二次函数与一元二次方程ppt课件.ppt

22 2二次函数与一元二次方程 第二十二章二次函数 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 学习目标 1 通过探索 理解二次函数与一元二次方程 不等式 之间的联系 难点 2 能运用二次函数及其图象 性质确定方程的解或不等式的解集 重点 3 了解用图象法求一元二次方程的近似根 导入新课 情境引入 问题如图 以40m s的速度将小球沿与地面成30 角的方向击出时 球的飞行路线将是一条抛物线 如果不考虑空气的阻力 球的飞行高度h 单位 m 与飞行时间t 单位 s 之间具有关系 h 20t 5t2 考虑以下问题 讲授新课 1 球的飞行高度能否达到15m 如果能 需要多少飞行时间 15 1 3 当球飞行1s或3s时 它的高度为15m 解 解方程15 20t 5t2 t2 4t 3 0 t1 1 t2 3 你能结合上图 指出为什么在两个时间求的高度为15m吗 h 20t 5t2 2 球的飞行高度能否达到20m 如果能 需要多少飞行时间 你能结合图形指出为什么只在一个时间球的高度为20m 20 2 解方程 20 20t 5t2 t2 4t 4 0 t1 t2 2 当球飞行2秒时 它的高度为20米 h 20t 5t2 3 球的飞行高度能否达到20 5m 如果能 需要多少飞行时间 你能结合图形指出为什么球不能达到20 5m的高度 20 5 解方程 20 5 20t 5t2 t2 4t 4 1 0 因为 4 2 4 4 1 0 所以方程无解 即球的飞行高度达不到20 5米 h 20t 5t2 4 球从飞出到落地要用多少时间 0 20t 5t2 t2 4t 0 t1 0 t2 4 当球飞行0秒和4秒时 它的高度为0米 即0秒时球地面飞出 4秒时球落回地面 h 20t 5t2 3 球的飞行高度能否达到20 5m 如果能 需要多少飞行时间 你能结合图形指出为什么球不能达到20 5m的高度 20 5 解方程 20 5 20t 5t2 t2 4t 4 1 0 因为 4 2 4 4 1 0 所以方程无解 即球的飞行高度达不到20 5米 h 20t 5t2 从上面发现 二次函数y ax2 bx c何时为一元二次方程 一般地 当y取定值且a 0时 二次函数为一元二次方程 如 y 5时 则5 ax2 bx c就是一个一元二次方程 所以二次函数与一元二次方程关系密切 例如 已知二次函数y x2 4x的值为3 求自变量x的值 可以解一元二次方程 x2 4x 3 即x2 4x 3 0 反过来 解方程x2 4x 3 0又可以看作已知二次函数y x2 4x 3的值为0 求自变量x的值 思考观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗 如果有 公共点的横坐标是多少 当x取公共点的横坐标时 函数的值是多少 由此你能得出相应的一元二次方程的根吗 1 y x2 x 2 2 y x2 6x 9 3 y x2 x 1 观察图象 完成下表 0个 1个 2个 x2 x 1 0无解 0 x2 6x 9 0 x1 x2 3 2 1 x2 x 2 0 x1 2 x2 1 知识要点 有两个交点 有两个不相等的实数根 b2 4ac 0 有两个重合的交点 有两个相等的实数根 b2 4ac 0 没有交点 没有实数根 b2 4ac 0 二次函数y ax2 bx c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2 bx c 0根的关系 例1 已知关于x的二次函数y mx2 m 2 x 2 m 0 1 求证 此抛物线与x轴总有两个交点 2 若此抛物线与x轴总有两个交点 且它们的横坐标都是整数 求正整数m的值 1 证明 m 0 m 2 2 4m 2 m2 4m 4 8m m 2 2 m 2 2 0 0 此抛物线与x轴总有两个交点 3 球的飞行高度能否达到20 5m 如果能 需要多少飞行时间 你能结合图形指出为什么球不能达到20 5m的高度 20 5 解方程 20 5 20t 5t2 t2 4t 4 1 0 因为 4 2 4 4 1 0 所以方程无解 即球的飞行高度达不到20 5米 h 20t 5t2 2 解 令y 0 则 x 1 mx 2 0 所以x 1 0或mx 2 0 解得x1 1 x2 当m为正整数1或2时 x2为整数 即抛物线与x轴总有两个交点 且它们的横坐标都是整数 所以正整数m的值为1或2 例1 已知关于x的二次函数y mx2 m 2 x 2 m 0 1 求证 此抛物线与x轴总有两个交点 2 若此抛物线与x轴总有两个交点 且它们的横坐标都是整数 求正整数m的值 变式 已知 抛物线y x2 ax a 2 1 求证 不论a取何值时 抛物线y x2 ax a 2与x轴都有两个不同的交点 2 设这个二次函数的图象与x轴相交于A x1 0 B x2 0 且x1 x2的平方和为3 求a的值 1 证明 a2 4 a 2 a 2 2 4 0 不论a取何值时 抛物线y x2 ax a 2与x轴都有两个不同的交点 2 解 x1 x2 a x1 x2 a 2 x1 2 x2 2 x1 x2 2 2x1 x2 a2 2a 4 3 a 1 例2如图 丁丁在扔铅球时 铅球沿抛物线运行 其中x是铅球离初始位置的水平距离 y是铅球离地面的高度 1 当铅球离地面的高度为2 1m时 它离初始位置的水平距离是多少 2 铅球离地面的高度能否达到2 5m 它离初始位置的水平距离是多少 3 铅球离地面的高度能否达到3m 为什么 解 1 由抛物线的表达式得即解得即当铅球离地面的高度为2 1m时 它离初始位置的水平距离是1m或5m 1 当铅球离地面的高度为2 1m时 它离初始位置的水平距离是多少 2 铅球离地面的高度能否达到2 5m 它离初始位置的水平距离是多少 2 由抛物线的表达式得即解得即当铅球离地面的高度为2 5m时 它离初始位置的水平距离是3m 3 由抛物线的表达式得即因为所以方程无实根 所以铅球离地面的高度不能达到3m 3 铅球离地面的高度能否达到3m 为什么 一元二次方程与二次函数紧密地联系起来了 例3 求一元二次方程的根的近似值 精确到0 1 分析 一元二次方程x 2x 1 0的根就是抛物线y x 2x 1与x轴的交点的横坐标 因此我们可以先画出这条抛物线 然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标 这种解一元二次方程的方法叫作图象法 解 画出函数y x 2x 1的图象 如下图 由图象可知 方程有两个实数根 一个在 1与0之间 另一个在2与3之间 先求位于 1到0之间的根 由图象可估计这个根是 0 4或 0 5 利用计算器进行探索 见下表 观察上表可以发现 当x分别取 0 4和 0 5时 对应的y由负变正 可见在 0 5与 0 4之间肯定有一个x使y 0 即有y x2 2x 1的一个根 题目只要求精确到0 1 这时取x 0 4或x 0 5都符合要求 但当x 0 4时更为接近0 故x1 0 4 同理可得另一近似值为x2 2 4 一元二次方程的图象解法 利用二次函数的图象求一元二次方程2x2 x 15 0的近似根 1 用描点法作二次函数y 2x2 x 15的图象 2 观察估计二次函数y 2x2 x 15的图象与x轴的交点的横坐标 由图象可知 图象与x轴有两个交点 其横坐标一个是 3 另一个在2与3之间 分别约为 3和2 5 可将单位长再十等分 借助计算器确定其近似值 3 确定方程2x2 x 15 0的解 由此可知 方程2x2 x 15 0的近似根为 x1 3 x2 2 5 例4 已知二次函数y ax2 bx c的图象如图所示 则一元二次方程ax2 bx c 0的近似根为 A x1 2 1 x2 0 1B x1 2 5 x2 0 5C x1 2 9 x2 0 9D x1 3 x2 1 解析 由图象可得二次函数y ax2 bx c图象的对称轴为x 1 而对称轴右侧图象与x轴交点到原点的距离约为0 5 x2 0 5 又 对称轴为x 1 则 1 x1 2 1 0 5 2 5 故x1 2 5 x2 0 5 故选B B 解答本题首先需要根据图象估计出一个根 再根据对称性计算出另一个根 估计值的精确程度 直接关系到计算的准确性 故估计尽量要准确 问题1函数y ax2 bx c的图象如图 那么方程ax2 bx c 0的根是 不等式ax2 bx c 0的解集是 不等式ax2 bx c 0的解集是 y x1 1 x2 3 x3 1 x 3 合作探究 拓广探索 函数y ax2 bx c的图象如图 那么方程ax2 bx c 2的根是 不等式ax2 bx c 2的解集是 不等式ax2 bx c 2的解集是 3 1 O x 2 4 2 2 2 x1 2 x2 4 x4 2 x 4 y 问题2 如果不等式ax2 bx c 0 a 0 的解集是x 2的一切实数 那么函数y ax2 bx c的图象与x轴有 个交点 坐标是 方程ax2 bx c 0的根是 1 2 0 x 2 2 O x 问题3 如果方程ax2 bx c 0 a 0 没有实数根 那么函数y ax2 bx c的图象与x轴有 个交点 不等式ax2 bx c 0的解集是多少 0 解 1 当a 0时 ax2 bx c 0无解 2 当a 0时 ax2 bx c 0的解集是一切实数 3 1 O x 试一试 利用函数图象解下列方程和不等式 1 x2 x 2 0 x2 x 2 0 x2 x 20 x2 4x 40 x2 x 2 0 x1 1 x2 2 1 x 2 x1 1 x2 2 x2 4x 4 0 x 2 x 2的一切实数 x无解 x2 x 2 0 x无解 x无解 x为全体实数 知识要点 有两个交点x1 x2 x1 x2 有一个交点x0 没有交点 二次函数y ax2 bx c的图象与x轴交点的坐标与一元二次不等式的关系 y 0 x1 x x2 y 0 x2 x或x x2 y 0 x1 x x2 y 0 x2 x或x x2 y 0 x0之外的所有实数 y 0 无解 y 0 x0之外的所有实数 y 0 无解 y 0 所有实数 y 0 无解 y 0 所有实数 y 0 无解 判断方程ax2 bx c 0 a 0 a b c为常数 一个解x的范围是 A 3 x 3 23B 3 23 x 3 24C 3 24 x 3 25D 3 25 x 3 26 C 1 根据下列表格的对应值 当堂练习 2 若二次函数y x2 2x k的部分图象如图所示 且关于x的一元二次方程 x2 2x k 0的一个解x1 3 则另一个解x2 1 3 一元二次方程3x2 x 10 0的两个根是x1 2 x2 那么二次函数y 3x2 x 10与x轴的交点坐标是 2 0 0 4 若一元二次方程无实根 则抛物线图象位于 A x轴上方B 第一 二 三象限C x轴下方D 第二 三 四象限 A 5 二次函数y kx2 6x 3的图象与x轴有交点 则k的取值范围是 A k 3B k 3且k 0C k 3D k 3且k 0 D 6 已知函数y k 3 x2 2x 1的图象与x轴有交点 求k的取值范围 解 当k 3时 函数y 2x 1是一次函数 一次函数y 2x 1与x轴有一个交点 k 3 当k 3时 y k 3 x2 2x 1是二次函数 二次函数y k 3 x2 2x 1的图象与x轴有交点 b2 4ac 0 b2 4ac 22 4 k 3 4k 16 4k 16 0 k 4且k 3 综上所述 k的取值范围是k 4 7 某学校初三年级的一场篮球比赛中 如图 队员甲正在投篮 已知球出手时距地面米 与篮框中心的水平距离为7米 当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米 设篮球运行轨迹为抛物线 篮框距地面3米 1 建立如图所示的平面直角坐标系 问此球能否准确投中 解 1 由条件可得到出手点 最高点和篮框的坐标分别为A 0 B 4 4 C 7 3 其中B是抛物线的顶点 设二次函数关系式为y a x h 2 k 将点A B的坐标代入 可得y x 4 2 4 将点C的坐标代入上式 得左边 3 右边 7 4 2 4 3 左边 右边 即点C在抛物线上 所以此球一定能投中 2 此时 若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截 已知乙的最大摸高为3