线性代数作业

线性代数 经管类 综合试题一线性代数 经管类 综合试题一 课程代码 课程代码 41844184 一 单项选择题 本大题共一 单项选择题 本大题共 10 小题 每小题小题 每小题 2 分 共分 共 20 分 分 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的 请在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的 请 将其代码填写在题后的括号内 错选 多选或未选均无分 将其代码填写在题后的括号内 错选 多选或未选均无分 1 设 D M 0 则 D1 B A 2M B 2M C 6M D 6M 2 设 A B C 为同阶方阵 若由 AB AC 必能推出 B C 则 A 应满足 D A A O B A O C A A 0 D A A 0 3 设 A B 均为 n 阶方阵 则 A A A A ABAB 0 则 A A 0 或 E E B B 0 B A A B B 2 A A2 2ABAB B B2 C 当ABAB O O时 有A A O O或B B O O D ABAB 1 B B 1A A 1 4 二阶矩阵 A A A 1 则A A 1 B A B C D 5 设两个向量组与 则下列说法正确的是 B A 若两向量组等价 则 s t B 若两向量组等价 则 r r C 若 s t 则两向量组等价 D 若 r r 则两向量组等价 6 向量组线性相关的充分必要条件是 C A 中至少有一个零向量 B 中至少有两个向量对应分量成比例 C 中至少有一个向量可由其余向量线性表示 D 可由线性表示 7 设向量组有两个极大无关组与 则下列成立的是 C A r与s未必相等 B r s m C r s D r s m 8 对方程组 Ax b 与其导出组 Ax o 下列命题正确的是 D A Ax o 有解时 Ax b 必有解 B Ax o 有无穷多解时 Ax b 有无穷多解 C Ax b 无解时 Ax o 也无解 D Ax b 有惟一解时 Ax o 只有零解 9 设方程组有非零解 则 k D A 2 B 3 C 1 D 1 10 n 阶对称矩阵 A 正定的充分必要条件是 D A A 0 B 存在 n 阶方阵 C 使 A CTC C 负惯性指标为零 D 各阶顺序主子式均为正数 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 2 分 共分 共 2020 分 请在分 请在 每小题的空格中填上正确答案 错填 不填均无分 每小题的空格中填上正确答案 错填 不填均无分 11 四阶行列式 D 中第 3 列元素依次为 1 2 0 1 它们的余 子式的值依次为 5 3 7 4 则 D 15 12 若方阵 A 满足 A2 A 且 A E E 则 A A 0 13 若 A 为 3 阶方阵 且 则 2A A 4 14 设矩阵的秩为 2 则 t 3 15 设向量 6 8 0 4 3 5 则 0 16 设 n 元齐次线性方程组 Ax x o o r A r n 则基础解系含有 解向量的个数为 n r 个 17 设 1 1 0 0 1 1 0 0 1 是R R3的 基 则 1 2 3 在此基下的坐标为 1 1 2 18 设 A 为三阶方阵 其特征值为 1 1 2 则 A2的特征值为 1 1 4 19 二次型的矩阵 A A 220 231 011 20 若矩阵A A与B B 相似 则A A的特征值为 1 2 3 三 计算题 本大题共三 计算题 本大题共 6 小题 每小题小题 每小题 9 9 分 共分 共 5454 分 分 21 求行列式的值 解 1111 1111 1111 1111 x x y y 1111 00 1111 00 x xx y yy x2y2 1100 1100 0011 0011 x xy y 000 1100 000 0011 x xy y 22 解矩阵方程 解 令 A B 111 211 111 2 3 6 因为 AE 111100111100 211010031210 111001002101 所以 11 1000 33 111 010 236 11 0010 22 1 11 0 33 111 236 11 0 22 A 由 AX B 得 X A 1B 11 0 33 12 111 33 236 62 11 0 22 23 求向量组 1 1 2 3 1 1 1 1 1 3 3 5 4 2 5 6 的秩和一个极大线性无关组 并将其余向量用 该极大无关组线性表示 解 将已知向量按列构成矩阵 并对其进行行变换 1234 1114 1132 2135 3156 T 1114 0026 0313 0426 11141114 00260113 01130013 00260000 1007 0100 0013 0000 所以 极大无关组为 1234 3 r 123413 73 24 a 取何值时 方程组有解 并求其通 解 要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示 解 对方程组的增广矩阵施以初等行变换 2111112142 1214205373 1741105372aa A 若方程组有解 则 故 a 5 rr AA 当 a 5 时 继续施以初等行变换得 原方程组的同解方程组为 164 10 555 373 01 555 00000 A 为自由未知量 令 x3 x4 0 得原方程组 134 34 234 416 555 337 555 xxx x x xxx 的一个特解 4 5 3 5 0 0 与导出组同解的方程组为 为自由未知 134 34 234 16 55 37 55 xxx x x xxx 量 令分别取 得到导出组的基础解系 3 4 x x 10 01 所以 方程组的全部解为 16 55 37 55 10 01 其中 c1 c2为任意常数 12 416 555 337 555 010 001 cc v 25 已知 求 A 的特征值及特征向量 并判断 A 能否对角化 若能 求可逆矩阵 P 使 P 1AP 对角形矩阵 解 矩阵 A 的特征多项式为 2 200 121 2 1 101 EA 所以 A 的特征值为 123 2 1 对于 求齐次线性方程组的基础解系 12 2 2 EA xo 得基础解系 从 000101 2101000 101000 EA 01 1 0 01 而矩阵 A 的对应于特征值的全部特征向量为 12 2 1212 01 10 01 ccc c 不全为零 对于 求齐次线性方程组的基础解系 3 1 EA xo 得基础解系 从而矩 100100 111011 100000 EA 0 1 1 阵 A 的对应于特征值的全部特征向量为 3 1 0 1 0 1 cc 因为三阶矩阵 A 有三个线性无关的特征向量 0 1 0 1 0 1 0 1 1 所以 A 相似于对角矩阵 且 010200 101 020 01 1001 P 26 用配方法将下列二次型化为标准形 解 222 123123121323 2444f x x xxxxx xx xx x 22222 112323232323 4 4 4 24xx xxxxxxxxx x 222 1232233 22 245xxxxx xx 2222 12322333 22 2 2 3xxxxx xxx 222 123233 22 2 3xxxxxx 令 即 1123 223 33 22yxxx yxx yx 112 223 33 2xyy xyy xy 得二次型的标准形为 222 123 23yyy 四 证明题 本大题共四 证明题 本大题共 6 分 分 27 设向量 证明向量组 是 R3空间中的一个基 证 因为 所以线性无关 110110 1 1002020 111001 123 方法多样 所以向量组是 R3空间中的一个基 123 线性代数 经管类 综合试题二线性代数 经管类 综合试题二 课程代码 课程代码 41844184 一 单项选择题 本大题共一 单项选择题 本大题共 10 小题 每小题小题 每小题 2 分 共分 共 20 分 分 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的 请在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的 请 将其代码填写在题后的括号内 错选 多选或未选均无分 将其代码填写在题后的括号内 错选 多选或未选均无分 1 若三阶行列式 0 则 k C A 1 B 0 C 1 D 2 2 设 A B 为 n 阶方阵 则成立的充要条件是 D A A 可逆 B B 可逆 C A A B B D AB BA 3 设 A 是 n 阶可逆矩阵 A 是 A 的伴随矩阵 则 A A B C D 4 矩阵的秩为 2 则 B A 2 B 1 C 0 D 5 设 3 4 矩阵A A的秩r A A 1 是齐次线性方程组AxAx o o的 三个线性无关的解向量 则方程组的基础解系为 D A B C D 6 向量线性相关 则 C A k 4 B k 4 C k 3 D k 3 7 设 u1 u2是非齐次线性方程组 Ax b 的两个解 若是 其导出组 Ax o 的解 则有 B A c1 c2 1 B c1 c2 C c1 c2 0 D c1 2c2 8 设 A 为 n n 2 阶方阵 且A A2 E E 则必有 B A A 的行列式等于 1 B A 的秩等于n C A 的逆矩阵等于E ED A 的特征值均为 1 9 设三阶矩阵 A 的特征值为 2 1 1 则A A 1的特征值为 D A 1 2 B 2 1 1 C 1 D 1 1 10 二次型是 A A 正定的 B 半正定的 C 负定的 D 不定的 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 2 分 共分 共 2020 分 请在分 请在 每小题的空格中填上正确答案 错填 不填均无分 每小题的空格中填上正确答案 错填 不填均无分 11 5 12 设 A 为三阶方阵 且 A 4 则 2A 32 13 设A A B B 则A ATB B 110 110 0410 14 设 A 则 A 1 21 52 15 向量表示为向量组 的线性组合式为 123 25 16 如果方程组有非零解 则 k 1 17 设向量与正交 则 a 2 18 已知实对称矩阵A A 写出矩阵 A 对应的二次型 222 1231231213 233f x x xxxxx xx x 19 已知矩阵A A与对角矩阵 相似 则A A2 E 20 设实二次型的矩阵A A是满秩矩阵 且二次型的 正惯性指数为 3 则其规范形为 2222 1234 yyyy 三 计算题 本大题共三 计算题 本大题共 6 小题 每小题小题 每小题 9 9 分 共分 共 5454 分 分 21 计算行列式的值 解 原式 31 31 3 31 31 xyyyyyyy xyxyyxyy xy xyyxyyxy xyyyxyyx 3 1 000 3 3 000 000 yyy xy xyxy xy xy xy 22 设矩阵A A B B 求矩阵A A 1B B 解 110100 121010 223001 AE 110100 011110 043201 110100 011110 001641 100431 010531 001641 得 1 431 531 641 A 所以 1 4311129 53102310 64121413 A B 23 设矩阵 求k的值 使A A的秩r A A 分别等 于 1 2 3 解 对矩阵 A 施行初等变换 123 123 23 k k k A 2 123 02233 02233 k kk kk 2 123 02233 00633 k kk kk 123 011 00 2 1 k kk kk 当 k 1 时 A 矩阵 A 的秩 r A 1 123 000 000 当 k 2 时 A 矩阵 A 的秩 r A 2 126 033 000 当 k 1 且 k 2 时 A 矩阵 A 的秩 r A 3 123 011 001 k 24 求向量组的秩和一个 极大线性无关组 并将其余向量用该极大线性无关组线性表示 解 将所给列向量构成矩阵 A 然后实施初等行变换 1234 11121112 12340122 137100268 141320031218 111211121002 012201220102 002400120012 001200000000 所以 向量组的秩 向量组的一个极大无关组为 1234 3r 且有 123 4123 222 25 求线性方程组的基础解系 并用基础 解系表示其通解 解 对方程组的系数矩阵 或增广矩阵 作初等行变换 122312231223 231201340134 135701340000 A 1045 0134 0000 与原方程组同解的方程组为 其中 x3 x4为自由未 134 234 45 34 xxx xxx 知量 令分别取得基础解系 3 4 x x 10 01 12 45 34 10 01 vv 方程组的通解为 c1 c2为任意常数 1 12212 45 34 10 01 cccc vv 26 已知矩阵 求正交矩阵P P和对角矩阵 使P P 1AP AP 解 矩阵 A 的特征多项式为 2 111 111 3 111 EA 得矩阵 A 的所有特征值为 123 0 3 对于 求方程组的基础解系 12 0 0 o EA x 得基础解系为 111111 111000 111000 12 11 1 0 01 将此线性无关的特征向量正交化 得 再标准化 得 12 1 2 1 1 1 2 0 1 12 11 62 11 26 02 6 对于解方程组 3 3 3 o EA x 方程组的基础解系为 211101 121011 112000 3 1 1 1 将其单位化 得 3 1 3 1 3 1 3 令 P 123 111 263 111 263 21 0 63 000 000 003 则 P 是正交矩阵 且 P 1AP 四 证明题 本大题共四 证明题 本大题共 6 分 分 27 设向量组线性无关 证明 向量组 也线性无关 证 令 11212312312 ss kkkk o 整理得 12123211 sssssss kkkkkkkkko 因为线性无关 所以 12 s 解得 121 23 1 0 0 0 0 ss s ss s kkkk kkk kk k 1 2 1 0 0 0 0 s s k k k k 故线性无关 11212312 s 线性代数 经管类 综合试题三线性代数 经管类 综合试题三 课程代码 课程代码 41844184 一 单项选择题 本大题共一 单项选择题 本大题共 10 小题 每小题小题 每小题 2 分 共分 共 20 分 分 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的 请在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的 请 将其代码填写在题后的括号内 错选 多选或未选均无分 将其代码填写在题后的括号内 错选 多选或未选均无分 1 当 D 成立时 阶行列式的值为零 A 行列式主对角线上的元素全为零 B 行列式中有个元素等于零 C 行列式至少有一个阶子式为零 D 行列式所有阶子式全为零 2 已知均为 n 阶矩阵 E E为单位矩阵 且满足 ABC E 则下列结论必然成立的是 B A ACBACB E E B BCABCA E E C CBACBA E E D BACBAC E E 3 设A A B B均为n阶可逆矩阵 则下列等式成立的是 D A ABAB 1 A A 1B B 1 B A A B B 1 A A 1 B B 1 C ABAB T A ATB BT D 4 下列矩阵不是初等矩阵的是 B A B C D 5 设是 4 维向量组 则 D A 线性无关 B 至少有两个向量成比例 C 只有一个向量能由其余向量线性表示 D 至少有两个向量可由其余向量线性表示 6 设A A为 m n 矩阵 且 m0 B A A的每一个元素都大于零 C D A A的正惯性指数为n 10 设A A B B为同阶方阵 且r A A r B B 则 C A A A与B B相似 B A A与B B合同 C A A与B B等价 D A A B B 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 2 分 共分 共 2020 分 请在分 请在 每小题的空格中填上正确答案 错填 不填均无分 每小题的空格中填上正确答案 错填 不填均无分 11 行列式 24 12 设A A为三阶矩阵 A A 2 将矩阵A A按列分块为 其中是A A的第j列 则 B B 6 13 已知矩阵方程AXAX B B 其中A A B B 则 X X 11 12 14 已知向量组的秩为 2 则k 2 15 向量的长度 15 16 向量在基下的坐 标为 3 4 3 17 设是 4 元齐次线性方程组AxAx o o的基础解系 则矩阵 A A的秩r A A 1 18 设是三阶矩阵A A的特征值 则a 1 19 若是正定二 次型 则 满足 5 20 设三阶矩阵A A的特征值为 1 2 3 矩阵B B A A2 2A A 则 B B 360 三 计算题 本大题共三 计算题 本大题共 6 小题 每小题小题 每小题 9 9 分 共分 共 5454 分 分 21 设三阶矩阵A A E E为三阶单位矩阵 求 1 矩阵A A 2E E及 A A 2E E 2 解 1 A 2E 300200100 110020110 123002121 A 2E 1 2 100100100100 110010010110 121001021101 100100 010110 001121 1 100 2 110 121 AE 22 已知向量组 求 1 向量组的秩 2 向量组的一个极大线性无关组 并将其余向量用该极大线性 无关组线性表示 解 1 将所给向量按列构成矩阵 A 然后实施初等行变换 121012101202 240400240012 243200120000 所以 向量组的秩 1234 2r 2 向量组的一个极大无关组为 13 且有 21413 2 22 23 讨论 a 为何值时 线性方程组有解 当方程组有解时 求出方程组的通解 解 对方程组的增广矩阵实施初等行变换 12222 01111 1113 11151 a A 12222 01111 01112 03333 a 12222 01111 00001 00000 a 10040 01111 00001 00000 a 若方程组有解 则 从而 a 1 2rr AA 当 a 1 时 原方程组的通解方程组为 为自由未知量 14 234 4 1 xx xxx 34 x x 令 得原方程组的一个特解 0 1 0 0 T 34 0 xx 导出组的同解方程组为 为自由未知量 14 234 4xx xxx 34 x x 令分别取得导出组的基础解系 0 1 1 0 T 4 1 0 1 3 4 x x 10 01 T 所以 方程组的通解为 0 1 0 0 T c1 0 1 1 0 T c2 4 1 0 1 T 其 中 c1 c2为任意常数 24 已知向量组 讨论该向 量