30 当当 t 2 时 采用迭代方式计算 时 采用迭代方式计算 Y2 c 1 Y1 u2 c 1 c 1 Y0 u1 u2 I 1 c 12 Y0 1 u1 u2 8 31 当当 t 3 时时 进一步迭代进一步迭代 Y3 c 1 Y2 u3 c 1 I 1 c 12 Y0 1 u1 u2 u3 I 1 12 c 13 Y0 12 u1 1 u2 u3 8 32 对于对于 t 期 按上述形式推导期 按上述形式推导 Yt I 1 12 1t 1 c 1t Y0 ut i 1 0 1 t i i 8 33 由上式可知 由上式可知 10 I 通过上述变换 把 通过上述变换 把 Yt表示成了漂移项向量表示成了漂移项向量 初始值向量 初始值向量 Y0和新和新 息向量息向量 ut的函数的函数 可见系统是否稳定可以通 可见系统是否稳定可以通 过观察漂移项向量过观察漂移项向量 c 初始值向量 初始值向量 Y0和新息和新息 向量向量 ut经受冲击后的表现 经受冲击后的表现 16 假定模型是稳定的 将有如下假定模型是稳定的 将有如下 3 个结论 个结论 1 假设 假设 t 1 时 对时 对 c 施加一个单位的冲击 施加一个单位的冲击 那么到那么到 t 期的影响是期的影响是 I 1 12 1t 1 当当 t 时 此影响是一个有限值 时 此影响是一个有限值 I 1 1 2 假设在初始值 假设在初始值 Y0上施加一个单位的冲击 上施加一个单位的冲击 到到 t 期的影响是期的影响是 1t 随着 随着 t 1t 0 影响消失 因为对于平稳的影响消失 因为对于平稳的 VAR 模型 模型 1中中 的元素小于的元素小于 1 所以随着 所以随着 t 取 取 t 次方后 次方后 1t 0 3 从 从ut i项可以看出 白噪声中的冲项可以看出 白噪声中的冲 1 0 1 t i i 击离击离 t 期越远 影响力就越小 期越远 影响力就越小 I 1 1 0 1 t i i 1 称作长期乘子矩阵 是对 称作长期乘子矩阵 是对ut i求期望得求期望得 1 0 1 t i i 到的 到的 对单一方程的分析知道 含有单位根的自对单一方程的分析知道 含有单位根的自 回归过程对新息中的脉动冲击有长久的记忆能回归过程对新息中的脉动冲击有长久的记忆能 力 同理 含有单位根的力 同理 含有单位根的 VAR 模型也是非平模型也是非平 稳过程 当新息中存在脉动冲击时 稳过程 当新息中存在脉动冲击时 VAR 模模 型中内生变量的响应不会随时间的推移而消失 型中内生变量的响应不会随时间的推移而消失 17 平稳变量构成的一定是稳定 平稳变量构成的一定是稳定 stability 的 的 模型 但稳定的模型不一定由平稳变量构成 模型 但稳定的模型不一定由平稳变量构成 也可能由非平稳 也可能由非平稳 nonstationary 变量 存在 变量 存在 协整关系 构成 协整关系 构成 8 4 VAR 模型滞后期模型滞后期 k 的选择的选择 建立建立 VAR 模型除了要满足平稳性条件外 模型除了要满足平稳性条件外 还应该正确确定滞后期还应该正确确定滞后期 k 如果滞后期太少 如果滞后期太少 误差项的自相关会很严重 并导致参数的非一误差项的自相关会很严重 并导致参数的非一 致性估计 正如在第致性估计 正如在第 4 章介绍章介绍 ADF 检验的原检验的原 理一样 在理一样 在 VAR 模型中适当加大模型中适当加大 k 值 增加值 增加 滞后变量个数 滞后变量个数 可以消除误差项中存在的自 可以消除误差项中存在的自 相关 但从另一方面看 相关 但从另一方面看 k 值又不宜过大 值又不宜过大 k 值过大会导致自由度减小 直接影响模型参数值过大会导致自由度减小 直接影响模型参数 估计量的有效性 下面介绍几种选择估计量的有效性 下面介绍几种选择 k 值的方值的方 法 法 1 用用 LR 统计量选择统计量选择 k 值 值 LR 似然比 统 似然比 统 计量定义为 计量定义为 LR 2 log L k log L k 1 8 34 2 2 N 其中其中 log L k 和和 log L k 1 分别是分别是 VAR k 和和 VAR k 1 模型的极大似然估计值 模型的极大似然估计值 k 表示表示 18 VAR 模型中滞后变量的最大滞后期 模型中滞后变量的最大滞后期 LR 统计统计 量渐近服从量渐近服从分布 显然当分布 显然当 VAR 模型滞后模型滞后 2 2 N 期的增加不会给极大似然函数值带来显着性增期的增加不会给极大似然函数值带来显着性增 大时 即大时 即 LR 统计量的值小于临界值时 新增统计量的值小于临界值时 新增 加的滞后变量对加的滞后变量对 VAR 模型毫无意义 应该注模型毫无意义 应该注 意 当样本容量与被估参数个数相比不够充分意 当样本容量与被估参数个数相比不够充分 大时 大时 LR 的有限样本分布与的有限样本分布与 LR 渐近分布存渐近分布存 在很大差异 在很大差异 2 用赤池 用赤池 Akaike 信息准则 信息准则 AIC 选选 择择 k 值 值 AIC log 8 34 T u T t t 1 2 T k2 其中其中 表示残差 表示残差 T 表示样本容量 表示样本容量 k 表示最表示最 t u 大滞后期 选择大滞后期 选择 k 值的原则是在增加值的原则是在增加 k 值的过值的过 程中使程中使 AIC 的值达到最小 的值达到最小 EViews 3 0 的计算公式是的计算公式是 AIC 2 T Llog T k2 3 用施瓦茨 用施瓦茨 Schwartz 准则 准则 SC 选择选择 k 值 值 19 SC log 8 35 T u T t t 1 2 T klogT 其中其中 表示残差 表示残差 T 表示样本容量 表示样本容量 k 表示最表示最 t u 大滞后期 选择最佳大滞后期 选择最佳 k 值的原则是在增加值的原则是在增加 k 值值 的过程中使的过程中使 SC 值达到最小 值达到最小 EViews 3 0 的计算公式是的计算公式是 SC 2 T Llog T Tlogk 例例 8 3 以第以第 8 章案例为例 章案例为例 k 1 2 3 4 时的时的 logL Akaike AIC 和和 Schwarz SC 的值的值 见下表 见下表 VAR 1 VAR 2 VAR 3 VAR 4 logL184 6198 9200 0207 8 2 log L k log L k 1 28 62 215 6 2 9 16 9 Akaike AIC 7 84 8 27 8 09 8 23 Schwarz SC 7 36 7 41 6 85 6 6 20 建立滞后建立滞后 2 期的期的 VAR 模型是可以的 模型是可以的 附录 附录 考察考察VAR模型最大滞后期的模型最大滞后期的EViews 4 1操操 作 在作 在VAR模型估计结果窗口点击模型估计结果窗口点击View 选选 Lag Structrure Lag Lengyh Criteria 功能 功能 即可得到即可得到5个评价统计量的值 个评价统计量的值 8 5 VAR 模型的脉冲响应函数模型的脉冲响应函数 由于由于 VAR 模型参数的模型参数的 OLS 估计量只具有估计量只具有 一致性 单个参数估计值的经济解释是很困难一致性 单个参数估计值的经济解释是很困难 的 的 要想对一个要想对一个 VAR 模型做出分析 通常是模型做出分析 通常是 观察系统的脉冲响应函数观察系统的脉冲响应函数 1 脉冲响应函数 脉冲响应函数 脉冲响应函数描述一个内生变量对误差冲击脉冲响应函数描述一个内生变量对误差冲击 21 的反应 的反应 具体地说 具体地说 它描述的是在随机误差项它描述的是在随机误差项 上施加一个上施加一个标准差大小标准差大小的冲击后对内生变量的的冲击后对内生变量的 当期值和未来值所带来的影响 当期值和未来值所带来的影响 对于如下对于如下 VAR 模型 模型 y1 t表示表示 GDP y2 t表表 示货币供应量 示货币供应量 y1 t c1 11 1 y1 t 1 12 1 y2 t 1 u1 t y2 t c2 21 1 y1 t 1 22 1 y2 t 1 u2 t 8 36 在模型在模型 8 36 中中 如果误差如果误差 u1t 和和 u2t不相不相 关关 就很容易解释 就很容易解释 u1t是是 y1 t的误差项 的误差项 u2t 是是 y2 t的误差项 脉冲响应函数衡量当期 的误差项 脉冲响应函数衡量当期 u1t 和和 u2t一个标准差的冲击一个标准差的冲击分别对分别对 GDP 和货币和货币 存量的当前值和未来值的影响 存量的当前值和未来值的影响 对于每一个对于每一个 VAR 模型都可以表示成为一个模型都可以表示成为一个 无限阶的向量无限阶的向量 MA 过程 具体方法是对于过程 具体方法是对于 任何一个任何一个 VAR k 模型都可以通过友矩阵变换模型都可以通过友矩阵变换 改写成一个改写成一个 VAR 1 模型 见模型 见 8 1 2 节 节 Yt A1 Yt 1 Ut I L A 1 Yt Ut Yt I L A 1 1 Ut Ut A1Ut 1 A12 Ut 2 A1s Ut s 22 这是一个无限阶的向量这是一个无限阶的向量 MA 过程 或写成 过程 或写成 Yt s Ut s A1Ut s 1 A12 Ut s 2 A1s Ut 全部的移动平均参数矩阵用改用全部的移动平均参数矩阵用改用 j j 1 s 表示 表示 Yt s Ut s 1Ut s 1 2Ut s 2 s Ut 8 37 其中其中 1 A1 2 A12 s A1 s 显然 由显然 由 8 37 式有下式成立 式有下式成立 s t st U Y s中第中第 i 行第行第 j 列元素表示的是 列元素表示的是 令其它误差令其它误差 项在任何时期都不变的条件下 当第项在任何时期都不变的条件下 当第 j 个变量个变量 yj t对应的误差项对应的误差项 uj t在在 t 期受到一个单位的冲期受到一个单位的冲 击后 对第击后 对第 i 个内生变量个内生变量 yit在在 t s 期造成的期造成的 影响影响 把把 s中第中第 i 行第行第 j 列元素看作是滞后期列元素看作是滞后期 s 的函数的函数 s 1 2 3 t j st i u y 称作称作脉冲响应函数脉冲响应函数 impulse response 23 function 脉冲响应函数描述了其它变量在 脉冲响应函数描述了其它变量在 t 期以及以前各期保持不变的前提下 期以及以前各期保持不变的前提下 yi t s对对 uj t时一次冲击的响应过程 时一次冲击的响应过程 对脉冲响应函数的解释出现困难源于实际中对脉冲响应函数的解释出现困难源于实际中 各方程对应的误差项从来都不是完全非相关的 各方程对应的误差项从来都不是完全非相关的 当误差项相关时 它们有一个共同的组成部分 当误差项相关时 它们有一个共同的组成部分 不能被任何特定的变量所识别 为处理这一问不能被任何特定的变量所识别 为处理这一问 题 常引入一个变换矩阵题 常引入一个变换矩阵 M 与与 ut相乘 相乘 vt M ut 0 从而把从而把 ut的方差协方差矩阵变换为一个对角的方差协方差矩阵变换为一个对角 矩阵矩阵 现在有多种方法 其中一种变换方法 现在有多种方法 其中一种变换方法 称作乔利斯基 称作乔利斯基 Cholesky 分解法 从而使误 分解法 从而使误 差项正交 差项正交 原误差项相关的部分归于原误差项相关的部分归于 VAR 系统中的第系统中的第 一个变量的随机扰动项 在上面的例子里 一个变量的随机扰动项 在上面的例子里 u1 t和 和 u2t的共同部分完全归于的共同部分完全归于 u1t 因为 因为 u1t在在 u2 t之前 之前 虽然乔利斯基分解被广泛应用 但是对于共虽然乔利斯基分解被广泛应用 但是对于共 同部分的归属来说 它还是一种很随意的方法 同部分的归属来说 它还是一种很随意的方法 所以方程顺序的改变将会影响到脉冲响应函数 所以方程顺序的改变将会影响到脉冲响应函数 因此在解释脉冲响应函数时应小心 因此在解释脉冲响应函数时应小心 注意注意 对于 对于 ut中的每一个误差项 内生变中的每一个误差项 内生变 24 量都对应着一个脉冲响应函数 这样 一个含量都对应着一个脉冲响应函数 这样 一个含 有有 4 个内生变量的个内生变量的 VAR 将有将有 16 个脉冲响应个脉冲响应 函数 函数 附录 附录 VAR模型残差序列及其方差 协模型残差序列及其方差 协 方差矩阵的求法 方差矩阵的求法 点击点击VAR窗口中的窗口中的Procs键 选键 选Make Residuals 生成残差 功能 工作文件中就 生成残差 功能 工作文件中就 会生成以会生成以resid01 resid02 为编号的残差序列为编号的残差序列 残差序列的顺序与 残差序列的顺序与VAR模型估计对话框中模型估计对话框中 输入的变量顺序相一致 并打开残差序列数输入的变量顺序相一致 并打开残差序列数 据组窗口 在这个残差序列数据组窗口中点击据组窗口 在这个残差序列数据组窗口中点击 View键 选择键 选择Covariances功能 即可得到残功能 即可得到残 差序列的方差 协方差矩阵 选择差序列的方差 协方差矩阵 选择Correlation 功能 即可得到残差序列的相关系数矩阵 功能 即可得到残差序列的相关系数矩阵 附录 附录 脉冲响应的脉冲响应的EViews操作操作 file VAR01 点击点击VAR窗口中的窗口中的Impulse键 在随后弹键 在随后弹 25 出的对话框中做出各项选择后点击出的对话框中做出各项选择后点击OK键 键 例例8 4 美国民用燃油价格 生产量 储量美国民用燃油价格 生产量 储量 的脉冲响应图 的脉冲响应图 图图 1 of three innovations 图图 2 图图 3 图图 1 表示美国民用燃油价格 表示美国民用燃油价格 PHO 分 分 别对燃油价格 别对燃油价格 PHO 生产量 生产量 QHO 储 储 量 量 NHO 3 个方程相应新息过程一个标准差个方程相应新息过程一个标准差 冲击的响应 冲击的响应 图图 2 表示美国燃油生产量 表示美国燃油生产量 QHO 分别 分别 对燃油价格 对燃油价格 PHO 生产量 生产量 QHO 储量 储量 NHO 3 个方程相应新息过程一个标准差冲个方程相应新息过程一个标准差冲 击的响应 击的响应 图图 3 表示美国燃油储量 表示美国燃油储量 NHO 分别对 分别对 燃油价格 燃油价格 PHO 生产量 生产量 QHO 储量 储量 NHO 3 个方程相应新息过程一个标准差冲个方程相应新息过程一个标准差冲 击的响应 击的响应 26 8 6 格兰杰非因果性检验格兰杰非因果性检验 VAR 模型还可用来检验一个变量与另一个模型还可用来检验一个变量与另一个 变量是否存在因果关系 经济计量学中格兰杰变量是否存在因果关系 经济计量学中格兰杰 Granger 非因果性定义如下 非因果性定义如下 格兰杰非因果性 如果由格兰杰非因果性 如果由 yt和和 xt滞后值所滞后值所 决定的决定的 yt的条件分布与仅由的条件分布与仅由 yt滞后值所决定滞后值所决定 的条件分布相同 即的条件分布相同 即 yt yt 1 xt 1 yt yt 1 8 38 则称则称 xt 1对对 yt存在存在格兰杰非因果性格兰杰非因果性 格兰杰非因果性的另一种表述是其它条件格兰杰非因果性的另一种表述是其它条件 不变 若加上不变 若加上 xt的滞后变量后对的滞后变量后对 yt的预测精的预测精 度不存在显着性改善 则称度不存在显着性改善 则称 xt 1对对 yt存在格兰存在格兰 杰非因果性关系 杰非因果性关系 为简便 通常总是把为简便 通常总是把 xt 1 对对 yt存在非因果关存在非因果关 系表述为系表述为 xt 去掉下标 去掉下标 1 对 对 yt存在非因果关存在非因果关 系 严格讲 这种表述是不正确的 系 严格讲 这种表述是不正确的 在实际 在实际 中 除了使用格兰杰非因果性概念外 也使用中 除了使用格兰杰非因果性概念外 也使用 格兰杰因果性格兰杰因果性 概念 顾名思义 这个概念概念 顾名思义 这个概念 首先由格兰杰 首先由格兰杰 Granger 1969 提出 西姆斯 提出 西姆斯 Sims 1972 也提出因果性定义 这两个定 也提出因果性定义 这两个定 义是一致的 义是一致的 根据以上定义 根据以上定义 xt 对对 yt 是否存在因果关系是否存在因果关系 27 的检验可通过检验的检验可通过检验 VAR 模型以模型以 yt 为被解释为被解释 变量的方程中是否可以把变量的方程中是否可以把 xt 的全部滞后变量的全部滞后变量 剔除掉而完成 比如剔除掉而完成 比如 VAR 模型中以模型中以 yt 为被为被 解释变量的方程表示如下 解释变量的方程表示如下 yt u1 t 8 39 k i itiy 1 k i itix 1 如有必要 常数项 趋势项 季节虚拟变量等如有必要 常数项 趋势项 季节虚拟变量等 都可以包括在上式中 则检验都可以包括在上式中 则检验 xt 对对 yt存在格存在格 兰杰非因果性的零假设是兰杰非因果性的零假设是 H0 1 2 k 0 显然如果 显然如果 8 39 式中的 式中的 xt 的滞后变量的回归的滞后变量的回归 参数估计值全部不存在显着性 则上述假设不参数估计值全部不存在显着性 则上述假设不 能被拒绝 换句话说 如果能被拒绝 换句话说 如果 xt 的任何一个滞的任何一个滞 后变量的回归参数的估计值存在显着性 则结后变量的回归参数的估计值存在显着性 则结 论应是论应是 xt 对对 yt 存在格兰杰因果关系 上述检存在格兰杰因果关系 上述检 验可用验可用 F 统计量完成 统计量完成 F kNTSSE k u u SSESSE r 其中其中 SSEr 表示施加约束 零假设成立 后的表示施加约束 零假设成立 后的 残差平方和 残差平方和 SSEu 表示不施加约束条件下的表示不施加约束条件下的 残差平方和 残差平方和 k 表示最大滞后期 表示最大滞后期 N 表示表示 28 VAR 模型中所含当期变量个数 本例中模型中所含当期变量个数 本例中 N 2 T 表示样本容量 在零假设成立条件下 表示样本容量 在零假设成立条件下 F 统计量近似服从统计量近似服从 F k T k N 分布 用样本计分布 用样本计 算的算的 F 值如果落在临界值以内 值如果落在临界值以内 接受原假设 接受原假设 即即 xt 对对 yt 不存在格兰杰因果关系 不存在格兰杰因果关系 例例 8 5 file stock 以 以 661 天 天 1999 1 4 2001 10 5 的上海 的上海 SH 和深圳 和深圳 SZ 股票 股票 收盘价格综合指数为例 收盘价格综合指数为例 300 400 500 600 700 1000 1500 2000 2500 100200300400500600 SZSH 图图 6 滞后滞后 10 期的期的 Granger 因果性检验结果如下 因果性检验结果如下 当概率小于 当概率小于 0 05 时 表示推翻原假设 时 表示推翻原假设 上表中概率定义为 上表中概率定义为 29 P F 1 36 0 19316 图示如下 图示如下 0 511 522 5 0 2 0 4 0 6 0 8 图图 7 P F 23 44 0 00000 因为因为 F 值 值 1 36 落在原假设接受域 所 落在原假设接受域 所 以原假设以原假设 上海股票价格综合指数对深圳股票上海股票价格综合指数对深圳股票 价格综合指数不存在价格综合指数不存在 Granger 因果关系因果关系 被被 接受 接受 因为因为 F 值 值 23 44 落在原假设拒绝域 落在原假设拒绝域 所以原假设所以原假设 深圳股票价格综合指数对上海股深圳股票价格综合指数对上海股 票价格综合指数不存在票价格综合指数不存在 Granger 因果关系因果关系 被推翻 被推翻 附录附录 格兰杰因果关系检验格兰杰因果关系检验 EViews 操作方法是 打开数剧组窗口 点操作方法是 打开数剧组窗口 点 View 键 选键 选 Granger Causility 在打开的对 在打开的对 话窗口中填上滞后期 上面的结果取滞后期为话窗口中填上滞后期 上面的结果取滞后期为 10 点击 点击 OK 键 键 用滞后用滞后 5 10 15 20 25 期的检验式分别检期的检验式分别检 临界值 1 36 30 验 结果见下表 验 结果见下表 k 5k 10k 15k 20k 25 H0 SH does not Granger Cause SZ 1 081 361 211 291 40接受接受 H0 H0 SZ does not Granger Cause SH 43 923 415 912 610 3拒绝拒绝 H0 结论都是上海股票价格综合指数不是深圳结论都是上海股票价格综合指数不是深圳 股票价格综合指数变化的原因 但深圳股票价股票价格综合指数变化的原因 但深圳股票价 格综合指数是上海股票价格综合指数变化的原格综合指数是上海股票价格综合指数变化的原 因 因 注意注意 1 滞后期 滞后期 k 的选取是任意的 实质上是的选取是任意的 实质上是 一个判断性问题 一般来说要试检验若干个不一个判断性问题 一般来说要试检验若干个不 同滞后期同滞后期 k 的格兰杰因果关系检验 且结论相的格兰杰因果关系检验 且结论相 同时 才可以最终下结论 同时 才可以最终下结论 2 当做 当做 xt是否为导致是否为导致 yt变化的格兰杰原变化的格兰杰原 因检验时 如果因检验时 如果 zt也是也是 yt变化的格兰杰原因 变化的格兰杰原因 且且 zt又与又与 xt相关 这时在相关 这时在 xt是否为导致是否为导致 yt变变 化的格兰杰因果关系检验式的右端应加入化的格兰杰因果关系检验式的右端应加入 zt的的 滞后项 实际上是滞后项 实际上是 3 个变量个变量 VAR 模型中的一模型中的一 个方程 个方程 3 不存在协整关系的非平稳变量之间不 不存在协整关系的非平稳变量之间不 能进行格兰杰因果关系检验 能进行格兰杰因果关系检验 31 8 7 VAR 模型与协整模型与协整 如果如果 VAR 模型模型 Yt 1 Yt 1 2 Yt 1 k Yt k ut ut IID 0 的内生变量都含有单位根 那么可以用这些变的内生变量都含有单位根 那么可以用这些变 量的一阶差分序列建立一个平稳的量的一阶差分序列建立一个平稳的 VAR 模型 模型 Yt 1 Yt 1 2 Yt 2 k Yt k ut 然而 当这些变量存在协整关系时 采用然而 当这些变量存在协整关系时 采用 差分的方法构造差分的方法构造 VAR 模型虽然是平稳的 但模型虽然是平稳的 但 不是最好的选择 不是最好的选择 如果如果 Yt I 1 且非平稳变量间存在协整 且非平稳变量间存在协整 关系 那么由这些非平稳变量组成的线性组合关系 那么由这些非平稳变量组成的线性组合 则是平稳的 建立单纯的差分则是平稳的 建立单纯的差分 VAR 模型将丢模型将丢 失重要的非均衡误差信息 因为变量间的协整失重要的非均衡误差信息 因为变量间的协整 关系给出了变量间的长期关系 同时用这种非关系给出了变量间的长期关系 同时用这种非 均衡误差以及变量的差分变量同样可以构造平均衡误差以及变量的差分变量同样可以构造平 稳的稳的 VAR 模型 从而得到一类重要的模型 模型 从而得到一类重要的模型 这就是向量误差修正模型 这就是向量误差修正模型 对于对于 k 阶阶 VAR 模型 模型 32 Yt 1 Yt 1 2 Yt 2 k Yt k ut 其其向量误差修正模型 向量误差修正模型 VEC 的表达式的表达式 是是 Yt 1 2 k I Yt 1 2 3 k Yt 1 3 k Yt 2 k Yt k 1 ut 8 45 I 1 2 k I k i i 1 j j 1 2 k 1 k ji i 1 Yt Yt 1 1 Yt 1 2 Yt 2 k 1 Yt k 1 ut 8 47 称为压缩矩阵称为压缩矩阵 impact matrix 影响 影响 矩阵矩阵 是是全部参数矩阵的和减一个单位阵 全部参数矩阵的和减一个单位阵 为多项式矩阵 其中每一个元素都是一个为多项式矩阵 其中每一个元素都是一个 多项式 运算规则于一般矩阵相同 滞后期的多项式 运算规则于一般矩阵相同 滞后期的 延长不影响对协整向量个数的分析 延长不影响对协整向量个数的分析 根据根据 Granger 定理 向量误差修正模型定理 向量误差修正模型 VEC 的表达式是 的表达式是 A L 1 L Yt Yt 1 d L ut 8 48 其中其中 A L 是多项式矩阵是多项式矩阵 A L 分离出因子分离出因子 1 33 L 后降低一阶的多项式矩阵 后降低一阶的多项式矩阵 d L 是由滞后算是由滞后算 子表示的多项式矩阵 子表示的多项式矩阵 上式与上式与 8 47 式完全相同 其中式完全相同 其中 A L 1 L Yt A L Yt Yt 1 Yt 1 2 Yt 2 k 1 Yt k 1 d L ut ut 在这里在这里 d L 退化为单位列向量 退化为单位列向量 若若 Yt CI 1 1 比较 比较 8 47 和和 8 48 式必然有式必然有 其中其中 是协整矩阵 是协整矩阵 是调整系数矩阵 是调整系数矩阵 和和 都是都是 N r 阶矩阵 表示有阶矩阵 表示有 r 个协整向量 个协整向量 1 2 r 存在 存在 r 个协整关系 个协整关系 因为因为