二次函数(中考二次函数知识点总结)[1]

Comment l1 问当 m 为何值时 是二次 2 447 1 2 mm ymxxm 函数 Comment l2 给出过程 Comment l3 分别需要哪些信息可 以求得函数表达式 Comment l4 将转化 2 yaxbxc 为其它两式 Comment l5 画函数 图像 2 1yxx Comment l6 先画出图像 2 yx 探究其性质 Comment l7 先画出的图 2 32yx 像 1 第一部分 二次函数基础知识 相关概念及定义 二次函数的概念 一般地 形如 是常数 的函 2 yaxbxc abc 0a 数 叫做二次函数 这里需要强调 和一元二次方程类似 二次项系数 0a 而可以为零 二次函数的定义域是全体实数 bc 二次函数的结构特征 2 yaxbxc 等号左边是函数 右边是关于自变量的二次式 的最高次数是 2 xx 是常数 是二次项系数 是一次项系数 是常数项 abc abc 二次函数各种形式之间的变换 二次函数用配方法可化成 的形式 其中cbxaxy 2 khxay 2 a bac k a b h 4 4 2 2 二次函数由特殊到一般 可分为以下几种形式 2 axy kaxy 2 2 hxay khxay 2 cbxaxy 2 二次函数解析式的表示方法 一般式 为常数 2 yaxbxc abc0a 顶点式 为常数 2 ya xhk ahk0a 两根式 是抛物线与轴两交点的横坐标 12 ya xxxx 0a 1 x 2 xx 注意 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式 但并非所有的二次函数 都可以写成交点式 只有抛物线与轴有交点 即时 抛物线的解析式x 2 40bac 才可以用交点式表示 二次函数解析式的这三种形式可以互化 二次函数图象的画法 2 yaxbxc 五点绘图法 利用配方法将二次函数化为顶点式 2 yaxbxc 2 ya xhk 确定其开口方向 对称轴及顶点坐标 然后在对称轴两侧 左右对称地描点画图 一般我们选取的五点为 顶点 与轴的交点 以及关于对称轴对y 0c 0c 称的点 与轴的交点 若与轴没有交点 则取两组 2hc x 1 0 x 2 0 x x 关于对称轴对称的点 画草图时应抓住以下几点 开口方向 对称轴 顶点 与轴的交点 与轴的xy 交点 二次函数的性质 2 axy 二次函数的性质 2 yaxc 的符号 a 开口方向顶点坐标对称轴性质 0a 向上 00 轴 y 时 随的增大而增大 时 0 x y x0 x 随的增大而减小 时 有最小值 y x0 x y 0 0a 向下 00 轴 y 时 随的增大而减小 时 0 x y x0 x 随的增大而增大 时 有最大值 y x0 x y 0 的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质 0a 向上 0c 轴y 时 随的增大而增大 时 0 x yx0 x 随的增大而减小 时 有最小值yx0 x y c Comment l8 先画出的图 2 1yx 像 Comment l9 的图像 2 11yx Comment l10 大的开口大还是小 a Comment l11 自己验证 2 二次函数的性质 2 ya xh 二次函数的性质 2 ya xhk 抛物线的三要素 开口方向 对称轴 顶点 2 yaxbxc 的符号决定抛物线的开口方向 当时 开口向上 当时 开口向a0 a0 a 下 相等 抛物线的开口大小 形状相同 a 对称轴 平行于轴 或重合 的直线记作 特别地 轴记作直线y 2 b x a y 0 x 顶点坐标 a bac a b 4 4 2 2 顶点决定抛物线的位置 几个不同的二次函数 如果二次项系数相同 那么抛a 物线的开口方向 开口大小完全相同 只是顶点的位置不同 抛物线中 与函数图像的关系cbxaxy 2 cba 二次项系数a 二次函数中 作为二次项系数 显然 2 yaxbxc a0a 当时 抛物线开口向上 越大 开口越小 反之的值越小 开口越大 0a aa 当时 抛物线开口向下 越小 开口越小 反之的值越大 开口越大 0a aa 总结起来 决定了抛物线开口的大小和方向 的正负决定开口方向 的大小决aaa 定开口的大小 一次项系数b 在二次项系数确定的前提下 决定了抛物线的对称轴 ab 在的前提下 0a 当时 即抛物线的对称轴在轴左侧 0b 0 2 b a y 当时 即抛物线的对称轴就是轴 0b 0 2 b a y 0a 向下 0c 轴y 时 随的增大而减小 时 0 x yx0 x 随的增大而增大 时 有最大值yx0 x y c 的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质 0a 向上 0h X h 时 随的增大而增大 时 xh yxxh 随的增大而减小 时 有最小值yxxh y 0 0a 向下 0h X h 时 随的增大而减小 时 xh yxxh 随的增大而增大 时 有最大值yxxh y 0 的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质 0a 向上 hk X h 时 随的增大而增大 时 xh yxxh 随的增大而减小 时 有最小值yxxh y k 0a 向下 hk X h 时 随的增大而减小 时 xh yxxh 随的增大而增大 时 有最大值yxxh y k Comment l12 用三种方法分别求 的顶点和对称轴 2 1yxx 3 当时 即抛物线对称轴在轴的右侧 0b 0 2 b a y 在的前提下 结论刚好与上述相反 即0a 当时 即抛物线的对称轴在轴右侧 0b 0 2 b a y 当时 即抛物线的对称轴就是轴 0b 0 2 b a y 当时 即抛物线对称轴在轴的左侧 0b 0 2 b a y 总结起来 在确定的前提下 决定了抛物线对称轴的位置 ab 总结 常数项c 当时 抛物线与轴的交点在轴上方 即抛物线与轴交点的纵坐标为正 0c yxy 当时 抛物线与轴的交点为坐标原点 即抛物线与轴交点的纵坐标为 0c yy0 当时 抛物线与轴的交点在轴下方 即抛物线与轴交点的纵坐标为0c yxy 负 总结起来 决定了抛物线与轴交点的位置 cy 总之 只要都确定 那么这条抛物线就是唯一确定的 abc 求抛物线的顶点 对称轴的方法 公式法 顶点是 a bac a b xacbxaxy 4 4 2 2 2 2 对称轴是直线 a bac a b 4 4 2 2 a b x 2 配方法 运用配方的方法 将抛物线的解析式化为的形式 得 khxay 2 到顶点为 对称轴是直线 h khx 运用抛物线的对称性 由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形 所以对称轴的 连线的垂直平分线是抛物线的对称轴 对称轴与抛物线的交点是顶点 用配方法求得的顶点 再用公式法或对称性进行验证 才能做到万无一失 用待定系数法求二次函数的解析式 一般式 已知图像上三点或三对 的值 通常选择一般式 cbxaxy 2 xy 顶点式 已知图像的顶点或对称轴 通常选择顶点式 khxay 2 交点式 已知图像与轴的交点坐标 通常选用交点式 x 1 x 2 x 21 xxxxay 直线与抛物线的交点 轴与抛物线得交点为 0 ycbxaxy 2 c 与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点 yhx cbxaxy 2 h cbhah 2 抛物线与轴的交点 二次函数的图像与轴的两个交点的横坐xcbxaxy 2 x 标 是对应一元二次方程的两个实数根 抛物线与轴的 1 x 2 x0 2 cbxaxx 交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定 有两个交点抛物线与轴相交 0 x 有一个交点 顶点在轴上 抛物线与轴相切 x 0 x 没有交点抛物线与轴相离 0 x 平行于轴的直线与抛物线的交点x Comment l13 理解 推导 Comment l14 由如何平移得 2 yx 到 2 1yxx 4 可能有 0 个交点 1 个交点 2 个交点 当有 2 个交点时 两交点的纵坐标相等 设 纵坐标为 则横坐标是的两个实数根 kkcbxax 2 一次函数的图像 与二次函数的图像 0 knkxyl 0 2 acbxaxy 的交点 由方程组 的解的数目来确定 方程组有两组不G 2 ykxn yaxbxc 同的解时与有两个交点 方程组只有一组解时与只有一个交点 lG lG 方程组无解时与没有交点 lG 抛物线与轴两交点之间的距离 若抛物线与轴两交点为xcbxaxy 2 x 由于 是方程的两个根 故 00 21 xBxA 1 x 2 x0 2 cbxax a c xx a b xx 2121 aa acb a c a b xxxxxxxxAB 44 4 2 2 21 2 21 2 2121 二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况 可以用一般式或顶点式表 达 关于轴对称x 关于轴对称后 得到的解析式是 2 yaxbxc x 2 yaxbxc 关于轴对称后 得到的解析式是 2 ya xhk x 2 ya xhk 关于轴对称y 关于轴对称后 得到的解析式是 2 yaxbxc y 2 yaxbxc 关于轴对称后 得到的解析式是 2 ya xhk y 2 ya xhk 关于原点对称 关于原点对称后 得到的解析式是 2 yaxbxc 2 yaxbxc 关于原点对称后 得到的解析式是 2 ya xhk 2 ya xhk 关于顶点对称 关于顶点对称后 得到的解析式是 2 yaxbxc 2 2 2 b yaxbxc a 关于顶点对称后 得到的解析式是 2 ya xhk 2 ya xhk 关于点对称 mn 关于点对称后 得到的解析式是 2 ya xhk mn 2 22ya xhmnk 总结 根据对称的性质 显然无论作何种对称变换 抛物线的形状一定不会发生 变化 因此永远不变 求抛物线的对称抛物线的表达式时 可以依据题意或方a 便运算的原则 选择合适的形式 习惯上是先确定原抛物线 或表达式已知的抛 物线 的顶点坐标及开口方向 再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向 然 后再写出其对称抛物线的表达式 二次函数图象的平移 平移步骤 将抛物线解析式转化成顶点式 确定其顶点坐标 2 ya xhk hk 保持抛物线的形状不变 将其顶点平移到处 具体平移方法如下 2 yax hk 5 h 0 h0 k0 h0 h0 k0 k 0 k y a x h 2 k y a x h 2 y ax2 ky ax2 平移规律 在原有函数的基础上 值正右移 负左移 值正上移 负下移 hk 概括成八个字 左加右减 上加下减 根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路 三点式 三点式 1 已知抛物线 y ax2 bx c 经过 A 0 B 0 C 0 3 三点 求抛物线332 的解析式 2 已知抛物线 y a x 1 4 经过点 A 2 3 求抛物线的解析式 顶点式 顶点式 1 已知抛物线 y x2 2ax a2 b 顶点为 A 2 1 求抛物线的解析式 2 已知抛物线 y 4 x a 2 2a 的顶点为 3 1 求抛物线的解析式 交点式 交点式 1 已知抛物线与 x 轴两个交点分别为 3 0 5 0 求抛物线 y x a x b 的解析式 2 已知抛物线线与 x 轴两个交点 4 0 1 0 求抛物线 y a x 2a x b 的解析式 2 1 定点式 定点式 1 在直角坐标系中 不论 a 取何值 抛物线经过 x 轴上一22 2 5 2 1 2 ax a xy 定点 Q 直线经过点 Q 求抛物线的解析式 2 2 xay 2 抛物线 y x2 2m 1 x 2m 与 x 轴的一定交点经过直线 y mx m 4 求抛物线的解析式 3 抛物线 y ax2 ax 2 过直线 y mx 2m 2 上的定点 A 求抛物线的解析式 平移式 平移式 1 把抛物线 y 2x2 向左平移 2 个单位长度 再向下平移 1 个单位长度 得到抛物线 y a x h 2 k 求此抛物线解析式 2 抛物线向上平移 使抛物线经过点 C 0 2 求抛物线的解析式 3 2 xxy 距离式 距离式 1 抛物线 y ax2 4ax 1 a 0 与 x 轴的两个交点间的距离为 2 求抛物线的解析式 2 已知抛物线 y m x2 3mx 4m m 0 与 x 轴交于 A B 两点 与 轴交于 C 点 且 AB BC 求此抛物线的解析式 对称轴式 对称轴式 1 抛物线 y x2 2x m2 4m 4 与 x 轴有两个交点 这两点间的距离等于抛物线顶点到 y 轴 距离的 2 倍 求抛物线的解析式 2 已知抛物线 y x2 ax 4 交 x 轴于 A B 点 A 在点 B 左边 两点 交 y 轴于点 C 且 OB OA OC 求此抛物线的解析式 4 3 6 对称式 对称式 1 平行四边形 ABCD 对角线 AC 在 x 轴上 且 A 10 0 AC 16 D 2 6 AD 交 y 轴 于 E 将三角形 ABC 沿 x 轴折叠 点 B 到 B1的位置 求经过 A B E 三点的抛物线的解 析式 2 求与抛物线 y x2 4x 3 关于 y 轴 或 x