用表格法解决“高职统考”中的分段函数应用题论文

用表格法解决 高职统考 中的一次函数应用题 内容摘要 本文通过对近几年的湖北省 高职统考 数学应用题的分析 找寻一次函数的解题步骤和要 点 并提出用表格法解决一次函数应用题 该方法简单 明白 实用 且不易扣分 既易于老师讲解 也易于学生掌握 在中职生参加的 高职统考 中有一定的借鉴和实用价值 关键字 高职统考 表格 分段函数 一 一次函数应用题在 高职统考 中的地位 1 一次函数应用题符合 高职统考 大纲的要求 在高职统考 2 一次函数适合中职生的实际水平 3 一次函数在近几年 高职统考 中出现的频率 二 如何用表格法解决各类一函数应用题 一 分段函数应用题举例 分段函数应用题是近几年 高职统考 中常考的一种函数应用题的形式 它的题目往往比较新颖 和实际情况结合得较紧 对于 高职统考 有一定的区分度 但又没有超出学生的水平范畴 是近几年 考试的热点题型 1 例 1 2008 年湖北省高职统考第 20 题 为创建节能型城市 倡导合理使用有限的水资源 某市 对每户每月居民生活用水制定的收费标准如下 当用水不超过 4 吨时每吨为 1 5 元 当用水超过 4 吨 且不超过 8 吨时 超过部分为每吨 2 元 当用水超过 8 吨时 超过部分每吨为 3 元 求解下列问题 某户每月应交水费 y 元 与用水量 x 吨 之间的函数关系式 5 分 若甲 乙两户该月应交水费分别为 17 元和 10 元 则他们的用水量分别是多少 7 分 分析 根据题意 很明显该问题为分段函数应用题 针对分段函数应用题尝试可以采用表格法解决 根据题目的叙述 此函数为三段的分段函数 可以列一个四行的表格 如下表 1 用水量 范围x 未超过部 分水量 未超过 水费 超过水量超过水费应交水费 40 xxx5 100 x5 1 84 x445 1 4 x2 4 x 826 x 8 44 4245 1 8 x3 8 x 24314 x 解 每月应交水费 y 元 与用水量 x 吨 之间的函数关系式 8 103 8 4 22 4 0 5 1 xx xx xx xf 因为该分段函数在每段上都是一次单调递增函数 所以水费的范围为 如表 2 用水量 范围x 应交水费水费最小值水费最大值应交水费范围 40 xx5 10645 1 6 0 84 x22 x6242 14282 14 6 8 x103 x141083 14 根据题意 甲交水费 17 元 即 令得 14 17 17103 x9 x 乙交水费 10 元 即 令得 14 6 10 1022 x6 x 故甲户该月用水量为 9 吨 乙户用水量为 6 吨 2 用表格法解决分段函数应用题的步骤 用表格法解决分段函数应用题大致可以分为这样几个步骤 1 找准函数自变量可分为那几段 x 2 找准函数是由哪几部分构成 y 3 列表表示函数与的关系 yx 二 调运问题举例 调运问题 也是一次函数中的常见题型 该题型阅读量大 数据多 对中等职业学校学生有一定的 难度 在去年的高职高专的考试中 本题是得分率最低的一道题 但是 在 调运问题 中 如果使用 表格分析 将会事半功倍 1 例 2 2010 年湖北省高职统考第 19 题 某设备由甲厂生产 10 台 由乙厂生产 6 台 现将这 16 台设 备销售给 A 地与 B 地各 8 台 其运输费用如下表所示 单位 元 台 销售地 运费 厂家 AB 甲400500 乙200400 I 若甲厂生产的设备销售给 A 地 8 台 则销售这 16 台设备的总运费为多少 3 分 II 设甲厂生产的该设备销售给 A 地台 求销售这 16 台设备的总运费关于的函数关系式 5xx 分 III 求销售这 16 台设备的总运费最低的销售方案及最低的总运费 4 分 解 I 根据题意 调运销量见下表 1 销售地 销量 厂家 AB总和 甲8 2 10 乙 0 6 6 总和8816 显然 问题 I 就是完成表 1 接着 将表 1 和题目表格中的运输费用对应相乘再相加即可 所以 销售 16 台设备的总运费为 元 6600640025008400 II 根据题意 将调运销量表中的数字更换成字母的表达式 见表 2 x 销售地 销量 厂家 AB总和 甲xx 1010 乙x 8 2 8 6 xx 6 总和8816 填表原则 保证横向和与纵向和满足题意 然后 将表 2 和题目表格中的运输费用对应相乘再相加 销售这 16 台设备的总运费关于的函数关系式yx 2 400 8 200 10 500400 xxxxy 即 自变量满足的范围就是表格 2 中的每一个所填的数字均属于自然数集5800100 xyx 故 所以函数的定义域为Nx x x x x 02 08 010 0 xNxx 82 因此 销售这 16 台设备的总运费关于的函数关系式 yx5800100 xy x xNxx 82 III 由于函数在范围内是单调递增函数 所以当时 总运费5800100 xyNxx 822 x 用最低 最低为元 销售方案见表 3 600058002100 y 销售地 销量 厂家 AB总和 甲2 8 10 乙 6 0 6 总和8816 即 销售方案为 甲厂的设备销售给 A 地 2 台 销售给 B 地 8 台 乙厂的设备销售给 A 地 6 台 2 用表格法解决调运问题的步骤 1 根据题目意思 列调运表 2 弄清最右侧与最下边的总和值 3 填入一个已知的数据或字母 4 推导出其他几个空挡处的数 或字母 5 根据题意将表格中的数据对应相乘其单位运费再求和即可 三 方案选择问题举例 方案选择问题多和经济挂钩 这对于中职生来讲 比较贴合他们的实际情况 有一定的实际意义 所以 近几年的高职高专的真题和模拟题中也频繁出现此类试题 比如 2009 年高职高专的第 19 题 以及 2011 年高职高专的元月全省联考试题的第 19 题都是此类问题 1 例 3 2009 年湖北省高职统考第 19 题 某公司急需将一批不易存放的水果从甲地运往乙地 有 汽车 火车 飞机这三种运输工具可供选择 其主要参考数据如下 运输工具 途中速度 千米 小时 途中费用 元 千米 装卸时间 小时 装卸费用 元 汽车75821000 火车1205 531500 飞机500141 51150 若这批水果在运输过程 含装卸时间 中的损耗为 300 元 小时 解答下列问题 若分别用汽车 火车 飞机运输 在运输过程中的费用 含损耗费用 依次为 单 321 yyy 位 元 求它们与甲 乙两地的距离 x 单位 千米 之间的函数关系式 6 分 要使运输过程中的费用最小 采用哪种运输工具较好 7 分 分析 分析本题表格中的条件和题意 可以列出下列关系式图为 小时 元单位损耗 固定 样 每一种运输工具不一装卸时间 已知 固定 距离 一种运输工具不一样 速度 已知 固定 每 途中时间 时间 运输中的损耗费 距离 一样 定 每一种运输工具不每千米运费 已知 固 途中运费 每一种运输工具不一样装卸费 已知 固定 运输费用 300 x x y 因此 可以列表 1 途中费用 元 运输过程中的损耗费用 元 时间 运输 工具 装卸费 用 元 途中费 用 元 千米 距离 千米 距离 千米 速度 千米 小时 途中时间 小时 装卸时间 小时 运输总 费用 元 汽车10008xx75 75 x 2 1 y 火车15005 5xx120 120 x 3 2 y 飞机115014xx500 500 x 1 5 单位 损耗 300 元 小 时 3 y 根据表 1 可以很清楚的看出运输过程中的总费用是由那些部分构成的 而它们有和那些量有关 解 依题意 得 0 160012300 2 75 81000 1 xx x xy 0 24008300 3 120 5 51500 2 xx x xy 0 1600 6 14300 5 1 500 141150 3 xx x xy 因为 所以0 x 21 1600 6 14160012yxxy 因此 无论甲 乙两地的距离 x 为何值 选择汽车总比飞机便宜 因此只用比较是选择汽车还是选择 火车便宜 根据表 1 在列表比较汽车与火车那个便宜 见表 2 运输 工具 总费用函数 元 临界点路程范围x费用比较选择方案 汽车 0 160012 1 xxy 200 0 x 21 yy 汽车 200 x 21 yy 汽车或火车 火车 0 24008 2 xxy 令 21 yy 得 200 x 200 x 21 yy 火车 2 用表格法解决方案选择问题的步骤 1 根据题目意思 找出函数和那些量有关 那些是变量 那些是不变量 变量又和那些因素有y 关 2 列出关系试图 层层探究 直到全部是不变量或这是题目已知的数据为止 3 根据关系试图列表格 将每种不同的选择分行 将有关的因素分为列 4 填表 将数据和字母表示代入即可 5 根据题意 列出每一种情况的函数表达式 6 选择方案时也可以列表比较 根据