数学一轮复习：直线的倾斜角与斜率及直线方程

直线的倾斜角与斜率及直线方程直线的倾斜角与斜率及直线方程 知识梳理知识梳理 1 直线的倾斜角与斜率 对于一条与 x 轴相交的直线 把 x 轴所在直线绕着它与直线的交点按照逆时针方向旋 转到和直线重合时 所转过的最小正角叫倾斜角 倾斜角的取值范围是 00 1800 直线的倾斜角 与斜率 k 的关系 当 时 k 与 的关系是 0 90 tan k 时 直线斜率不存在 0 90 经过两点 P1 x1 y1 P2 x2 y2 x1 x2 的直线的斜率公式是 12 12 xx yy k 三点共线的充要条件是CBA ACAB kk 2 直线方程的五种形式 点斜式方程是 不能表示的直线为垂直于轴的直线 yyk xx 00 x 斜截式方程为 不能表示的直线为垂直于轴的直线bkxy x 两点式方程为 不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线 12 1 12 1 xx xx yy yy 截距式方程为 不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线和过原点的直线 1 b y a x 一般式方程为 0 cbyax 3 几种特殊直线的方程 过点垂直于 x 轴的直线方程为 x a 过垂直于 y 轴的直线方程为 y b baP baP 已知直线的纵截距为 可设其方程为 bbkxy 已知直线的横截距为 可设其方程为 aamyx 过原点的直线且斜率是 k 的直线方程为 y kx 重难点突破重难点突破 重点 理解倾斜角与斜率的对应关系 熟练利用五种形式求直线方程 难点 在求直线方程时 条件的转化和设而不求的运用 重难点 结合图形 把已知条件转化为确定直线位置的要素 从而顺利求出直线方程 1 倾斜角与斜率的对应关系 涉及这类问题的题型一般有 1 已知倾斜角 或范围 求斜率 范围 2 已知斜率 或范围 求倾斜角 或范围 如 问题 1 直线的倾斜角是02 3 tan yx A B C D 3 6 3 2 3 点拨 转化为 已知 求 答案 C 0 3 tantan 问题 2 求直线的倾斜角的取值范围023cos yx 点拨 要从和正切函数的单调性来理解倾斜角与斜率的对应关系 tan k 当时 随的增大而增大 2 0 0 kk 当时 随的增大而增大 2 0 kk 本题可先求出斜率的取值范围 再利用倾斜角与斜率的对应关系 求出倾斜角的取值范围 故 3 cos 3 k 33 33 k 当时 直线的倾斜角 满足 3 0 3 k 0 6 当时 直线的倾斜角 满足 3 0 3 k 5 6 所以 直线的倾斜角的范围 和0 6 5 6 2 利用直线方程的几何特征确定直线的位置 问题 3 已知函数 当 方程 表 10 aaaxf x 且1 0 xfx时 a axy 1 示的直线是 点拨 这是直线方程中的参数的几何意义问题 可先确定直线的斜率和截距的范围 再确定 直线的位置 由已知可得 从而斜率 截距 故选 C 1 0 a 1 0 k1 b 3 选择恰当的形式求直线方程 问题 4 过点的直线分别交轴 轴的负半轴于两点 当最小 2 1 PxyBA PBPA 时 求直线 的方程 l 点拨 设直线方程要从条件和结论两方面考虑 为更好表示 本题用点斜式设出 PBPA x y A Ox y B O y x D O y Ox C 方程最简便 解 设直线 的方程为 l 1 2 xky2 0 kyx得1 2 0 k xy得 2 0 0 1 2 kB k A 当且仅当 即 k 1 时 48 4 414 4 2 22 2 k kk k PBPA 2 2 1 k k 等号成立 但 k 0 故直线 的方程为 x y 3 0 l 4 设直线方程时要考虑是否会有丢解的情况 如 问题 5 求过点 且在轴上的截距是在轴上的截距的 2 倍的直线方程 4 3 Pyx 点拨 设直线方程都要考虑是否丢解的问题 本题用截距式设直线方程容易漏掉过原点的 直线 应警惕 解 当直线过原点时 方程为 当直线不经过原点时 设方程为 把xy 3 4 1 2 a y a x 代入得 4 3 P5 a102 yx 综上 所求方程为或xy 3 4 102 yx 热点考点题型探析热点考点题型探析 直线的倾斜角和斜率直线的倾斜角和斜率 题型题型 已知倾斜角 已知倾斜角 或范围或范围 求斜率求斜率 或范围或范围 或已知斜率或已知斜率 或范围或范围 求倾斜角求倾斜角 或范围或范围 例 1 已知经过的直线的倾斜角为 且 试求 12 2 mmBmA oo 13545 实数的取值范围 m 解题思路 由倾斜角的范围得出斜率的范围 从而求出参数的取值范围 km 解析 01113545 mkk oo 或或 或 解得 1 2 32 m m 01 2 32 m m m 或00 4 3 0 mmm或或 的取值范围是m 4 3 指引 根据正切函数在上的单调性 要分 0 90 45 00 三种情况讨论 特别注意时容易遗漏 0 90 135 90 00 0 90 题型题型 动直线与线段 动直线与线段 曲线段 区域曲线段 区域 相交相交 例 2 已知直线l l y kx 2 和两点 P 1 2 Q 4 1 若l l与线段 PQ 相交 求 k 的取 值范围 解题思路 用运动的观点 结合图形得出倾斜角的范围 从而得出斜率取值范围 解析 由直线方程 y kx 2 可知直线过定点 0 2 2 2 4 1 0 MP k 1 2 3 4 04 MQ k y x O M Q P 要使直线l l与线段 PQ 有交点 则 k 的取值范围 是 k 4 和 k 3 4 指引 1 用 运动的观点 是解决这类问题的根本方法 注意 两条直线相交 和 直线与线段相交 的区别 2 在观察动直线在运动过程中 要特别注意倾斜角是否含有 角 若含有 则斜率的范围是 若不含有 则斜率的范围是 0 90 21 kk 21 kk 分别为线段端点与直线所过定点连线的斜率 21 k k 1 下列多组点中 三点共线的是 A 1 4 1 2 3 5 B 2 5 7 6 5 3 C 1 0 0 7 2 D 0 0 2 4 1 3 3 1 解析 C 由 KAB KBC可得 2 若函数f x log2 x 1 且 a b c 0 则 的大小关系是 a af b bf c cf A B a af b bf c cf c cf b bf a af C D b bf a af c cf a af c cf b bf 解析 B 把 分别看作函数f x log2 x 1 图像上的点 a af b bf c cf 与原点连线的斜率 对照草图可得答案 bfcbfbafa 3 已知直线 t 为参数 则下列说法错误的是 34 43 xt yt D C x y 2 OB A x x y 1 A 直线的倾斜角为B 直线必经过点 3 arctan 4 11 1 2 C 直线不经过第二象限 D 当t 1时 直线上对应点到点 1 2 的距离为3 2 解析 D 将直线方程化为 直线的斜率为 直线的倾斜角为02543 yx 4 3 将点代入 满足方程 斜率为正 截距为负 直线不经过第二象限 3 arctan 4 11 1 2 4 若为不等式组表示的平面区域 则当从 2A 0 0 2 x y yx a 连续变化到 1 时 动直线 扫过中的那部分区域的面积为 xya A 解析 如图 当从 2 连续变化到 1 时 动直线 扫过中的那部分 四边形axya A OBCD 区域的面积与区域 A 的面积之比为 而区域 A 的面积为 2 故所求的面积ABO 8 7 为 7 4 5 在平面直角坐标系中 点的坐标分别为 如果是 ABC 01 4 2 2 6 P xy 围成的区域 含边界 上的点 则的取值范围是 ABC 1 x y 解析 把看作区域上的点与点 1 0 连线的斜率 结合图形可得结果为 1 x y 2 5 2 6 已知点 A 2 3 B 3 2 P 0 2 过 P 点的直线与线段 AB 有公共点 求直 线的斜率 k 的变化范围 解析 画出图形 数形结合可得结果 2 5 PA k 3 4 PB k k 54 23 求直线方程求直线方程 题型 根据题目条件 选择方程的形式求直线方程题型 根据题目条件 选择方程的形式求直线方程 例 3 等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都在直线 2x y 6 0 上 顶点A的坐 标是 1 1 求边AB AC所在的直线方程 解题思路 从确定直线AB AC 的条件入手 直线AC满足 经过点A且垂直于直线 2x y 6 0 直线AB满足 经过点A且与直线 2x y 6 0 成角 或 AB 等于点 A 到直线 2x y 6 0 4 的距离的倍 2 解法 1 由条件知直线AC垂直于直线 2x y 6 0 设直线AC的方程为 x 2y c 0 把A 1 1 代入得 c 3 故直线AC的方程为 x 2y 3 0 设 B x y 则 10 5 5 5 ABAC 062 10 1 1 22 yx yx 解得或 所以直线AB的方程为或 2 2 B 2 4 B043 yx023 yx 解法 2 直线AC的斜率为 由点斜式并化简得 直线AC的方程为 x 2y 3 0 2 1 考虑直线AB AC的夹角为 设直线AB AC的方向向量分别为 4 1 1 2 knm 则 解得或 所以直线AB的方程为 2 2 1 5 2 cos 2 k k nm3 k 3 1 k 或043 yx023 yx 指引 求直线方程的一般步骤 1 寻找所求直线的满足的两个条件 2 将条件转化 使转 化后的条件更利于列出方程组 3 列方程组求解 例 4 过点 P 0 1 作直线l l 使它被两直线l l1 1 2x y 8 0 和l l2 2 x 3y 10 0 所截得的 线段被点 P 平分的直线的方程 解题思路 1 设出直线l l的点斜式方程 分别与直线l l1 1 l l2 2建立方程组 求出交点坐标 再用中点坐标公式求出 k 即可求出l l的方程 解析 1 由题意可知直线l l的斜率存在 设直线l l的方程为 y kx 1 联立解得交点坐标是 1 28 0 y kx xy 782 22 K A KK 联立解得交点坐标是 1 310 0 y kx xy 7101 31 31 K B KK 而点 P 0 1 是 AB 的中点 解得 k 77 231 0 2 kk 1 4 故所求的直线方程为 x 4y 4 0 解题思路 2 设出l ll l1 1的交点 A 坐标 x1 y1 通过中点坐标公式求出l l与l l2的交点 B 的坐标 然后分别将 A B 两点的坐标带入直线l l1 1 l l2 2的方程 联立方程组进行求解 解析 2 设直线l l与已知l l1 1 l l2 2的交点 A x1 y1 B x2 y2 P 是 AB 的中点 即带入l l2 2的方程的 12 12 0 2 1 2 xx yy 21 21 2 xx yy 得 x1 3 2 y1 10 0 即 x1 3y1 4 0 联立解得 A 4 0 11 11 34 0 28 0 x y xy 故所求的直线方程为 即 x 4y 4 0 04 1 004 yx 指引 1 解法 1 思路明显 但运算量较大 解法 2 使用 设而不求 减少了运算量 2 中点弦问题和两条曲线关于某点对称的问题 都可以考虑运用解法 2 中的 设而不求 7 已知点A 3 4 1 经过点A且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 2 经过点A且与两坐标轴围成的三角形面积是 1 的直线方程为 3 经过点A且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程为 4 经过点A且在x轴上的截距是在y轴上的截距的 2 倍的直线方程为 解析 1 4x 3y 0 或x y 7 0 当直线经过原点时 方程为 4x 3y 0 当直线不经过原点时 设方程为 代1 a y a x 入点 A 的坐标得直线方程x y 7 0 2 2x y 2 0 或 8x 9y 12 0 设直线方程为 由和1 b y a x 1 43 ba 求得的值 2 abba 3 x y 1 0 或x y 7 0 斜率为 1 或 1 由点斜式易得 4 x 2y 11 0 或 4x 3y 0 当直线经过原点时 方程为 4x 3y 0 当直线不经 过原点时 设直线方程为 由和求得的值 1 b y a x 1 43 ba ba2 ba 8 已知直线经过点 分别交轴 轴正半轴于点 A B 其中 O 为原点 求l 1 4 Pxy AOB 的面积最小时 直线的方程 l 解析 设直线 的方程为 l 1 4 xky 令 令 kyx 4 0 得 k xy 4 1 0 得 4 0 0 4 1 kB k A 8 16 8 2 1 4 4 1 2 1 2 1 k kk k OBOAS AOB 当且仅当 即 k 4 时等号成立 但 k0 则的最小值为 nm 21 解析 8 函数 1 图象恒过定点 A 2 1 3 log xy a 当且仅12012 nmnm8 4 4 2 21 21 n m m n nm nmnm 当即时取等号 n m m n4 mn2 5 5 直线 经过 两点 那么直线 的倾斜角的取值范围是 l 1 2 A 1 2 mB Rm l A B C D 0 2 4 0 4 0 2 4 0 解析 D 因为 1 2 1 AB km 6 6 如果实数满足条件 那么的最大值为xy 10 10 10 xy y xy 1 4 2 xy A B C D 21 1 2 1 4 解析 A 不等式表示的区域是以 A 1 0 B 2 1 C 0 1 为顶点的三角形 当直线经过点 C 0 1 时 取最大值 2 1 4 2 xyyx 2 2tyx 2 1 4 2 xy 综合提高训练综合提高训练 7 过点作一直线l 使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为 54 5 求此直线的方程 解 直线l的方程为 5 4 xky 令 得 令得0 x45 ky0 y5 4 k x 解得或5 5 4 45 2 1 k k 5 2 k 5 8 k 所求方程为或 2 5 2 xy4 5 8 xy 8 如图 为了绿化城市 拟在矩形区域 ABCD 内建一个矩形草坪 另外 AEF 内部有一文物 保护区域不能占用 经过测量 AB 100m BC 80m AE 30m AF 20m 应该如何设计才能使草坪 面积最大 解析 建立如图示的坐标系 则 E 30 0 F 0 20 那么线段 EF 的方程就是 在线段 EF 上取点 P m n 作 PQ BC 于 Q 作 PR CD 于 R 设矩1 030 3020 xy x 形 PQCR 的面积是 S 则 S PQ PR 100 m 80 n 又因为 1 030 3020 mn x 所以 故 20 1 30 m n 2 100 8020 3 Smm 2 218050 5 33 m x y AE P F D R C Q l Ox M Q P y m 于是 当 m 5 时 S 有最大值 这时 030 m 3055 51 EP PF 9 已知直线和点 P 3 1 过点 P 的直线与直线 在第一象限交于点 Q 与 xxyl3 ml 轴交于点 M 若为等边三角形 求点 Q 的坐标OMQ 解析 因直线的倾斜角为 xyl 0 60 要使为等边三角形 直线的斜率应为 OMQ m3 设 则 3 xxQ3 3 13 x x 解得 6 39 x 2 331 6 39 Q 10 如图 一列载着危重病人的火车从 O 地出发 沿射线 OA 方向行驶 其中 10 10 sin a 在距离 O 地 5a a 为正常数 千米 北偏东角的 N 处住有一位医学专家 其中 现 120 指挥中心紧急征调离 O