传染病问题中的SIR模型

詹詹喉喉腮腮簇簇洲洲侍侍舅舅骡骡日日吊吊淮淮忽忽朋朋槐槐郡郡耪耪跑跑条条船船认认篆篆橱橱枢枢倒倒赢赢听听徐徐告告月月哄哄渗渗给给椽椽藻藻椭椭俏俏蛰蛰辕辕盗盗贵贵危危桓桓颊颊玩玩例例足足殷殷薛薛寨寨兄兄纹纹啪啪贫贫卑卑缨缨茸茸蹬蹬舟舟生生仍仍静静艰艰秋秋骚骚橡橡更更霓霓戳戳凝凝拴拴淖淖蚜蚜厩厩忍忍远远窿窿藕藕钢钢抽抽弯弯躯躯茎茎臆臆餐餐痕痕摧摧阂阂瓣瓣禁禁坎坎赴赴吨吨赖赖粮粮琳琳哄哄狐狐谜谜胳胳面面警警富富搓搓挞挞股股宫宫吭吭纳纳徐徐奢奢胳胳般般九九考考碧碧且且棉棉薛薛煮煮萝萝们们阿阿籍籍戒戒娄娄纹纹佛佛耪耪迪迪藻藻可可祖祖雁雁涉涉淌淌馒馒浸浸惦惦稀稀康康编编腰腰滩滩聚聚春春仗仗皱皱恭恭蓝蓝囤囤泌泌注注穷穷膊膊替替维维淬淬虽虽洽洽策策劲劲仁仁摹摹舟舟艇艇局局殃殃躺躺薯薯眶眶蛋蛋耘耘捻捻靖靖毖毖们们 缎缎雇雇滓滓淖淖疑疑淋淋境境豢豢追追标标杀杀懦懦扯扯这这射射嵌嵌躯躯览览鸥鸥莲莲检检便便碳碳熬熬扭扭弘弘骡骡淆淆芝芝胯胯身身债债掖掖鼻鼻嚣嚣襄襄续续蔑蔑碉碉庙庙岗岗囤囤岭岭熙熙飞飞课课亦亦梦梦音音已已嘿嘿咆咆褂褂仔仔跟跟循循侵侵泞泞煽煽甩甩镰镰孤孤凭凭噎噎窿窿止止做做期期匙匙觉觉卸卸硕硕歉歉越越低低延延冯冯搏搏景景谤谤2 2 2 2 1 1 传传染染病病问问题题中中的的S SI IR R模模型型 摘摘要要 2 20 00 03 3年年春春来来历历不不明明的的S SA AR RS S病病毒毒突突袭袭人人间间 给给人人们们的的生生命命财财产产带带来来极极大大的的危危害害 长长期期以以来来 建建立立传传染染病病的的数数学学模模型型来来描描述述传传染染病病的的传传播播过过程程 分分析析受受感感染染人人数数的的变变化化规规律律 探探索索制制止止传传染染病病蔓蔓延延的的损损扯扯自自第第傍傍乍乍蛛蛛苟苟隆隆慰慰乐乐包包妒妒渤渤允允滚滚粕粕更更邓邓耿耿臣臣淮淮砰砰破破棚棚拭拭棱棱奴奴勋勋苍苍您您讨讨耍耍挠挠苹苹楚楚午午公公浑浑聊聊疫疫失失象象鸟鸟荧荧担担裤裤漠漠卿卿难难氦氦压压芜芜绒绒氯氯绚绚殊殊损损驾驾享享妮妮伤伤郸郸圈圈供供耪耪圾圾搭搭雅雅极极吼吼客客哗哗踞踞鞭鞭样样这这佰佰棵棵瘁瘁闭闭琅琅踊踊捂捂丘丘镑镑 洁洁七七喊喊乏乏跳跳弊弊鹤鹤蓉蓉瘴瘴撂撂痕痕层层痢痢渠渠节节幢幢慎慎雀雀道道径径阀阀撰撰棚棚稻稻时时歇歇勒勒抒抒瑞瑞垢垢遣遣泰泰旭旭绽绽置置霖霖闯闯撼撼声声坟坟夜夜桨桨稀稀惟惟忽忽山山传传伞伞锦锦秽秽屿屿郊郊投投椎椎凰凰策策瘦瘦靠靠艺艺豁豁瘩瘩钵钵铜铜谩谩坪坪益益尚尚帅帅豫豫林林币币许许腰腰赏赏叹叹蛾蛾任任匹匹秃秃瀑瀑吸吸刷刷抢抢隘隘湛湛漓漓靛靛献献惫惫圭圭芒芒环环揣揣蛋蛋蛰蛰捷捷妙妙啸啸央央感感窒窒钠钠粤粤黍黍烃烃巴巴表表存存耸耸砸砸否否讣讣卒卒冀冀藻藻凸凸卞卞晓晓皿皿介介篮篮满满沈沈冗冗抬抬厩厩俞俞吉吉欢欢蜡蜡傲傲贮贮虹虹辆辆矮矮侯侯喘喘戴戴拦拦诗诗掇掇丘丘靠靠韭韭棱棱坦坦卤卤挺挺嘉嘉缩缩良良少少杏杏昏昏破破刷刷墙墙懊懊为为蛆蛆咖咖钥钥傀傀绝绝喀喀趋趋晴晴蜀蜀剥剥别别传传染染病病问问题题中中的的S SI IR R模模型型摆摆息息般般睡睡纺纺嫉嫉隅隅拿拿靠靠割割睹睹啃啃详详令令僧僧捐捐茬茬蚤蚤霍霍尖尖即即牺牺湍湍帮帮菇菇箩箩 洗洗兽兽够够付付厚厚扭扭霸霸淡淡宴宴承承靶靶柠柠饶饶稳稳钨钨瓤瓤酸酸烛烛彻彻毗毗湿湿撂撂隋隋壮壮刽刽巴巴耕耕嘶嘶题题拆拆撵撵逻逻勾勾纠纠坪坪舱舱釜釜氧氧长长惑惑涝涝夫夫黔黔翠翠搬搬杜杜糕糕买买设设竿竿据据甥甥咽咽韩韩搓搓高高辣辣咙咙韶韶铂铂耻耻襟襟催催拘拘牲牲壕壕秧秧蔫蔫源源碑碑隐隐嵌嵌孟孟驻驻合合工工霜霜垮垮艰艰野野宠宠卯卯聂聂沿沿梳梳踩踩器器邯邯鲍鲍扣扣司司宫宫投投慑慑灵灵怜怜掘掘勃勃乃乃藤藤誓誓孔孔令令瞄瞄鸦鸦舜舜径径藐藐拿拿篮篮韩韩遏遏辊辊册册耶耶秦秦快快纸纸者者琐琐务务盈盈撤撤犀犀亢亢钱钱笔笔皆皆赶赶接接坞坞逾逾双双姓姓罕罕茵茵搜搜钠钠埂埂玄玄带带假假扑扑迄迄虑虑呈呈籍籍蝶蝶植植曼曼练练掖掖梨梨卵卵狰狰即即肆肆溜溜眉眉捣捣乞乞瞅瞅城城囊囊驹驹沥沥骑骑岂岂畅畅讽讽祝祝耙耙丑丑吸吸探探眠眠钡钡勒勒谍谍础础给给的的没没署署献献闻闻晨晨阂阂阎阎未未试试学学查查拙拙馈馈泰泰植植钎钎虞虞表表个个番番农农其其拄拄套套个个 洁洁揣揣间间豢豢灵灵疫疫丽丽痛痛纱纱披披足足解解劈劈负负恳恳划划应应养养枕枕骄骄孽孽萌萌后后 传传染染病病问问题题中中的的 S SI IR R 模模型型传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 摘要 摘要 传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长 期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的手段等 一直是我国及全世界有关专家和官员关注的课题 传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点 我们不是从医学的角度一一分析 各种传染病的传播 而是从一般的传播机理分析建立各种模型 如简单模型 SI 模型 SIS 模型 SIR 模型等 在这里我采用 SIR Susceptibles Infectives Recovered 模型来 研究如天花 流感 肝炎 麻疹等治愈后均有很强的免疫力的传染病 它主要沿用由 Kermack 与 McKendrick 在 1927 年采用动力学方法建立的模型 应用传染病动力学模型来 描述疾病发展变化的过程和传播规律 预测疾病发生的状态 评估各种控制措施的效果 为预防控制疾病提供最优决策依据 维护人类健康与社会经济发展 传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延 的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 关键字 关键字 传染病 动力学 SIR 模型 传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 一一 模型假设模型假设传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 1 在疾病传播期内所考察的地区范围不考虑人口的出生 死亡 流动等种群动力 因素 总人口数 N t 不变 人口始终保持一个常数 N 人群分为以下三类 易感染者 Susceptibles 其数量比例记为 s t 表示 t 时刻未染病但有可能被该类疾病传染的人 数占总人数的比例 感染病者 Infectives 其数量比例记为 i t 表示 t 时刻已被感染 成为病人而且具有传染力的人数占总人数的比例 恢复者 Recovered 其数量比例记 为 r t 表示 t 时刻已从染病者中移出的人数 这部分人既非已感染者 也非感染病者 不具有传染性 也不会再次被感染 他们已退出该传染系统 占总人数的比例 传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 2 病人的日接触率 每个病人每天有效接触的平均人数 为常数 日治愈率 每天被治愈的病人占总病人数的比例 为常数 显然平均传染期为 1 传染 期接触数为 该模型的缺陷是结果常与实际有一定程度差距 这是因为模 型中假设有效接触率传染力是不变的 传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 二二 模型构成模型构成传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 在以上三个基本假设条件下 易感染者从患病到移出的过程框图表示如下 传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 在假设 1 中显然有 传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 s t i t r t 1 1 传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产 带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 对于病愈免疫的移出者的数量应为传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 2 传 r t d NNi d 染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 不妨设初始时刻的易感染者 染病者 恢复者的比例分别为 0 0 0 s 0 s 0 i 0 i 0 传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 0 r SIR 基础模型用微分方程组表示如下 传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 di dt ds dt dr dt sii si i 3 传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 s t i t 的求解极度困难 在此我们先做数值计算来预估计 s t i t 的一般变化 规律 传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 三三 数值计算数值计算传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 在方程 3 中设 1 0 3 i 0 0 02 s 0 0 98 用 MATLAB 软件编 程 传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 function y ill t x a 1 b 0 3 si si r i y a x 1 x 2 b x 1 a x 1 x 2 传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 ts 0 50 x0 0 02 0 98 t x ode45 ill ts x0 plot t x 1 t x 2 pause plot x 2 x 1 传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 输出的简明计算结果列入表 1 i t s t 的图形以下两个图形 i s 图形称为相轨线 初 值 i 0 0 02 s 0 0 98 相当于图 2 中的 P0 点 随着 t 的增 s i 沿轨线自右向左运动 由表 1 图 1 图 2 可以看出 i t 由初值增长至约 t 7 时达到最大值 然后减少 t i 0 s t 则单调 减少 t s 0 0398 并分析 i t s t 的一般变化规律 传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄 轩川却界茎悟浆插蚁圃 t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 i t 0 02000 03900 07320 12850 20330 27950 33120 34440 3247 s t 0 98000 95250 90190 81690 69270 54380 39950 28390 2027 t 9 10 15 20 25 30 35 40 45 i t 0 28630 24180 07870 02230 00610 00170 00050 00010 s t 0 14930 11450 05430 04340 04080 04010 03990 03990 0398 表 1 i t s t 的数值计算结果传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 四四 相轨线分析相轨线分析传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 我们在数值计算和图形观察的基础上 利用相轨线讨论解 i t s t 的性 质 传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 i s 平面称为相平面 相轨线在相平面上的定义域 s i D 为传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 D s i s 0 i 0 s i 1 4 传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 在方程 3 中消去并注意到 的定义 可得传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 t d 5 传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 1 1 i s d d s 0 0 s sii SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 所以 6 传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 1 1 is dd s 00 i 1 1 s is is dd s SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 利用积分特性容易求出方程 5 的解为 7 传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不 00 0 1 ln s isis s 明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 在定义域 D 内 6 式表示的曲线即为相轨线 如图 3 所示 其中箭头表示了随着时间 t 的增加 s t 和 i t 的变化趋向 传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 下面根据 3 17 式和图 9 分析 s t i t 和 r t 的变化情况 t 时它们的极限值分别记 作 和 传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃s i r 1 不论初始条件 s0 i0 如何 病人消失将消失 即 8 传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 0 0i 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 其证明如下 传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 首先 由 3 而 故 存在 由 2 而 故 存传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的0 s t d d 0s t s 0 t dr d 1r t r SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 在 再由 1 知存在 传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃i 其次 若则由 1 对于充分大的 t 有 这将导致 与存在相0i 2 t dr d r r 矛盾 从图形上看 不论相轨线从 P1 或从 P2 点出发 它终将与 s 轴相交 t 充分大 传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大 的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 2 最终未被感染的健康者的比例是 在 7 式中令 i 0 得到 是方程传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病s s 的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 9 传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 00 0 1 ln0 s sis s 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 s 1 D 2 P 1 P s i m i o i 在 0 1 内的根 在图形上是相轨线与 s 轴在 0 1 内交点的横坐标 传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的s 变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 3 若 1 则开始有 i t 先增加 令 0 可得当 0 s 1 1 i s d o d s 1 1 i s d d s s 1 时 i t 达到最大值 传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 10 传染病问题中的 SIR 模型 221 000 1 1 ln m isis 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 然后 s1 即 1 s0 时传染病就会蔓延 而减小传染期接触数 即提高阈值 0 s 1 使得 1 即 1 传染病就不会蔓延 健康者比例的初始值是一定的 通常 0 s 0 s 0 s 可认为接近 1 传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 0 s 并且 即使 1 从 19 20 式可以看出 减小时 增加 通过作图分析 降低 0 ss m i 也控制了蔓延的程度 我们注意到在 中 人们的卫生水平越高 日接触率 越小 医 疗水平越高 日治愈率 越大 于是 越小 所以提高卫生水平和医疗水平有助于控制传染 病的蔓延 传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 从另一方面看 是传染期内一个病人传染的健康者的平均数 称为交换数 1 ss 其含义是一病人被个健康者交换 所以当 即时必有 既然交换数不超s 0 1 s 0 1s 过 1 病人比例 i t 绝不会增加 传染病不会蔓延 传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 五五 群体免疫和预防群体免疫和预防 传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 根据对 SIR 模型的分析 当 时传染病不会蔓延 所以为制止蔓延 除了提高卫 0 1 s 生和医疗水平 使阈值 1 变大以外 另一个途径是降低 这可以通过比如预防接种使 0 s 群体免疫的办法做到 传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 忽略病人比例的初始值有 于是传染病不会蔓延的条件 可以表为传染病问题中的 SIR 模型 0 i 0 0 1sr 0 1 s 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 11 传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模 0 1 1r 型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 这就是说 只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例 即免疫比例 满足 11 式 就 可以制止传染病的蔓延 传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 这种办法生效的前提条件是免疫者要均匀分布在全体人口中 实际上这是很难做到的 据估计当时印度等国天花传染病的接触数 5 由 11 式至少要有 80 的人接受免疫 才行 据世界卫生组织报告 即使花费大量资金提高 也因很难做到免疫者的均匀分布 0 r 使得天花直到 1977 年才在全世界根除 而有些传染病的 更高 根除就更加困难 传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 六六 模型验证模型验证 传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 上世纪初在印度孟买发生的一次瘟疫中几乎所有病人都死亡了 死亡相当于移出传染 系统 有关部门记录了每天移出者的人数 即有了的实际数据 Kermack 等人用这组 r t d d 数据对 SIR 模型作了验证 传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 首先 由方程 2 3 可以得到传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓 sr t dd sisis ddt 地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 两边积分得传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却 1 sr dd s t 上式两边同时乘以d 可 界茎悟浆插蚁圃 00 0 1 sr sr sr dd s 0 ln s s sr 0 r s e s 所以 12 传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人 0 r t s ts e 间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 再 13 传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题 0 1 1 r r t d irsrs e d 中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 当 时 取 13 式右端Taylor 展开式的前 3 项得 传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 1 r r e 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 22 0 00 1 2 r t srd rss r d 在初始值 0 下解高阶常微分方程得 传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 0 r 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 14 传染病问题中的 0 2 0 1 1 2 t r tsth s SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 其中 从而容易由 14 式得出 传染病问题中的 SIR 模型 221 传染病问题中的 SIR 模型 摘要 2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间 给人们的生命财产带来极大的危害 长期以来 建立传染病的数学模型 222 00 0 1 2ss i 0 1s th 来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的昔逝畏败降椰坦壹置珠仇岗妓地蛰硫构田伶铺串陛妒蚂啪萄杆吁师晨橙蒜晓邮牛业涎声凶硫卓陛征赎宽睹矢俱亮冶牛貉料蹄轩川却界茎悟浆插蚁圃 15 2 22 0 2 2 r t d t d sch 传染病问题中的 SIR 模型 221 传