概率论与数理统计第一章ppt课件.ppt

概率统计 概率论与数理统计 第一章 1 第一节随机试验 第二节样本空间 随机事件 第三节频率与概率 第四节等可能概型 古典概型 第五节条件概率 第一章概率论的基本概念 第六节独立性 第一章 2 第一章概率论的基本概念 确定性现象 统计规律性 随机现象 在一定条件下必然发生的现象 在个别试验中其结果呈现出不确定性 在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象 Section1 1 随机试验 第一节随机试验 随机试验 简称试验 试验可在相同的条件下重复进行 满足以下三个特点的试验称为 每次试验的可能结果不止一个 但所有的可能 结果是明确可知的 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现 Section2 1 第二节样本空间 随机事件 随机试验E的所有可能结果所组成的集合称为 试验E的样本空间 记为S或 样本空间的元素 即E的每一个结果称为样本点 一 样本空间 例1 抛一枚硬币 观察正面 反面出现的情况 H T 例2 将一枚硬币抛掷三次 观察正反面出现的情况 HHH HHT HTH HTT THH THT TTH TTT Section2 1 1 例3 将一枚硬币抛掷三次 观察正面出现的次数 0 1 2 3 例4 抛一颗骰子 观察出现的点数 1 2 3 4 5 6 例5 观察某天通过某路口的汽车的数目 0 1 2 3 例6 在区间 0 1 上任取一数 观察所取到的数 x 0 x 1 Section2 2 试验E的样本空间 的子集 或试验E的满足某 些条件的可能结果的集合 称为E的随机事件 简称 事件 二 随机事件 在每次试验中 当且仅当事件中的一个样本点 出现时 称这个事件发生 基本事件 由一个样本点组成的单点集 必然事件 样本空间 即每次试验一定发生的事件 不可能事件 空集 即每次试验一定不发生的事件 Section2 2 1 随机事件与集合 样本空间 全集 样本点 中的元素 随机事件A 由具有某些 特性的样本点 所组成的样本 空间 的一个子集 即A A Section2 2 2 例7 将一颗骰子抛掷若干次 直到掷出的点数之 和超过2为止 写出样本空间与事件 A 恰好抛掷骰子一次 解 3 4 5 6 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 111 112 113 114 115 116 A 3 4 5 6 Section2 3 1 包含 含义 事件A发生必然导致事件B发生 三 事件间的关系与事件的运算 若A B 则称事件B包含事件A 若A B且B A 则称事件A与事件B相等 记作A B Section2 3 1 事件A B发生 事件B的和事件或并事件 2 和 并 含义 当且仅当事件A B中至少有一个发生时 事件A B A或 B 称为事件A与 称为n个事件的和事件 称为可列个事件的和事件 Section2 3 2 事件A B发生 事件B的积事件或交事件 3 积 交 含义 当且仅当事件A与事件B同时发生时 事件A B A且 B 称为事件A与 称为n个事件的积事件 称为可列个事件的积事件 Section2 3 3 事件A B发生 4 差 含义 当且仅当事件A发生 事件B不发生时 事件B的差事件 事件A B A且 B 称为事件A与 Section2 3 4 5 互不相容 互斥 含义 事件A与事件B不能同时发生 互不相容的 或互斥的 若A B 则称事件A与事件B是 可列个 有限个 事件两两互不相容 Section2 3 5 6 对立 互逆 含义 在每次试验中 事件A与事件B必有一个 互为对立事件或互为逆事件 若A B 且A B 则称事件A与事件B 发生 且仅有一个发生 事件A的对立事件记作 注意 A B Section2 3 6 例1 将一颗骰子抛掷两次 观察掷出的点数 令A 两次掷出的点数相同 B 点数之和为10 C 最小点数为4 写出该试验的样本空间 用样本点表示事件A B C以及A B ABC A C C A A BC 解 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66 Section2 3 6 1 A 11 22 33 44 55 66 B 46 55 64 C 44 45 46 54 64 A B 11 22 33 44 55 66 46 64 ABC A C 11 22 33 55 66 C A 45 46 54 64 A BC 11 22 33 44 55 66 46 64 Section2 4 2 交换律 A B B A A B B A 四 事件运算的性质 3 结合律 A B C A B C A B C A B C 4 分配律 A B C A B A C A B C A B A C 1 吸收律 若A B 则A B A A B B 交取小 并取大 Section2 4 1 6 双重否定律 差积转换公式 直和分解公式 将一事件分解为若干个互不相 5 德 摩根律 其它的重要性质 容事件之和 Section2 4 2 例2 设A B C为三个事件 试用A B C表示 下列事件 A B中A发生 只有A发生 A B C中至少有一个发生 恰好有一个发生 A B C中至少有两个发生 恰好有两个发生 A B C中最多有一个发生 A B C都发生 都不发生 不都发生 A B中至少有一个发生 但C不发生 解 A A B C Section2 4 2 1 AB BC AC Section2 4 3 第2次出现正面 只有第2次出现正面 第2次才出现正面 正面出现2次 例3 将一枚硬币抛掷三次 设表示第i次出现 正面 i 1 2 3 试用表示下列事件 解 Section2 4 4 例4 设A B为两个任意事件 化简下列事件并 说明其含义 解 Section3 1 第三节频率与概率 定义在相同的条件下 进行n次试验 在这n次 一 频率 试验中 事件A发生的次数称为事件A发生的频数 比值称为事件A发生的频率 记作 频率具有以下性质 若是两两互不相容的事件 则 Section3 2 定义设试验E的样本空间为 对于E的任意 二 概率 一个事件A赋于一个实数P A 称为事件A的概率 如果集合函数P 满足以下三条公理 非负性 对于任意事件A 有P A 0 规范性 对于必然事件 有P 1 可列可加性 对任意两两互不相容的事件列 有 Section3 3 三 概率的基本性质 对于不可能事件 有P 0 设A B是两个事件 若A B 则有 的事件 则有 有限可加性 若是两两互不相容 对于任一事件A 有 注意 由P A 0不能推出A是不可能事件 Section3 3 1 加法公式 对于任意两事件A B有 求逆公式 对于任一事件A 有 减法公式 对于任意两事件A B有 Section3 3 2 直和公式 对于任意两事件A B有 Section4 1 第四节等可能概型 古典概型 设随机试验E的样本空间为 如果E满足 有限性 只包含有限个基本事件 则称试验E为等可能概型或古典概型 等可能性 每个基本事件发生的可能性相同 对于古典概型 事件A的概率为 Section4 2 例1 将一枚硬币抛掷三次 求下列事件的概率 恰好有一次出现正面 恰好有二次出现正面 至少有一次出现正面 解 HHH HHT HTH HTT THH THT TTH TTT Section4 3 1 加法原理 假设完成一件事情有n种不同的方式 而第i种 排列组合的基本知识 方式又有种不同的方法 则完成 这件事情共有种不同的方法 2 乘法原理 假设完成一件事情必须经过n个不同的步骤 而 第i个步骤又有种不同的方法 则 完成这件事情共有种不同的方法 Section4 3 1 3 排列 不允许重复的排列 从N个不同的元素中任 允许重复的排列 从N个不同的元素中有放回 取m m N 个进行排列 排列数为 地任取m个进行排列 排列数为 4 组合 不允许重复的组合 从N个不同的元素中任取 m m N 个进行组合 组合数为 Section4 4 例1 取球模型 设一袋中装有4个红球 5个白球 现按下列三种 方式从袋中任取3个球 求取出的球中有2个红球 1个白球的概率 一次取3个 一次取1个 取后不放回 一次取1个 取后放回 解 无序 有序 Section4 4 1 注意 有序与无序要统一 不放回地一次取一个 取n次 放回与不放回结果不同 与一次取n个结果相同 Section4 5 例2 抽签问题 设一袋中有10个球 其中白球2个 黑球8个 从中随机地逐一取球 取后不放回 求第8次取到白 球的概率 解 注意 抽签的结果与抽签的顺序无关 Section4 5 1 例如某商店有10件商品 其中有3件一等品 先后有2位顾客去购买这种商品 每人随机购买一件 求下列事件的概率 第1位顾客买到一等品 第2位顾客买到一等品 Section4 6 例3 取数问题 事件的概率 三个数字中不含0和5 三个数字中不含0或5 三个数字中含0但不含5 从0 9十个数字中任取3个不同数字 求下列 解 Section4 6 1 或者 Section4 7 例4 组数问题 从0 9十个数字中任取4个数字 求能排成一个 四位偶数的概率 解 Section4 8 例5 分配模型 将m个球随机地放入N m N 个盒子中 每个 盒子可放入任意多个球 试求下列事件的概率 某指定的m个盒子各有一个球 恰好有m个盒子各有一个球 某指定的k k m 个盒子各有一个球 某指定的一个盒子中恰好有k k m 个球 解 Section4 8 1 Section4 9 将3封信随机地投入到4个空邮筒中 求邮筒中 信的最大数量分别为1 2 3封的概率 对于分配问题 将m个不同的球随机地分配到 N个不同的盒子里 分配方案数为 每个盒子可容纳任意多个球 每个盒子最多可容纳一个球 类似的问题 生日问题 住房分配问题 乘客乘车 电梯 问题 Section4 10 例6 设事件A B C满足 则P AB C 解 由于 又 得 得 所以 Section4 11 例7 设事件A B仅发生一个的概率为0 3 且 P A P B 0 5 求A B至少有一个不发生的概率 解 由于 又 所以 得 Section4 12 解题思路 利用概率的性质与公式 利用公式求概率 解题方法 确定试验的基本事件的结构特征 计算基本事件总数与事件A包含的基本事件数 古典概型中事件概率求解的思路与方法 利用对立事件 直接计算基本事件数 将复杂事件分解为互斥事件之和 自放 引言 1 概率论研究起源于意大利文艺复兴时期 伽利略 的论文 论赌博 提出了概率论的基本原理 概率论的真正历史是从17世纪中叶开始的 其主 要奠基人 法国数学家帕斯卡尔 BlaisePascal 和 费马特 PierreFermat 将赌博中出现的具体问题归纳 为一般的概率原理 到18世纪 瑞士数学家J 贝努里 JakobBernoulli 全面论述了概率论原理并将概率论 建立在数学的基础上 到19世纪 开始利用概率论研究社会经济现象 形成以概率论为基础发展起来的以随机现象为主要研究 对象的数理统计 20世纪50年代以后 受计算机 自放 引言 2 信息论等现代科学技术的影响 统计理论 方法和应用 进入了一个全面发展的阶段 出现新的研究领域 多元统计分析 时间序列分析 贝叶斯统计 非参数 统计 线性统计模型等 随着统计方法应用领域的不断 扩展 几乎所有的科学研究都要用到统计学 统计学产生与发展的两条线索 政治算术 社会经济统计 人口统计 国民经济统计 物价指数 保险统计 卫生医疗统计 工农业统计等 概率论 数理统计 自放 事件表示 A B 事件A发生 同时事件B不发生 即 A B 事件A B至少有一个发生 AB 事件A B同时 都 发生 利用事件的运算表示事件 事件A发生 或者事件B发生 事件A不发生 Section5 1 第五节条件概率 的情况 设A表示 至少有一次出现正面 B表示 两次掷出同一面 引例将一枚硬币抛掷两次 观察正反面出现 试用集合表示 A B AB 并求P A P B P AB 一 条件概率 Section5 1 1 解 HH HT TH TT A HH HT TH B HH TT AB HH Section5 1 2 定义设A B是两个事件 且P A 0 称 为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率 条件概率具有概率的三个基本属性 非负性 对于任意事件B 有P B A 0 规范性 对于必然事件 有P A 1 可列可加性 对任意两两互不相容的事件列 有 Section5 1 3 理解 P AB P B A 与P B 之间的区别 P AB 表示事件A与B同时发生的概率 在计 算P AB 时 试验的所有可能结果所构成的集合为样本 P B A 表示在事件A发生的条件下事件B发 生的概率 在计算P B A 时 试验的所有可能结果所 空间 构成集合为A 在计算P B 时 试验的所有可能结果所构成的 集合为样本空间 Section5 2 乘法定理设P A 0 则有 二 乘法定理 推广设P AB 0 则有 Section5 2 1 例1 设某批产品中有a个合格品 b个废品 现 从中不放回地随机抽取两次 一次抽取一个 求下列 事件的概率 第一次抽到合格品 已知第一次抽到合格品 第二次抽到合格品 二次都抽到合格品 第二次才抽到合格品 第二次抽到合格品 Section5 2 1 1 解 设表示第i次抽到合格品 i 1 2 Section5 3 三 全概率公式和贝叶斯公式 为E的一组事件 若 定义设试验E的样本空间为 则称为 的一个划分 或完备事件组 若为 的一个划分 则对每次试验 事件中必有一个且仅有一个发生 Section5 3 1 定理设试验E的样本空间为 A为E的事件 有 为 的一个划分 且 称为全概率公式 若P A 0 则有 称为贝叶斯公式 或逆概公式 后验概率公式 Section5 3 2 适合全概与逆概公式求解的概型 从时间顺序 或逻辑关系 上看 试验可分为 两个阶段 或层次 进行 第一阶段的试验结果会 影响第二阶段某试验结果A的发生 第一阶段的所有 可能结果是已知的 但具体哪一个结果发生是未知的 若求P A 则利用全概公式 若已知A发生 求它是由第一阶段某结果 引起 或导致 的概率 则利用逆概公式 利用全概或逆概公式的关键 选取完备事件组 即确定第一阶段试验的所有可能结果 Section5 3 3 3个红球和3个白球 从袋中任取2个球放入盒中 然 后从盒中任取1个球 求这个球是白球的概率 例1 设盒中装有4个红球和2个白球 袋中装有 解 设A表示取到白球 表示从袋中取出的两 个球中有i个白球 i 0 1 2 Section5 3 4 产品 三个车间生产的产量分别占总产量的25 35 40 三个车间生产的次品率分别为5 4 2 现从该厂的所有产品中任取一件进行检验 如取到次品 求它是1号车间生产的概率 求取到次品的概率 解 设A表示取到次品 表示所取到的产品是 由第i号车间生产的 i 1 2 3 例2 设某工厂有1 2 3号三个车间生产同一种 Section5 3 4 1 Section6 1 第六节独立性 正反面出现的情况 设A表示 甲出现正面 B表示 乙出现正面 求P A P B P AB P B A 引例设试验E为 抛甲 乙两枚硬币 观察其 解 HH HT TH TT A HH HT B HH TH AB HH Section6 1 1 定理设A B是两事件 且P A 0 则 则称事件A与B相互独立 简称A B独立 定义设A B是两事件 如果满足等式 A与B相互独立 Section6 1 2 性质若事件A与B相互独立 则 概率为1或0的事件与任何事件相互独立 事件A与B相互独立 Section6 1 3 如果A B C满足条件 则称事件A B C 定义设A B C是三个事件 对于条件 两两独立 如果A B C满足条件 则称事 件A B C相互独立 若m n个事件相互独立 则事件与相互独立 后所得的事件 其中分别表示对其相应事件进行各种事件运算 Section6 1 4 元件 或系统 的可靠性 例1 一个元件 或系统 能正常工作的概率称为 如图所示 设有4个独立工 作的元件1 2 3 4按以下两种方式联接构成两个系统 设第i个元件的可靠性为 求两个系统的可靠性 系统1 系统2 Section6 1 5 解 系统1正常工作的概率p 设表示第i个元件正常工作 系统2正常工作的概率q Section总结 1 第一章总结 一 事件的关系 运算及概率的重要性质 1 2 Section总结 1 1 注意 互斥 互逆 独立三者之间的关系 若A与B互逆 则A与B互斥 反之不然 若A与B互斥 且相互独立 则事件A与B 中至少有一个概率为零 设0 P A 1 0 P B 1 若AB 或 A B 则A与B必不相互独立 3 若事件相互独立 则 Section总结 2 二 求事件概率的典型方法 利用条件概率与乘法公式 直接计算 取球模型 分配模型 利用对立事件 利用全概与逆概公式 利用概率的性质 公式及独立性 将事件分解为若干个互斥事件之和 Section总结 3 直接出厂 以概率0 3需进一步调试 经调试后以概率 0 8可以出厂 以概率0 2定为不合格品不能出厂 例1 假设一厂家生产的每台仪器以概率0 7可以 求该厂生产