章建跃“点到直线的距离公式”的认知分析和教学设计

点到直线的距离公式点到直线的距离公式 的认知分析和教学设计的认知分析和教学设计 点到直线的距离公式点到直线的距离公式 是解析几何中的重要公式 是解析几何中的重要公式 这个内容的认知过程分析以及由此而进行的教学设计 可这个内容的认知过程分析以及由此而进行的教学设计 可 以成为数学教师日常教学工作的一个范例 以成为数学教师日常教学工作的一个范例 一 认知分析 一 认知分析 1 1 涉及的陈述性知识 涉及的陈述性知识 1 关于关于 点点 坐标 坐标 P0 x0 y0 直角坐标系 直角坐标系 2 关于关于 直线直线 直线方程 各种变式 直线方程 各种变式 3 关于关于 距离距离 距离的定义 垂足 距离的定义 垂足 交点交点 垂垂 线 点斜式 线 点斜式 相互垂直的两条直线的斜率关相互垂直的两条直线的斜率关 系 系 2 2 涉及的程序性知识 涉及的程序性知识 1 直角坐标系的选择 直角坐标系的选择 2 直线方程的选择 直线方程的选择 3 距离的定义方法 距离的定义方法 最短最短 属数学思想方法 但 属数学思想方法 但 可以自动化 可以自动化 4 垂线方程表示方式的选择 垂线方程表示方式的选择 5 转化转化 的策略 的策略 6 求简求简 的策略 的策略 上述程序性知识中 上述程序性知识中 选择选择 一般具有策略性知识的特一般具有策略性知识的特 性 要根据具体情景来作出决策 但总的来说 性 要根据具体情景来作出决策 但总的来说 把选择的把选择的 机会让给学生机会让给学生 而不是而不是 告诉学生如何选择告诉学生如何选择 是策略性知 是策略性知 识教学的一个基本原则 教师只要追问识教学的一个基本原则 教师只要追问 你是怎么想到的 你是怎么想到的 还可以怎么做 还可以怎么做 即可 即可 3 3 认知过程分析 认知过程分析 1 常规思路 常规思路 基于点到直线的距离定义所给定的几何要素 利用基于点到直线的距离定义所给定的几何要素 利用 垂线垂线 求交点 再用两点间的距离公式 求交点 再用两点间的距离公式 转化转化 的策的策 略 略 于是 先求 于是 先求 垂线垂线 自然想到用 自然想到用 相互垂直的两条相互垂直的两条 直线的斜率关系直线的斜率关系 求出斜率 再用求出斜率 再用 点斜式点斜式 写出直线方写出直线方 程 再解方程组获得交点坐标 这一思路的特点 自然 程 再解方程组获得交点坐标 这一思路的特点 自然 思想方法思想方法 大众化大众化 很少涉及策略性知识 可以程序化 很少涉及策略性知识 可以程序化 但解方程组的操作过程复杂 需要熟练的代数变形技能 但解方程组的操作过程复杂 需要熟练的代数变形技能 有人认为 由于这个思路大家都能够想到 没有什么有人认为 由于这个思路大家都能够想到 没有什么 创造性创造性 因此教学中不需要强调 我认为 这一看法有 因此教学中不需要强调 我认为 这一看法有 偏颇 偏颇 常规思路常规思路 往往代表了往往代表了 通性通法通性通法 大巧若拙 大巧若拙 其中蕴含的智力价值应当引起重视 另外 方法的其中蕴含的智力价值应当引起重视 另外 方法的 繁繁 与与 简简 是可以相互转化的 而且 是可以相互转化的 而且 简简 是从是从 繁繁 中演中演 化出来的 化出来的 从知识之间的关系看 这个思路中所涉及的知识 与从知识之间的关系看 这个思路中所涉及的知识 与 点到直线的距离点到直线的距离 的联系比较直接 因此它们的提取和的联系比较直接 因此它们的提取和 应用都非常方便 这也是它比较容易被想到的原因 应用都非常方便 这也是它比较容易被想到的原因 2 由 由 求简求简 所引发的思考所引发的思考 一个新的认知过一个新的认知过 程 程 由于上述方法比较由于上述方法比较 繁繁 因此应当考虑如何 因此应当考虑如何 求简求简 实际上 实际上 求简求简 的过程是对问题及其解决方法的进一步的过程是对问题及其解决方法的进一步 探究 涉及对问题中各种因素之间关系 相关概念之间的探究 涉及对问题中各种因素之间关系 相关概念之间的 联系方式的进一步认识 这是一个搞清问题的整体结构 联系方式的进一步认识 这是一个搞清问题的整体结构 寻找不同概念之间联系的最简捷通道的过程 从下面的分寻找不同概念之间联系的最简捷通道的过程 从下面的分 析不难看到 析不难看到 不同求解方法的实质是知识的不同联系方不同求解方法的实质是知识的不同联系方 式 不同思惟倾向的学生 可能采取不同的式 不同思惟倾向的学生 可能采取不同的 求简求简 策略 策略 而能否而能否 想到新方法想到新方法 的决定性因素是对相关概念及其蕴的决定性因素是对相关概念及其蕴 含的思想方法的熟悉程度 含的思想方法的熟悉程度 代数运算过程的简化代数运算过程的简化 从反思已有过程入手 从反思已有过程入手 由于已有解法的代数变形过程较繁 因此考虑是否能由于已有解法的代数变形过程较繁 因此考虑是否能 简化运算过程 从整个变形过程看 其中有许多简化运算过程 从整个变形过程看 其中有许多 无用功无用功 原因是整个运算过程非常机械 没有做到原因是整个运算过程非常机械 没有做到 瞻前顾后瞻前顾后 考 考 察已有运算过程可以发现 分别从整体上考虑察已有运算过程可以发现 分别从整体上考虑 x1 x0 y1 y0 可以得到以下简化思路 可以得到以下简化思路 设设 P x1 y1 是垂足 则有 是垂足 则有 0 0 0011 11 BxAyAyBx CByAx 于是有 于是有 0 1010 001010 yyAxxB CByAxyyBxxA 再推导再推导 距离公式距离公式 就比较容易了 就比较容易了 在上述过程中 通过分析已有运算过程 接通的是在上述过程中 通过分析已有运算过程 接通的是 垂足垂足 的意义 作为两条直线的交点 与距离的表达式的意义 作为两条直线的交点 与距离的表达式 之间的联系 而采取的策略是之间的联系 而采取的策略是 整体化整体化 2 10 2 10 yyxxd 由上述分析可见 要实现代数变形的由上述分析可见 要实现代数变形的 简化简化 关键是 关键是 要引导学生要引导学生 接通接通 垂足的意义与距离表达式 而所用的垂足的意义与距离表达式 而所用的 策略是策略是 整体化整体化 通常人们将它称为 通常人们将它称为 设而不求设而不求 这就 这就 是教学设计中应重点考虑的地方 显然 教师应引导学生是教学设计中应重点考虑的地方 显然 教师应引导学生 思考引起繁琐代数变形的原因 通过反思变形过程 从中思考引起繁琐代数变形的原因 通过反思变形过程 从中 获得获得 简化简化 的启发 并在垂足的意义与距离表达式之间的启发 并在垂足的意义与距离表达式之间 架设思惟桥梁 从而使学生体验到架设思惟桥梁 从而使学生体验到 整体化整体化 思想 思想 这里 这里 整体化整体化 设而不求设而不求 是一种策略 属于是一种策略 属于 术术 的范畴 但要注意它的来源的范畴 但要注意它的来源 感到化简过程繁琐 感到化简过程繁琐 求简求简 而反思解题过程 发现引起繁琐的原因而得到消除繁琐的而反思解题过程 发现引起繁琐的原因而得到消除繁琐的 策略 如果没有这个反思过程 就可能出现强加给学生一策略 如果没有这个反思过程 就可能出现强加给学生一 个个 设而不求设而不求 技巧的做法 技巧的做法 几何角度的考虑几何角度的考虑 从最简情形入手 这也是一种从最简情形入手 这也是一种 策略 策略 显然 最简单的是直线与坐标轴平行时的情形 显然 最简单的是直线与坐标轴平行时的情形 A CAx xxd A C xACAxlyxP 0 10100 0 0 B CBy yyd B C yBCBylyxP 0 10100 0 0 对于一般情形 如何利用对于一般情形 如何利用 最简最简 情形 也就是如何情形 也就是如何 将将 一般一般 化归为化归为 最简最简 特殊 如图 特殊 如图 1 过 过 P x0 y0 作平行于作平行于 x 轴或轴或 y 轴的直线 经考察可以发现 通过作轴的直线 经考察可以发现 通过作 x 轴轴 的平行线而实现的转化比较简单 的平行线而实现的转化比较简单 22 00 22 0 0 22 1010 222 sin cot1 1 sin cot BA CByAx BA A A CBy x BA A xxPPd BA A A B 在转化过程中 需要有在转化过程中 需要有 数形结合数形结合 的思想 用到了的思想 用到了 特殊特殊 一般一般 的策略 还要根据具体情况对问题解决的策略 还要根据具体情况对问题解决 的途径作出选择 另外 需要接通距离的不同表示 作为的途径作出选择 另外 需要接通距离的不同表示 作为 直角三角形的一条直角边 与三角函数建立联系 等 直角三角形的一条直角边 与三角函数建立联系 等 教科书提供的方法是利用同一直角三角形面积的不同教科书提供的方法是利用同一直角三角形面积的不同 表示 把所求的表示 把所求的 距离距离 看成是直角三角形底边上的高 看成是直角三角形底边上的高 利用直角三角形的三边长表示出距离 实际上 这里 包利用直角三角形的三边长表示出距离 实际上 这里 包 含有一般的程序性知识 一种转化的思想 用已知表示未含有一般的程序性知识 一种转化的思想 用已知表示未 知的思想 知的思想 由上所述 从几何角度考虑 要实现由上所述 从几何角度考虑 要实现 简化简化 主要是 主要是 利用平行于坐标轴的线段长来表示点到直线的距离 通过利用平行于坐标轴的线段长来表示点到直线的距离 通过 特殊与一般之间的关系实现转化 而在转化过程中又要接特殊与一般之间的关系实现转化 而在转化过程中又要接 通三角函数的有关知识 使距离的表示更加简单 这样 通三角函数的有关知识 使距离的表示更加简单 这样 y 000 yxP 111 yxP O x 图 1 在进行教学设计时 教师应当利用在进行教学设计时 教师应当利用 数形结合数形结合 思想 在思想 在 如何用相关元素表示如何用相关元素表示 距离距离 上进行引导 并在接通三角上进行引导 并在接通三角 函数的有关知识上加以点拨 函数的有关知识上加以点拨 当然 还可以有其他转化的方法 例如当然 还可以有其他转化的方法 例如 向量法向量法 求求 函数最小值法函数最小值法 面积法面积法 等 这里不一一赘述 等 这里不一一赘述 二 教学设计 二 教学设计 问题系列引导的数学探究 问题系列引导的数学探究 问题问题 1 1 点到直线的距离点到直线的距离 的定义是什么 从这一定的定义是什么 从这一定 义出发 你认为应如何求义出发 你认为应如何求 点到直线的距离公式点到直线的距离公式 设计意图 体现设计意图 体现 先用平面几何眼光观察 再用坐标先用平面几何眼光观察 再用坐标 法解决法解决 的思路 强调从定义出发思考问题 的思路 强调从定义出发思考问题 估计学生能够从定义出发 得到 设已知点为估计学生能够从定义出发 得到 设已知点为 P0 x0 y0 已知直线为已知直线为 l Ax By C 0 过点 过点 P0且垂直于直线且垂直于直线 l 的直线的直线 方程为方程为 l y y0 x x0 解方程组 解方程组 A B 0 00 xx A B yy CByAx 可得交点坐标为可得交点坐标为 P1 x1 y1 于是有点 于是有点 P0 x0 y0 到直线到直线 l 的的 距离为距离为 d P1P0 2 10 2 10 yyxxd 问题问题 2 2 上述思路非常自然 请大家照此思路动手推导上述思路非常自然 请大家照此思路动手推导 出公式 推导过程中要详细留下每一个步骤 请两位学生出公式 推导过程中要详细留下每一个步骤 请两位学生 板演 板演 设计意图 思路自然但代数变形过程复杂 让学生动设计意图 思路自然但代数变形过程复杂 让学生动 手推导 体验一下复杂性 可以激发寻找简便方法的冲手推导 体验一下复杂性 可以激发寻找简便方法的冲 动 另外 留下详细步骤是为了后续分析引起复杂变形的动 另外 留下详细步骤是为了后续分析引起复杂变形的 原因 找到原因 找到 化简化简 思路做准备 让学生板演可以方便地思路做准备 让学生板演可以方便地 观察学生的思考 变形过程 为后续教学提供依据 观察学生的思考 变形过程 为后续教学提供依据 估计有些学生不能推出公式 有些学生能推出公估计有些学生不能推出公式 有些学生能推出公 式 可以让这两类学生的代表谈谈体会 式 可以让这两类学生的代表谈谈体会 问题问题 3 3 从上述推导过程出发 请同学们分析一下引起从上述推导过程出发 请同学们分析一下引起 繁琐的代数变形的原因 重点分析哪些步骤是可以简化繁琐的代数变形的原因 重点分析哪些步骤是可以简化 的 的 设计意图 引导学生从代数变形角度反思 希望学生设计意图 引导学生从代数变形角度反思 希望学生 能够观察到 具体求出垂足能够观察到 具体求出垂足 P1 x1 y1 的坐标是引起复杂运的坐标是引起复杂运 算的原因 而从整体上考虑算的原因 而从整体上考虑 x1 x0 y1 y0 可以使代 可以使代 数变形过程大大简化 数变形过程大大简化 问题问题 4 4 上面从简化代数变形的角度得到了一个简便方上面从简化代数变形的角度得到了一个简便方 法 现在再回到几何图形上看 你能说说法 现在再回到几何图形上看 你能说说 x1 x0 y1 y0 的的 几何意义吗 由此你有什么新的想法 几何意义吗 由此你有什么新的想法 设计意图 通过分析设计意图 通过分析 x1 x0 y1 y0 的几何意义 得的几何意义 得 到到 作作 x 轴 轴 y 轴的平行线 构造直角三角形求距离轴的平行线 构造直角三角形求距离 的思的思 路启发 路启发 问题问题 5 5 从上述分析可知 通过从上述分析可知 通过 P0 x0 y0 P1 x1 y1 作坐标轴的垂线 构造直角三角形 可以比较方便地得到作坐标轴的垂线 构造直角三角形 可以比较方便地得到 点到直线的距离的表达式 你能构造别的直角三角形 给点到直线的距离的表达式 你能构造别的直角三角形 给 出更方便的方法吗 出更方便的方法吗 设计意图 通过概括思路 明确方法的设计意图 通过概括思路 明确方法的 要点 并引导学生提取更多的平面几何 三要点 并引导学生提取更多的平面几何 三 角函数的相关知识 得到更简便的方法 角函数的相关知识 得到更简便的方法 估计有部分学生可以得到 如图估计有部分学生可以得到 如图 2 过 过 P0作作 P0M y 轴 轴 P0P1 l 那么 那么 P0M