复数与复变函数第五章留数ppt课件.ppt

第五章留数 主要内容 本章介绍孤立奇点的概念 分类及其判别 留数的概念 孤立奇点处留数的计算 并将其应用于实函数积分的计算 5 1孤立奇点 一 引言 二 零点 三 孤立奇点 四 孤立奇点的分类 五 如何进行孤立奇点的分类 回顾复积分的计算方法 4 柯西 古萨基本定理 5 Cauchy积分公式 6 Cauchy高阶导数公式 一 引言 问题 如何转化成含有的形式 一 引言 本章重点解决闭路积分问题 如图 考虑积分 1 若在G上连续 在D上解析 则 2 若在D上有唯一的奇点 此时 一 引言 本章重点解决闭路积分问题 如图 考虑积分 1 若在G上连续 在D上解析 则 2 若在D上有唯一的奇点 则 此时 将函数在点的邻域内进行洛朗展开 由 则积分 不难 得到 所谓函数的零点就是方程的根 则称为的m阶零点 二 零点 二 零点 1 为的m阶零点 2 其中 3 在内的泰勒展开式为 充要条件 如何判断零点的阶数 其中 二 零点 充要条件 如何判断零点的阶数 1 为的m阶零点 2 3 在内的泰勒展开式为 是的三阶零点 是的三阶零点 方法一 方法二 三 孤立奇点 邻域内解析 则称为孤立奇点 例 为孤立奇点 例 原点及负实轴上的点均为奇点 但不是孤立奇点 例 1 令 为孤立奇点 但不是孤立奇点 x y o 这说明奇点未必是孤立的 函数的实部 注 若函数的奇点个数有限 则每一奇点都是孤立奇点 四 孤立奇点的分类 根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类 将在内 展开为洛朗级数 则称为的可去奇点 即不含负幂次项 则称为的N阶极点 即含有限个负幂次项 特别地 当时 称为的简单极点 即含无限个负幂次项 则称为的本性奇点 小结 五 如何进行孤立奇点的分类 定理若z0为f z 的孤立奇点 则下列条件等价 可去奇点的判定方法 不含负幂次项 由 如果约定在点的值为1 则在点 就解析了 因此称为的可去奇点 定理若z0为f z 的孤立奇点 则下列条件等价 都是N阶极点的特征 iii z0是的N阶零点 可去奇点作为解析点看 N阶极点的判定方法 定理若z0为f z 的孤立奇点 则 z0为f z 的极点的充要条件是 与不存在极限的区别 零点 2 当时 即 为的可去奇点 为的 n m 阶极点 且为的n阶零点 为的m阶 含有限个负幂次项 且最高负幂次为2 由 可见 为的二阶极点 本性奇点的判定方法 定理z0为f z 的本性奇点 考察极限 含无穷多个负幂次项 由 是的一阶极点 是的二阶极点 故是的二阶极点 将在的去心邻域内展成洛朗级数 有 因此 为的二阶极点 且是的二阶零点 总结 孤立奇点 可去奇点 N阶极点 本性奇点 Laurent级数的特点 存在且为有限值 不存在且不为 无负幂项 含无穷多个负幂项 小结 一 引言 本章重点解决闭路积分问题 如图 考虑积分 1 若在G上连续 在D上解析 则 2 若在D上有唯一的奇点 则 此时 将函数在点的邻域内进行洛朗展开 由 则积分 不难 得到 5 2留数 一留数的概念 二留数的计算方法 5 2留数 一 留数的概念 将在的去心邻域 称为在处的留数 记作 内展开成洛朗级数 两边积分 其中 C是的去心邻域内绕的一条简单闭曲线 而且在使用该方法时 并不需要知道奇点的类型 二 留数的计算方法 1 可去奇点 2 本性奇点 则 只好 将在的去心 邻域内展开成洛朗级数 只需将其中负一次幂的系数求出来就可以了 2 对于不是本性奇点的情况 该方法有时也是很有效的 则 则 2 若 且在点解析 则 二 留数的计算方法 3 极点 罗比达法则 将在的去心邻域内洛朗展开 有 将在的去心邻域展开 得 由于是三阶极点 解 方法二利用极点的留数计算法则求解 罗比达法则 因此有 好麻烦 解 方法二利用极点的留数计算法则求解 巧合 那么 注 1 此类函数求留数 可考虑利用洛朗展式 2 若此类函数求闭路积分 则可考虑利用高阶导公式 而不一定非得使用后面即将介绍的留数定理 5 3留数定理及其应用 一留数定理 二留数在定积分计算中的应用 一 留数定理 处处解析 且连续到边界C 根据复合闭路定理有 则 利用留数定理计算复围线积分的步骤 1明确积分曲线及内部奇点 2确定奇点类型 计算留数 3应用留数定理 求积分 罗比达法则 为被积函数的二阶极点 方法二 利用高阶导数公式求解 方法三利用洛朗展式求解 解 将被积函数在的去心邻域展开 极点z 3在的外部 分别是f z 的3级和1级极点 都在的内部 而 是的正向 于是 根据留数基本定理 在高等数学中 以及许多实际问题中 往往要求计算出一些定积分或反常积分的值 而这些积分中的被积函数的原函数 不能用初等函数表示出来 例如 或者有时可以求出原函数 但计算也往往非常复杂 例如 二 留数在定积分计算中的应用 根据留数定理 用留数来计算定积分是计算定积分 显得有用 即使寻常的方法可用 如果用留数 也往往 首先 被积函数必须要与某个解析函数密切相关 这一 的一个有效措施 特别是当被积的原函数不易求得时更 感到很方便 当然这个方法的使用还受到很大的限制 点 一般讲来 关系不大 因为被积函数常常是初等函 数 而初等函数是可以推广到复数域中去的 其次 定积分的积分域是区间 而用留数来计算要牵涉到把 问题化为沿闭曲线的积分 这是比较困难的一点 下面 来阐述怎样利用复数求某几种特殊形式的定积分的值 二 留数在定积分计算中的应用 思想方法 封闭路线的积分 两个重要工作 1 积分区域的转化 2 被积函数的转化 把定积分化为一个复变函数沿某条 1 形如的积分 则 即是以u v为变量 的二元多项式函数或者分式函数 方法 其中 是在内的孤立奇点 2 例计算积分 解积分可以转化为 在复平面内有两个零点 在高等数学中此积分一般是采用万能代换求解 下面用复变函数的方法求解该题 由于因此从而被积函数 1级极点z1 所以 在单位圆周内只有一个 其中 P x Q x 为多项式 2 分母Q x 的次数比分子P x 的次数至少高二次 3 分母Q x 无实零点 推导 略 其中 是在上半平面内的孤立奇点 要求 1 方法 2 形如的积分 2 积分区域的转化 在上半平面取一条分段光滑的曲线 使其与实轴的 一部分构成一条简单闭曲线 包含f z 在上半平面 的所有有限孤立奇点 并使f z 在其内部除去 这种方法称为围道积分法 1 被积函数的转化 当z在实轴上时 f z f x f x f z 有限孤立奇点外处处解析 2 3 在上半平面内 i与3i为一阶极点 3 形如的积分 2 分母Q x 的次数比分子P x 的次数至少高一次 3 分母Q x 无实零点 其中 是在上半平面内的孤立奇点 方法 即 在上半平面内 1 3i为一阶极点 2 3 2 留数 计算方法 留数定理 留数在定积分计算中的应用 本章内容总结 若为的m阶极点 附 关于极点的留数计算法则的说明 其中 则 附 关于无穷远点的奇点类型判别以及留数的定义 回顾 则对应于 对应于 附 关于无穷远点的奇点类型判别以及留数的定义 函数在无穷远点的邻域内的洛朗展式 由在原点的邻域内的洛朗展式 得在无穷远点的邻域内的洛朗展式 其中 函数在无穷远点的邻域内的洛朗展式 附 关于无穷远点的奇点类型判别以及留数的定义 1 可去奇点 2 N阶极点 3 本性奇点 无穷远点的奇点类型的划分 不含正幂项 含有限多的正幂项 且最高幂次为N 含有无穷多的正幂项 此时 函数在无穷远点的邻域内的洛朗展式 附 关于无穷远点的奇点类型判别以及留数的