最短路径 ppt课件.ppt

1 我们把研究关于 两点之间 线段最短 垂线段最短 等问题 称它们为最短路径问题 最短路径问题在现实生活中经常碰到 今天我们就通过几个实际问题 具体体会如何运用所学知识选择最短路径 新课引入 2 第十三章轴对称 13 4课题学习最短路径问题 3 问题1相传 古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者 名叫海伦 有一天 一位将军专程拜访海伦 求教一个百思不得其解的问题 如图 牧马人从A地出发 到一条笔直的河边l饮马 然后到B地 牧马人到河边的什么地方饮马 可使所走的路径最短 4 精通数学 物理学的海伦稍加思索 利用轴对称的知识回答了这个问题 这个问题后来被称为 将军饮马问题 你能将这个问题抽象为数学问题吗 5 l 当点C在直线l的什么位置时 AC与BC的和最小 分析 A B l 6 如图 点A B分别是直线l异侧的两个点 如何在l上找到一个点 使得这个点到点A 点B的距离的和最短 联想 两点之间 线段最短 l 7 1 这两个问题之间 有什么相同点和不同点 2 我们能否把左图A B两点转化到直线l的异侧呢 3 利用什么知识可以实现转化目标 分析 8 l 如图 作点B关于直线l的对称点B 当点C在直线l的什么位置时 AC与CB 的和最小 在连接AB 两点的线中 线段AB 最短 因此 线段AB 与直线l的交点C的位置即为所求 9 在直线l上任取另一点C 连接AC BC B C 直线l是点B B 的对称轴 点C C 在对称轴上 BC B C BC B C AC BC AC B C AB 在 AB C 中 AB AC B C AC BC AC B C 即AC BC最小 l 证明 如图 10 在解决最短路径问题时 我们通常利用轴对称变换 把复杂问题转化为容易解决的问题 从而作出最短路径的选择 方法总结 11 问题1归纳 12 问题2 造桥选址问题 如图 A和B两地在同一条河的两岸 现要在河上造一座桥MN 桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短 假定河的两岸是平行的直线 桥要与河垂直 思考 你能把这个问题转化为数学问题吗 13 如图假定任选位置造桥MN 连接AM和BN 从A到B的路径是AM MN BN 那么折线AMNB在什么情况下最短呢 a b 由于河宽是固定的 因此当AM NB最小时 AM MN NB最小 14 分析 如图 如果将点A沿与河岸垂直的方向平移到点A 使AA 等于河宽 则AA MN AM A N 问题转化为 当点N在直线b的什么位置时 A N NB最小 参考右图 利用 两点之间 线段最短 可以解决 15 如图 沿垂直于河岸的方向平移A到A 使AA 等于河宽 连接A B交河岸于点N 在点N处造桥MN 此时路径AM MN BN最短 a b 解 16 另任意造桥M N 连接AM BN A N 由平移性质可知 AM A N AM A N AA MN M N AM MN BN AA A B AM M N BN AA A N BN 在 A N B中 由线段公理知A N BN A B AM M N BN AM MN BN 证明 a b 17 总结归纳 在解决最短路径问题时 我们通常利用轴对称 平移等变换 把较复杂的问题转化为容易解决的问题 从而作出最短路径的选择 18 问题2归纳 19 小结归纳 转化 轴对称变换 平移变换 两点之间 线段最短 20 1 如图 直线l是一条河 P Q是两个村庄 欲在l上的某处修建一个水泵站 向P Q两地供水 现有如下四种铺设方案 图中实线表示铺设的管道 则所需要管道最短的是 D 尝试应用 21 2 如图 牧童在A处放马 其家在B处 A B到河岸的距离分别为AC和BD 且AC BD 若点A到河岸CD的中点的距离为500米 则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家 所走的最短距离是米 1000 22 23 4 如图所示 M N是 ABC边AB与AC上两点 在BC边上求作一点P 使 PMN的周长最小 24 归纳总结 本节课你有什么收获 学习了利用轴对称解决最短路径问题 感悟和体会转化的思想 25 补偿提高 如图 一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客 然后将游客送往河岸BC上 再返回P处 请画出旅游船的最短路径 26 思路分析 由于两点之间线段最短 所以首先可连接PQ 线段PQ为旅游船最短路径中的必经线路 将河岸抽象为一条直线BC 这样问题就转化为 点P Q在直线BC的同侧 如何在BC上找到一点R 使PR与QR的和最小 27 新知1 运用轴对称解决距离最短问题 运用轴对称及两点之间线段最短的性质 将所求线段之和转化为一条线段的长 是解决距离之和最小问题的基本思路 不论题目如何变化 运用时要抓住直线同旁有两点 这两点到直线上某点的距离和最小这个核心 所有作法都相同 28 新知2 利用平移确定最短路径选址 解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时 可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零 转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题 在解决最短路径问题时 我们通常利用轴对