现代控制理论第1章

现代控制理论基础 第一章 讲义 1 第一章第一章 系统描述系统描述 1 11 1 引言引言 一个复杂系统可能有多个输入和多个输出 并且以某种方式相互关联或耦合 为了分 析这样的系统 必须简化其数学表达式 转而借助于计算机来进行各种大量而乏味的分析 与计算 从这个观点来看 状态空间法对于系统分析是最适宜的 经典控制理论是建立在系统的输入 输出关系或传递函数的基础之上的 而现代控制理现代控制理 论以论以 n 个一阶微方程来描述系统个一阶微方程来描述系统 这些微分方程又组合成一个一阶向量 矩阵微分方程 应 用向量 矩阵表示方法 可极大地简化系统的数学表达式 状态变量 输入或输出数目的增 多并不增加方程的复杂性 事实上 分析复杂的多输入 多输出系统 仅比分析用一阶纯量 微分方程描述的系统在方法上稍复杂一些 本文将主要涉及控制系统的基于状态空间的描述 分析与设计 本章将首先给出状态 空间方法的描述部分 将以单输入单输出系统为例 给出包括适用于多输入多输出或多变 量系统在内的状态空间表达式的一般形式 线性多变量系统状态空间表达式的标准形式 相 变量 对角线 Jordan 能控与能观测 传递函数矩阵 以及利用 MATLAB 进行各种模 型之间的相互转换 第二章将讨论状态反馈控制系统的分析方法 第三章将给出几种主要 的设计方法 本章 1 1 节为控制系统状态空间分析的引言 1 2 节介绍传递函数的状态空间表达式 并给出状态空间表达式的各种标准形 1 3 节讨论用 MATLAB 进行系统模型的转换 如从 传递函数变换为状态空间模型等 1 21 2 状态空间表达式状态空间表达式 为获得传递函数的状态空间表达式 有多种方法 在 系统分析与控制 中曾介绍过 几种 本节将介绍状态空间的能控标准形 能观测标准形 对角线形与 Jordan 标准形 在 例 1 17 1 21 中将讨论由传递函数获得这些状态空间表达式的方法 1 2 11 2 1 状态空间表达式的标准形式状态空间表达式的标准形式 考虑由下式定义的系统 1 1 1 1 1 1 1 1 ububububyayayay nn nn onn nn 式中 u 为输入 y 为输出 该式也可写为 2 1 1 1 1 1 1 10 nn nn nn nn asasas bsbsbsb sU sY 下面给出由式 1 1 或式 1 2 定义的系统状态空间表达式之能控标准形 能观测标 准形和对角线形 或 Jordan 形 标准形 现代控制理论基础 第一章 讲义 2 1 2 1 11 2 1 1 能控标准形能控标准形 下列状态空间表达式为能控标准形 3 1 1 0 0 0 1000 0100 0010 1 2 1 121 1 2 1 u x x x x aaaax x x x n n nnnn n 4 1 0 2 1 1111 ub x x x babbabbaby n oonnonn 在讨论控制系统设计的极点配置方法时 这种能控制准形是非常重要的 从式 1 1 或式 1 2 到式 1 3 和式 1 4 的推导 可见例 1 17 1 2 1 2 能观测标准形能观测标准形 下列状态空间表达式为能观测标准形 6 1 1000 5 1 100 001 000 1 2 1 11 11 2 1 1 12 1 ub x x x x y u bab bab bab x x x a a a x x x o n n o onn onn n n n n 注意 式 1 5 给出的状态方程中 n n 维系统矩阵是式 1 3 所给出的相应矩阵的转置 现代控制理论基础 第一章 讲义 3 321 ppp i p 1 2 1 3 对角线标准形对角线标准形 参考由式 1 2 定义的传递函数 这里 考虑分母多项式中只含相异根的情况 对此 式 1 2 可写成 7 1 21 1 1 1 n nn nn o pspsps bsbsbsb sU sY n n o ps c ps c ps c b 2 2 1 1 该系统的状态空间表达式的对角线标准形由下式确定 9 1 8 1 1 1 1 0 0 2 1 21 2 1 2 1 2 1 ub x x x cccy u x x x p p p x x x o n n nnn 1 2 1 41 2 1 4 JordanJordan 标准形标准形 下面考虑式 1 2 的分母多项式中含有重根的情况 对此 必须将前面的对角线标准 形修改为 Jordan 标准形 例如 假设除了前 3 个 即相等外 其余极点 相异 于是 Y s U s 因式分解后为 54 3 1 1 1 10 n nn nn pspspsps bsbsbsb sU sY 该式的部分分式展开式为 n n ps c ps c ps c ps c ps c b sU sY 4 4 2 1 2 3 1 1 0 1 3 该系统状态空间表达式的 Jordan 标准形由下式确定 11 1 10 1 1 1 1 0 0 000 000 0000 10 0001 2 1 21 4 3 2 1 4 1 1 1 4 3 2 1 ub x x x cccy x x x x x p p p p p x x x x x o n n nnn i p 现代控制理论基础 第一章 讲义 4 例例 1 1 1 1 考虑由下式确定的系统 23 3 2 ss s sU sY 试求其状态空间表达式之能控标准形 能观测标准形和对角线标准形 解 解 能控标准形为 13 1 0 32 10 2 1 2 1 2 1 tx tx ty tu tx tx tx tx 能观测标准形为 10 1 3 31 20 2 1 2 1 2 1 tx tx ty tu tx tx tx tx 对角线标准形为 12 1 1 20 01 2 1 2 1 2 1 tx tx ty tu tx tx tx tx 1 2 21 2 2 n nn n 维系统矩阵维系统矩阵 A A 的特征值的特征值 n n 维系统矩阵 A 的特征值是下列特征方程的根 0 AI 这些特征值也为称特征根 例如 考虑下列矩阵 A 6116 100 010 A 特征方程为 现代控制理论基础 第一章 讲义 5 0 3 2 1 6116 6116 10 01 23 AI 这里 A 的特征值就是特征方程的根 即 1 2 和 3 1 2 31 2 3 n nn n 维系统矩阵的对角线化维系统矩阵的对角线化 如果一个具有相异特征值的 n n 维矩阵 A 由下式给出 12 1 1000 0100 0010 121 aaaa A nnn 作如下非奇异线性变换 x P z 其中 11 2 1 1 21 111 n n nn n P 称为范德蒙 Vandemone 矩阵 这里 1 2 n是系统矩阵 A 的 n 个相异特征 值 将 P 1AP 变换为对角线矩阵 即 P 1AP n 0 0 2 1 如果由方程 1 12 定义的矩阵 A 含有重特征值 则不能将上述矩阵对角线化 例如 3 3 维矩阵 现代控制理论基础 第一章 讲义 6 123 100 010 aaa A 有特征值 1 2 3 作非奇异线性变换 x S z 其中 2 31 2 1 31 2 1 101 S 得到 3 1 1 1 00 00 01 ASS 该式是一个 Jordan 标准形 例例 1 2 考虑下列系统的状态空间表达式 14 1 001 13 1 6 0 0 6116 100 010 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x y u x x x x x x 式 1 13 和 1 14 可写为如下标准形式 16 1 15 1 Cxy BuAxx 式中 001 6 0 0 6116 100 010 CBA 矩阵 A 的特征值为 1 1 2 2 3 3 因此 这 3 个特征值相异 如果作变换 3 2 1 3 2 1 941 321 111 z z z x x x 现代控制理论基础 第一章 讲义 7 或 x P z 1 17 定义一组新的状态变量 z1 z2和z3 式中 P 18 1 111 2 3 2 2 2 1 321 那么 通过将式 1 17 代入式 1 15 可得 BuAPzzP 将上式两端左乘 P 1 得 19 1 11 BuPAPzPz 或者 3 2 1 3 2 1 941 321 111 6116 100 010 5 05 11 143 5 05 23 z z z z z z u 6 0 0 5 05 11 143 5 05 23 化简得 20 1 3 6 3 300 020 001 3 2 1 3 2 1 u z z z z z z 式 1 20 也是一个状态方程 它描述了由式 1 13 定义的同一个系统 输出方程 1 16 可修改为 y CP z 或 21 1 111 941 321 111 001 3 2 1 3 2 1 z z z z z z y 注意 由式 1 18 定义的变换矩阵 P 将 z 的系统矩阵转变为对角线矩阵 由式 1 20 显 然可看出 3 个纯量状态方程是解耦的 注意式 1 19 中的矩阵 P 1AP 的对角线元素和矩阵 A 的 3 个特征值相同 此处强调 A 和 P 1AP 的特征值相同 这一点非常重要 作为一般情 况 我们将证明这一点 现代控制理论基础 第一章 讲义 8 1 2 41 2 4 特征值的不变性特征值的不变性 为证明线性变换下特性值的不变性 需证明 I A 和 I P 1AP 的特征多项式 相同 由于乘积的行列式等于各行列式的乘积 故 1 1 1 111 AIPP PAIP PAIP APPPPAPPI 注意到行列式 P 1 和 P 的乘积等于乘积 P 1P 的行列式 从而 I P 1AP P 1P I A I A 这就证明了在线性变换下矩阵 A 的特征值是不变的 1 2 51 2 5 状态变量组的非唯一性状态变量组的非唯一性 前面已阐述过 给定系统的状态变量组不是唯一的 设是一组状态变量 n xxx 21 可取任意一组函数 21 2122 2111 nnn n n xxxXx xxxXx xxxXx 作为系统的另一组状态变量 这里假设对每一组变量都对应于唯一的一 n xxx 21 组的值 反之亦然 因此 如果 x 是一个状态向量 则 n xxx 21 x xP Px x 也是一个状态向量 这里假设变换矩阵 P 是非奇异的 显然 这两个不同的状态向量都能 表达同一系统之动态行为的同一信息 1 31 3 利用利用 MATLABMATLAB 进行系统模型之间的相互转换进行系统模型之间的相互转换 现代控制理论基础 第一章 讲义 9 本节将讨论系统模型由传递函数变换为状态方程 反之亦然 现讨论如何由传递函数 变换为状态方程 将闭环传递函数写为 den num s s sU sY 的分母多项式含 的分子多项式含 当有了这一传递函数表达式后 使用如下 MATLAB 命令 A B C D tf2ss num den 就可给出状态空间表达式 应着重强调 任何系统的状态空间表达式都不是唯一的 对于 同一系统 可有许多个 无穷多个 状态空间表达式 上述 MATLAB 命令仅给出了一种 可能的状态空间表达式 1 3 11 3 1 传递函数系统的状态空间表达式传递函数系统的状态空间表达式 考虑以下传递函数 22 1 1605614 164 10 23 2 sss s sss s sU sY 对该系统 有多个 无穷多个 可能的状态空间表达式 其中一种可能的状态空间表 达式为 u x x x y u x x x x x x 0 001 14 1 0 1456160 100 010 3 2 1 3 2 1 3 2 1 另外一种可能的状态空间表达式 在无穷个中 为 24 1 0 010 23 1 0 0 1 010 001 1605614 3 2 1 3 2 1 3 2 1 u x x x y u x x x x x x MATLAB 将式 1 22 给出的传递函数变换为由式 1 23 和 1 24 给出的状态空 间表达式 对于此处考虑的系统 MATLAB Program 1 1 将产生矩阵 A B C 和 D MATLAB Program 1 1 现代控制理论基础 第一章 讲义 10 Num 0 0 1 0 Den 11456160 A B C D tf2ss num den A 14 56 160 1 0 0 0 1 0 B 1 0 0 C 0 1 0 D 0 1 3 21 3 2 由状态空间表达式到传递函数的变换由状态空间表达式到传递函数的变换 为了从状态空间方程得到传递函数 采用以下命令 num den ss2tf A B C D iu 对多输入的系统 必须具体化 iu 例如 如果系统有 3 个输入 u1 u2 u3 则 iu 必须为 1 2 或 3 中的一个 其中 1 表示 u1 2 表示 u2 3 表示 u3 如果系统只有一个输入 则可采用 num den ss2tf A B C D 或 num den ss2tf A B C D 1 见例 1 3 和 MTLAB Program1 2 MTLAB Program 1 2 A 0 1 0 00 1 5 008 25 1026 5 032471 B 0 25 04 121 005 C 1 0 0 D 0 num den ss2tf A B C D num 0 0 0000 25 0400 5 0080 den 1 0000 5 0325 25 1026 5 0080 现代控制理论基础 第一章 讲义 11 The same result can be obtained by entering the following command num den ss2tf A B C D 1 num 0 0 0000 25 0400 5 0080 den 1 0000 5 0325 25 1026 5 0080 对于系统有多个输入与多个输出的情况 见例 1 4 例例 1 3 1 3 试求下列状态方程所定义的系统的传递函数 3 2 1 3 2 1 3 2 1 001 005 121 04 25 0 03247 5 1026 25008 5 100 010 x x x y u x x x x x x MATLAB Program