福建省2016届高三4月质量检查 数学文

1 保密保密 启用前启用前 20162016 年福建省普通高中毕业班质量检查年福建省普通高中毕业班质量检查 文文 科科 数数 学学 注意事项 注意事项 1 1 本试题分为第本试题分为第 卷 选择题 和第卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 第卷 非选择题 两部分 第 卷卷 1 1 至至 2 2 页 第页 第 卷卷 3 3 至至 5 5 页 页 2 2 答题前 考生务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上 答题前 考生务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上 3 3 请将全部答案答在答题卡上 答在本试卷上无效 请将全部答案答在答题卡上 答在本试卷上无效 4 4 考试结束或 将本试卷和答题卡一并收回 考试结束或 将本试卷和答题卡一并收回 第第 卷 选择题 卷 选择题 1 1 选择题 本大题共选择题 本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要 求的求的 1 已知复数 则 i i z 1 3 z A 1 B 2 C D 55 2 集合 则 02 1 2 xxxBxyyA BA A B C D 2 0 1 2 1 2 0 3 已知 则 的值等于 3 1 2 cos 2cos A B C D 9 7 9 7 9 8 9 8 4 执行如图所示的程序框图 如果输入 n 的值为 4 则输出的 S 的值为 A 15 B 6 C 10 D 21 5 某公司为了增加其商品的销售利润 调查了该商品投入的广告费用 x 与销售利润 y 的统计数据如 下表 广告费用 x 万元 2356 销售利润 y 万元 57911 2 由表中数据 得线性回归方程 则下列结论错误 xbya xx yyxx baxbyl n i i n i ii 1 2 1 的是 A B C 直线 过点 4 8 D 直线 过点 2 5 0 b0 all 6 如图 网格纸上小正方形的边长为 1 粗线画出的是某几何体的三视图 则这个几何体是 A 三棱锥 B 三棱柱 C 四棱锥 D 四棱柱 7 在ABC 中 为 AB 中点 BCD 的面积为 DABB 2 3 4 33 则 AC 等于 A B C D 2 71019 8 函数 则是 2 ln xx eex xf xf A 奇函数 且在上单调递减 B 奇函数 且在上单调递增 0 0 C 偶函数 且在上单调递减 D 偶函数 且在上单调递增 0 0 9 在空间直角坐标系 O xyz 中 A 0 0 2 B 0 2 0 C 2 2 2 则三棱锥 O ABC 外接球的表面积为 A B C D 3 34 12 48 10 若 x y 满足约束条件则的最小值为 02 02 02 yx y yx 22 32 yx A B C 5 D 9 12 9 11 已知过双曲线的焦点的直线 与 C 交于 A B 两点 且使 0 01 2 2 2 2 ba b y a x C l aAB4 的直线 恰好有 3 条 则 C 的渐近线方程为 l 3 A B C D xy2 xy 2 2 xy2 xy 2 1 12 已知函数 若与的图像上分别存在点 2 1 2ln2 ex e exxgkxxf xf xg M N 使得 M N 关于直线对称 则实数 k 的取值范围是 ey A B C D 2 e 4 2 4 2 ee e e 2 4 2 2e 2 e 第第 卷 非选择题 卷 非选择题 本卷包括必考题和选考题两部分 第本卷包括必考题和选考题两部分 第 1313 题题 第第 2121 题为必考题 每个试题考生都必须作答 第题为必考题 每个试题考生都必须作答 第 2222 题题 第第 2424 题为选考题 考生根据要求作答 题为选考题 考生根据要求作答 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分分 13 已知函数 则 0 0 2 3 2 xx x xf x 1ff 14 已知向量的夹角为 则 ba 3 1 3 2 ba ba 15 椭圆的右焦点与抛物线的焦点 F 重合 点 P 是椭圆 C 和 01 2 2 2 2 ba b y a x C xyE4 2 抛物线 E 的一个公共点 点满足 则的离心率为 10 QQPQF C 16 已知是函数的图像上的一个最高点 B C 是图 A 20 0sin xxf xf 像上相邻的两个对称中心 且的面积为 若存在常数 M M 0 使得 ABC 2 1 xMfMxf 则该函数的解析式是 xf 三 解答题 解答题应写出文字说明 证明过程或演算步骤三 解答题 解答题应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 已知等比数列的前 n 项为和 且 n a n S 7 02 323 Saa 4 求数列的通项公式 n a 求数列的前 n 项和 n a n n T 18 本小题满分 12 分 随着移动互联网的发展 与餐饮美 食相关的手机 APP 软件层出不穷 现 从使用 A 和 B 两款订餐软件的商家 中分别随机抽取 50 个商家 对它们 的 平均送达时间 进行统计 得 到频率分布直方图如下 试估计使用 A 款订餐软件的 50 个商家的 平均送达时间 的众数及平均数 根据以上抽样调查数据 将频率视为概率 回答以下问题 能否认为使用 B 款订餐软件 平均送达时间 不超过 40 分钟的商家达到 75 如果你要从 A 和 B 两款订餐软件中选择一款订餐 你会选择哪款 并说明理由 19 本小题满分 12 分 如图 多面体中 四边形 ABCD 为菱形 且 ABCDEF 32 60 EFEDEAADACEFDAB 求证 BEAD 若求三棱锥的体积 5 BE BCDF 20 本小题满分 12 分 已知点 直线与 x 轴交于点 B 动点 M 到 A B 两点的距离之比为 2 04 A 1 xl 求点 M 的轨迹 C 的方程 设 C 与 x 轴交于 E F 两点 P 是直线 上一点 且点 P 不在 C 上 直线 PE PF 分别与 C 交于 l 另一点 S T 证明 A S T 三点共线 22 本小题满分 12 分 已知函数 曲线在点处的切线平行于 x 轴 ln xaxexf x xfy 11f 求的单调区间 xf 证明 时 eb 22 2 xxbxf 请考生在第请考生在第 2222 2323 2424 三题中任选一题作答 注意 只能做所选定的三题中任选一题作答 注意 只能做所选定的 5 题目 如果多做 则按所做第一个题目计分 做答时请用题目 如果多做 则按所做第一个题目计分 做答时请用 2B2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框铅笔在答题卡上将所选题号后的方框 涂黑 涂黑 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 的两条中线 AD 和 BE 相交于点 G 且 D C E G 四点共圆 ABC 求证 ACGBAD 若 GC 1 求 AB 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系中 曲线 C 的参数方程为 其中为参数 以坐标原点为极点 xOy sin cos3 y x O 轴的正半轴为极轴建立极坐标系中 直线 的极坐标方程为 xl 2 4 sin 求 C 的普通方程和直线 的倾斜角 l 设点 P 0 2 和 C 交于 A B 两点 求 l PBPA 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 1 xxf 求使不等式的解集 M 112 xxf 设 证明 Mba bfafabf 6 2016 年福建省普通高中毕业班质量检查年福建省普通高中毕业班质量检查 文科数学试题答案及评分参考文科数学试题答案及评分参考 评分说明 1 本解答给出了一种或几种解法供参考 如果考生的解法与本解答不同 可根据试题的主要 考查内容比照评分标准制定相应的评分细则 2 对计算题 当考生的解答在某一步出现错误时 如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度 可视影响的程度决定后继部分的给分 但不得超过该部分正确解答应给分数的一半 如 果后继部分的解答有较严重的错误 就不再给分 3 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4 只给整数分数 选择题和填空题不给中间分 一 选择题 本大题考查基础知识和基本运算 每小题 5 分 满分 60 分 1 C 2 D 3 A 4 C 5 D 6 A 7 B 8 D 9 C 10 B 11 A 12 D 二 填空题 本大题考查基础知识和基本运算 每小题 5 分 满分 20 分 13 14 15 16 8721 sin x 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题主要考查等比数列的通项公式 数列求和等基础知识 考查运算求解能力 考查函 数与方程思想 化归与转化思想等 满分 12 分 解 设的公比为 n aq 依题意 得 3 分 2 11 2 111 20 7 a qa q aa qa q 解得 5 分 1 1 2 a q 所以 6 分 1 2n n a 由 得 所以 7 分 1 2n n nn a 21 23 1 222 n n n T 所以 8 分 21 1121 22222 n nn nn T 得 10 分 21 1111 1 22222 n nn n T 7 1 1 2 1 2 1 2 n n n 11 分 2 2 2n n 所以 12 分 1 2 4 2 n n n T 18 本小题主要考查频率分布直方图 平均数 众数 古典概率等基础知识 考查数据处理能力 运算求解能力以及应用意识 考查必然与或然思想等 满分 12 分 解 依题意可得 使用 A 款订餐软件的 50 个商家的 平均送达时间 的众数为 55 分钟 2 分 使用 A 款订餐软件的 50 个商家的 平均送达时间 的平均数 分钟 150 06250 34350 12450 04550 4650 0440 6 分 使用 B 款订餐软件 平均送达时间 不超过 40 分钟的商家的比例估计值为 0 04 0 20 0 56 0 80 80 75 8 分 故可认为使用 B 款订餐软件 平均送达时间 不超过 40 分钟的商家达到 75 9 分 使用 B 款订餐软件的 50 个商家的 平均送达时间 的平均数 150 04250 2350 56450 14550 04650 023540 所以选 B 款订餐软件 12 分 注 本小题答案开放 只要能够按照统计知识合理作答 即给满分 如以下回答也符注 本小题答案开放 只要能够按照统计知识合理作答 即给满分 如以下回答也符 合要求 合要求 根据样本估计总体的思想可知 使用根据样本估计总体的思想可知 使用 A A 款订餐软件款订餐软件的商家的的商家的 平均送达时间平均送达时间 在在 3030 分钟分钟 内的概率为内的概率为 0 40 4 使用使用 B B 款订餐软件款订餐软件的商家的的商家的 平均送达时间平均送达时间 在在 3030 分钟内的概率为分钟内的概率为 0 240 24 所以可选 所以可选 A A 款订餐软件款订餐软件 19 本小题主要考查空间直线与直线 直线与平面的位置关系及几何体的体积等基础知识 考查空 间想象能力 推理论证能力 运算求解能力 考查化归与转化思想等 满分 12 分 解法一 如图 取中点 连结 ADO EO BO 1 分EAED EOAD 四边形为菱形 ABCD O C A D F E B 8 ABAD 又 为等边三角形 60DAB ABDBABD 3 分BOAD 5 分BOEOO BOBEO 平面EOBEO 平面ADBEO 平面 6 分BEBEO 平面ADBE 在中 EAD 3EAED 2AD 22 2EOAEAO 为等边三角形 7 分ABD 2ABBDAD 3BO 又 8 分5BE 222 EOOBBE EOOB ADOBO ADABCD 平面BOABCD 平面 平面 9 分EO ABCD 又 10 分 11 233 22 ABD SAD OB 3 BCDABD SS 又 EFAC 11 分 F BCDE BCD VV 12 分 116 32 333 BCD SEO 解法二 同解法一 6 分 在 中 EAD3EAED 2AD 22 2EOAEAO 为等边三角形 ABD 7 分2ABBDAD 3BO 又 8 分5BE 222 EOOBBE EOOB 所以 9 分 116 23 222 EOB SEO OB O C A D F E B 9 又 BCDABD SS EFACADEOB 平面 10 分 F BCDE BCDE ABD VVV 12 分 1166 2 3323 EOB SAD 20 本小题考查圆的方程 直线与圆的位置关系等基础知识 考查运算求解能力 推理论证能力 考查数形结合思想 化归与转化思想等 满分 12 分 解法一 设点 依题意 3 分 M x y 2 2 2 2 4 2 1 xyMA MB xy 化简得 即曲线的方程为 5 分 22 4xy C 22 4xy 由 知曲线的方程为 C 22 4xy 令得 不妨设 0y 2x 2 0 2 0EF 设 01122 1 PyS x yT xy 则直线的方程为 PE 0 2yyx 由得 6 分 0 22 2 4 yyx xy 2222 000 14440yxy xy 所以 即 8 分 2 0 1 2 0 44 2 1 y x y 2 0 1 2 0 22 1 y x y 0 1 2 0 4 1 y y y 直线的方程为 PF 0 2 3 y yx 由得 9 分 0 22 2 3 4 y yx xy 2222 000 944360yxy xy 所以 即 11 分 2 0 2 2 0 436 2 9 y x y 2 0 2 2 0 218 9 y x y 0 2 2 0 12 9 y y y 所以 0 2 001 22 010 2 0 4 12 2243 4 1 AS y yyy k yxy y O T S y xFB A E P O T S y xFB A E P 10 0 2 002 22 020 2 0 12 92 21843 4 9 AT y yyy k yxy y 所以 所以三点共线 12 分 ASAT kk A S T 解法二 同解法一 由 知曲线的方程为 C 22 4xy 令得 不妨设 0y 2x 2 0 2 0EF 设 01122 1 PyS x yT xy 则直线的方程为 PE 00 2yy xy 由消去得 6 分 00 22 2 4 yy xy xy x 22 00 140yyy y 所以 8 分 0 1 2 0 4 1 y y y 2 0 1 2 0 22 1 y x y 直线的方程为 PF 0 0 2 33 y yxy 由得 9 分 0 0 22 2 33 4 y yxy xy 22 00 9120yyy y 所以 11 分 0 2 2 0 12 9 y y y 2 0 2 2 0 218 9 y x y 以下同解法一 解法三 同解法一 由 知曲线的方程为 C 22 4xy 令得 不妨设 0y 2x 2 0 2 0EF 设 01122 1 PyS x yT xy 当时 此时三点共 0 0y 2 0 2 0ST A S T 线 O T S y xFB A E P 11 当时 则直线的方程为 0 0y PE 00 2yy xy 由消去得 6 分 00 22 2 4 yy xy xy x 22 00 140yyy y 所以 7 分 0 1 2 0 4 1 y y y 直线的方程为 PF 0 0 2 33 y yxy 由消去得 8 分 0 0 22 2 33 4 y yxy xy x 22 00 9120yyy y 所以 9 分 0 2 2 0 12 9 y y y 12 12 44 ASAT yy kk xx 1221 12 44 44 yxyx xx 21 12 00 12 3 62 44 yy yy yy xx 11 分 120210 120102 012012 362462 4444 yyyyyyy yy yy y yxxyxx 因为 222 000 0102 22 22 00 00 2424192 62 1919 yyy y yy y yyyy 2 000 12 22 22 00 00 412192 44 1919 yyy y y yyyy 所以 120102 462y yy yy y 0 所以 所以三点共线 12 分 ASAT kk A S T 21 本小题主要考查函数的单调性 导数及其应用 不等式等基础知识 考查推理论证能力 运算 求解能力等 考查函数与方程思想 化归与转化思想 分类与整合思想 数形结合思想等 满分 12 分 解 因为 2 分 1 ex a fxx x 0 x 依题意得 即 解得 3 分 1 0 f 2e0a 2ea 12 所以 显然在单调递增且 2e 1 exfxx x fx 0 1 0 f 故当时 当时 0 1x 0fx 1 x 0fx 所以的递减区间为 递增区间为 5 分 f x 0 1 1 当时 由 知 当时 取得最小值 0b 1x f xe 又的最大值为 故 7 分 2 22b xx b 2 22f xb xx 当时 设 0eb 2 e2eln22 x g xxxb xx 所以 8 分 2e 1 e21 x g xxb x x 令 2e 1 e21 x h xxb x x 0 x 则 2 2e 2 e2 x h xxb x 当时 所以 9 分 0 1x 2 2e 20b x 2 e0 x x 0h x 当时 所以 10 分 1 x 2 e20 x xb 2 2e 0 x 0h x 所以当时 故在上单调递增 0 x 0h x h x 0 又 所以当时 10h 0 1x 0gx 当时 1 x 0gx 所以在上单调递减 在上单调递增 g x 0 1 1 所以当时 取得最小值 1x g x 1 e0gb 所以 即 11 分 0g x 2 22f xb xx 综上 当时 12 分eb 2 22f xb xx 解法二 同解法一 设 2 e2eln22 x g xxxb xx 1 当时 eb 1 1 e2e2e x gxxx x 13 6 分 当时 所以 7 分01x 1 1 e2e 2 x xx x 0gx 所以在上单调递减 所以 即 g x 0 1 10g xg 2 e2elne22 x xxxx 8 分 当时 1x 令 1 1 e2e2e x M xg xxx x 则 2 2e 2 e2e3e2e0 x Mxx x 所以在上单调递增 9 分 M x 1 即在上单调递增 所以 gx 1 10gxg 所以在上单调递增 所以 g x 1 10g xg 即 2 e2elne22 x xxxx 故当时 恒成立 10 分0 x 2 e22f xxx 2 当时 因为 eb 2 2 22110 xxx 所以 11 分 22 e2222xxb xx 由 1 知 所以 2 e22f xxx 2 22f xb xx 综合 1 2 当时 12 分eb 2 22f xb xx 解法三 同解法一 5 分 设 则 ee x g xx ee x gx 令 得 6 分 ee 0 x gx 1x 当时 当时 0 1x 0gx 1 x 0gx 所以在上单调递减 在上单调递增 8 分 g x 0 1 1 所以 9 分 10g xg 14 所以 所以 即 10 分ee x x lnexx ln1xx 因为 2 2 e 22110bxxx 0 x 所以 222 e2elne2e1e2222 x f xxxxxxxb xx 12 分 请考生在第 请考生在第 22 23 24 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计 分 作答时请写清题号分 作答时请写清题号 22 选修 几何证明选讲4 1 本小题主要考查圆周角定理 相似三角形的判定与性质 切割线定理等基础知识 考查推理 论证能力 运算求解能力等 考查化归与转化思想等 满分 10 分 解法一 连结 因为四点共圆 则 2 分DE D C E GADEACG 又因为为 的两条中线 AD BEABC 所以分别是的中点 故 3 分 D E BC ACDEAB 所以 4 分BADADE 从而 5 分BADACG 因为为与的交点 GADBE 故为 的重心 延长交于 GABCCGABF 则为的中点 且 6 分FAB2CGGF 在 与 中 因为 AFCGFAFAGFCA AFGCFA 所以 7 分AFGCFA 所以 即 9 分 FAFG FCFA 2 FAFG FC 因为 1 2 FAAB 1 2 FGGC 3 2 FCGC 所以 即 22 13 44 ABGC 3ABGC 又 所以 10 分1GC 3AB 解法二 同解法一 5 分 由 知 BADACG 因为四点共圆 所以 6 分 D C E GADBCEG 15 所以 所以 7 分ABD CGE ABAD CGCE 由割线定理 9 分AG ADAE AC 又因为是的中线 所以是的重心 AD BEABC GABC 所以 又 2 3 AGAD 2 2ACAEEC 所以 所以 22 2 2 3 ADEC3 AD CE 所以 因为 所以 10 分3 AB CG 1CG 3AB 23 选修 坐标系与参数方程44 本小题考查直线的极坐标方程和参数方程 椭圆的参数方程等基础知识 考查运算求解能力 考查数形结合思想 化归与转化思想等 满分 10 分 解法一 由消去参数 得 3cos sin x y 2 2 1 9 x y 即的普通方程为 2 分C 2 2 1 9 x y 由 得 3 分sin2 4 sincos2 将