几何证明中的几种技巧(教师用)

1 几何证明中的几种技巧 一 角平分线 轴对称 已知在 ABC 中 为 的中点 平分 BAC BD AD 于 求 的长 C B A D E C B A D E F 分析 延长 交 于 可得 ABD AFD 则 又 即 为 BCF 的中 位线 11 2 22 DEFCACAB 已知在 ABC 中 108A 平分 ABC 求证 D A B C D A B C E 分析 在 上截取 连接 可得 BAD BED 由已知可得 18ABDDBE 108ABED 36CABC 72DECEDC 已知在 ABC 中 100A 平分 ABC 求证 A B C D A B C D EF 分析 在 上分别截取 易证 ABD EBD 100ABED 由已知可得 40C 20DBF 由 80BFD 由三角形外角性质可得 40CDFC 100BED 80BFDDEF 2 4 已知在 ABC 中 AC BC CE AB 平分 CAB 过 作 交 于 求 证 A C B E F D A C B E F D G 分析 延长 交 于 易证 AGF AEF 则易证 GFC EFD 如图 所示 和 分别是 ABCA 的外角平分线 过点 作 于 于 延长 及 与 相交 连接 求证 1 2 FGABBCCA 若 a 与 分别是 ABCA 的内角平分线 如图 b 是 ABC 的内角平分线 是 ABC 的外角平分线 如图 则在图 与图 两种情况下 线段 与 ABC 的三边又有怎样的数量关系 请写出你的猜想 并对其中的一种情况给予证明 G F A B C ED H I F G A B C D E I H GF A B C D E I H 图 图 图 分析 图 中易证 ABF IBF 及 ACG HCG 有 及 为 AIH 的中位线 1 2 FGABBCCA 同理可得图 中 1 2 FGABCABC 图 中 1 2 FGBCCAAB 如图 ABC 中 是 边上的中点 于 交 BAC 的平分线 于 过 作 于 作 于 求证 A B C E D N M C B A E D N M 分析 连接 与 垂直平分 易证 AMD AND 3 有 BMD CND 如图 在 ABC 中 2BC 平分 BAC 求证 A B C D A B C D E 分析 在 上截取 连接 则有 ABD AED BAEDCEDC 又 2BC CEDC 在四边形 中 平分 BAD 过 作 于 且 1 2 AEABAD 求 ABCADC 的度数 C A EB D C A EB D F 分析 延长 到 使得 则有 垂直平分 FCAEDAC 有 CBF CDA CBFD 180ABCADC 2 旋转 如图 已知在正方形 中 在 上 在 上 求证 45EAF B DA C F E B DA CG F E 分析 将 ADF 绕 顺时针旋转90 得 ABGA GABFAD 易证 AGE AFE 1 45 2 FAEGAEFAG 如图 在 ABCA 中 90ACB 为 中点 的延长线上任意一点 4 交 延长线于 求证 A B C F E D A B C F E D 分析 连接 则 BDEA 可视为 CDFA 绕 顺时针旋转90 所得 易证 与 则 BDECDF 又易证 135DBEDCF BDE CDF 如图 点 在 ABC 外部 在边 上 交 于 若 123 求证 ABC ADE 2 1 3 E D C B A 分析 若 ABC ADE 则 ADE 可视为 ABC 绕 逆时针旋转 1 所得 则有 BADE 12BADE 且 12 BADE 又 13 BACDAE 再 ABC ADE 如图 ABC 与 EDC 均为等腰直角三角形 且 在 上 的延长线交 于 请你在图中 找出一对全等三角形 并写出证明过程 A E C B D F 分析 将 Rt BCD 视为 Rt ACE 绕 顺时针旋转90 即可 如图 点 为正方形 的边 上一点 点 为 的延长线上的一点 且 求 证 5 B D A C F E 分析 将 ABF 视为 ADE 绕 顺时针旋转90 即可 90FABBAEEADBAE FBAEDA 又 90FBAEDA ABF ADE 3 平移 如图 在梯形 中 求梯形 的中位线长 A C B D A C B D E 分析 延长 到 使得 连接 可得 ACEBA 可视为将 平移到 平移 到 由勾股定理可得 梯形 中位线长为 已知在 ABC 中 为 上一点 为 延长线一点 且 求证 M A B C E D M A B C E D F 分析 作 交 于 易证 则 可视为 平移所得 四边形 为 DCEFA 6 4 中点的联想 1 倍长 已知 为 ABCA 的中线 求证 D B C A D E B C A 分析 延长 到 使得 连接 易证 BDE CDA 如图 为 ABC 的角平分线且 求证 D B A C D B A C E 分析 延长 到 使得 易证 ABD ECD BADCAD ECAD 已知在等边三角形 中 和 分别为 与 上的点 且 连接 与 交 于点 作 于 求证 D P C B A E Q D P C B A F E Q 分析 延长 到 使得 在等边三角形 中 60ABDC 又 ABD BCE CBEBAD 60BPQPBAPABPBADBP 易证 BPQ BFQ 得 又 60BPD BPF 为等边三角形 7 2 中位线 已知在梯形 中 和 分别为 与 的中点 求证 1 2 EFBCAD C A D B E F C A D B E F G 分析 取 中点 连接 与 则 为 BCD 中位线 为 ACD 的中位线 1 2 BC 1 2 AD 过一点 有且只有一条直线平行于已知直线 即 共线 1 2 EFBCAD 3 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 已知 在 ABCDA 中 1 2 ABBD 为 的中点 为 中点 为 中点 求证 O C D B A EF G O C D B A EF G 分析 连接 E 1 2 ABBD 1 2 EGBC 又 为 AOD 的中位线 1 2 EFAD 在 ABC 中 是高 是中线 于 求证 2BBCE 8 E C D G A B E C D G A B 分析 连接 则有 Rt CDG Rt EDG BBDEDECBCE DECBCE 2BBCE 已知 在等腰梯形 中 60BOC 分别是 的中点 求证 EFG 是等边三角形 C O B DA E F G C O B DA E F G 分析 连接 易证 AOD 与 BOC 均为正三角形 由已知可得 1 2 EFAB 在 Rt CDE 与 Rt CDF 中 有 1 2 FGEGDC 即 EFGA 是等边三角形 6 等面积法 已知在 ABC 中 90BAC 于 求 的长 A BCD 分析 11 22 ABCSAB ACBC AD AAA 9 已知 为矩形 中 上的动点 不与 或 重合 于 于 ABa BC b 问 的值是否为一定值 若是 求出此值并证明 若不是 说明理由 O A B C D P E F O A B C D P E F 分析 连接 易得 APCAPBSS AA 1 2 APCAPBABDSSSab AAA 又 22 1 2 APCSPEab AA 22 1 2 DPBSPFab AA 22 ab PEPF ab 已知在矩形 中 于 于 求证 在 DOG 的平