TM5-9哈密顿原理.ppt

1 5 7哈密顿原理 变分法简介哈密顿原理哈密顿原理的应用 一 变分法简介 1 力学体系的变分原理 1 定义 凡力学原理用到变分运算的 叫做力学的变分原理 它是在基本定律基础上用变分法得到的 提出了区分真实运动与同样条件下可能的运动的规则 2 意义 3 力学的变分原理有 如果一个变量由一个或几个函数来确定 这个变量就称为这个或这几个函数的泛函 2 泛函 1 泛函的定义 泛函f随函数y x 的变化而变化 函数y x 称为泛函f的宗量 5 如 连接平面上已知两点a b的曲线弧长l的表达式为 函数y x 不同 则弧长l不同 2 泛函与复合函数的说明 a 复合函数仅随自变量的变化而变化 泛函随函数的变化而变化 b 复合函数只有单一曲线 泛函有许多条曲线 求泛函的极值问题 称为变分问题 数学上的变分法是为了解决最速落径问题发展起来的 1 变分问题 2 最速落径问题 铅直平面内 在所有联接二个定点A B的曲线中 找出一条曲线 使得初速度为零的质点 在重力作用下 自A点无摩擦下滑时 以最短时间到达B点 3 泛函的极值 设曲线AB方程为y y x 质点沿曲线运动速度为 质点自A沿曲线y x 自由滑至B点所需的时间 时间T的值与函数y x 有关 最速落径问题实质就是求泛函T y x 的极值问题 而求关于泛函的极值就是变分问题 即求 4 泛函的变分 1 泛函宗量的变分 这种自变量不变时的变分 称为等时变分 11 11 2 泛函的变分 是指当自变量x不变时 函数的变分 所引起的泛函J的变化 即 泛函的变分 定义为泛函对 参数的导函数在时的值 即为 13 3 泛函取极值的条件 5 变分的运算法则 假设有两个变量A和B 他们一般都是p q t的函数 则 1 变分运算法则 证 iV 15 假定C是S维位形空间的一条曲线 且为质点遵循运动定律的轨道 即动力轨道或真实轨道 C 为临近C的一条曲线 但不是质点的动力轨道 设一质点M沿C运动 它们同时自P1出发 同时到达P2 则在P1和P2点有 叫做不动边界条件 16 1 2 先后顺序可对易 17 2 等时变分与不等时变分 变分与微分运算顺序是否可以对易 18 则 等时变分 不等时变分 二 哈密顿原理 1 位形空间 受有完整约束的力学体系 由s个广义坐标组成的空间 称为位形空间 1 位形空间和运动路径 2 运动路径 这种以时间为参量的轨迹q t 称为运动路径 20 哈密顿作用量S随函数q t 的变化而变化 S是函数q t 的泛函 2 哈密顿作用量和哈密顿原理 1 哈密顿作用量S 从相同的起点q t1 到相同的终点q t2 约束条件所允许的可能运动路径有许多 但在S维位形空间的各种可能的运动路径中 真实运动的路径只能有一条 S定义为拉格朗日函数L的时间定积分 2 哈密顿原理 对于完整保守系 在给定的起始位置和相同的约束条件下 体系的真实运动对应于哈密顿作用量取极值 由拉格朗日方程 推导保守力系作用下的哈密顿原理 力学系统从时刻t1到t2的一切可能 约束条件所允许 的运动中 使哈密顿作用量S取极值 泛函取极值 的运动才是实际发生的运动 22 但 由拉氏方程各项乘 对求和 然后沿着一条可能的运动轨道自P1运动到P2 对t积分 代入上式得 23 因为 24 通过变分 可把微分方程变为简单形式 即哈密顿正则方程 哈密顿用该方程提供一个普遍原理 对量子力学中薛定谔方程的建立和广义相对论提供了桥梁 能量观点和拉格朗日方程 哈密顿原理及正则方程 适用于其它形式的物质运动 如电动力学 统计物理 相对论 量子力学 3 说明 三 哈密顿原理的解体步骤 1 按照求拉格朗日方程的步骤求 2 将L代入中计算 3 正确使用变分规则 求出结果 26 例 用哈密顿原理推出一维线性谐振子的运动方程 解 先得到拉氏函数 由哈密顿原理 例2轻弹簧一端挂一质量为m的质点 另一端为悬点O 弹簧倔强系数为k 不受力时原长为l 摆动限于铅垂平面内 试用哈密顿原理求出质点的运动微分方程 解 s 2 取弹簧的长度r及与y轴夹角 为广义坐标 代入哈密顿原理方程 则 1 式为 30 31 1