第三章函数的应用

第 1 页 共 9 页 第三章第三章 函数的应用练习题函数的应用练习题 一 选择题一 选择题 1 下列方程在 0 1 内存在实数解的是 A x2 x 3 0B 1 0 C x ln x 0 D x2 lg x 0 x 1 2 1 2 若函数 f x 是定义在 R 上的偶函数 在 0 上是减函数 且一个零点是 2 则使得 f x 0 的 x 的取值范围是 A 2 B 2 2 C 2 D 2 2 3 若函数 f x ax x a a 0 且 a 1 有两个零点 则实数 a 的取值范围是 A a a 1 B a a 2 C a 0 a 1 D a 1 a 2 4 若函数 f x 的图象是连续不断的 且 f 0 0 f 1 f 2 f 4 0 则下列命题正确的是 A 函数 f x 在区间 0 1 内有零点 B 函数 f x 在区间 1 2 内有零点 C 函数 f x 在区间 0 2 内有零点 D 函数 f x 在区间 0 4 内有零点 5 函数 f x 的零点个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 0 ln 2 0 3 2 2 xx xxx 6 图中的图象所表示的函数的解析式为 A y x 1 0 x 2 B y x 1 0 x 2 2 3 2 3 2 3 C y x 1 0 x 2 D y 1 x 1 0 x 2 2 3 7 当 x 2 4 时 下列关系正确的是 A x2 2xB log2 x x2C log2 x D 2x log2 x x 1 8 某种动物繁殖数量 y 只 与时间 x 年 的关系为 y alog2 x 1 设这种动物第 1 年有 100 只 则第 7 年它们繁殖到 A 300 只 B 400 只C 500 只 D 600 只 9 某商场出售一种商品 每天可卖 1 000 件 每件可获利 4 元 据经验 若这种商品每件每 降价 0 1 元 则比降价前每天可多卖出 100 件 为获得最好的经济效益每件单价应降低 元 A 2 元B 2 5 元C 1 元 D 1 5 元 10 某市的一家报刊摊点 从报社买进一种晚报的价格是每份是 0 20 元 卖出的价格是每份 0 30 元 卖不掉的报纸可以以每份 0 05 元的价格退回报社 在一个月 30 天计算 里 有 20 天每天 第 2 页 共 9 页 卖出量可达 400 份 其余 10 天每天只能卖出 250 份 但每天从报社买进的份数必须相同 为使每 月所获利润最大 这个摊主每天从报社买进 份晚报 A 250 B 400C 300D 350 二 填空题二 填空题 11 已知函数 f x x2 ax a 1 的两个零点一个大于 2 一个小于 2 则实数 a 的取值范围 是 12 用 100 米扎篱笆墙的材料扎一个矩形羊圈 欲使羊的活动范围最大 则应取矩形 长 米 宽 米 13 在国内投寄平信 将每封信不超过 20 克重付邮资 80 分 超过 20 克重 而不超过 40 克重付邮资 160 分 将每封信的应付邮资 分 表示为信重 x 0 x 40 克 的函数 其 表达式为 14 为了预防流感 某学校对教室用药熏消毒法进行消 毒 已知药物释放过程中 室内每立方米空气中的含药量 y 毫克 与时间 t 小时 成 正比 药物释放完毕后 y 与 t 的函数关系式为 a 为常数 如图所示 根据 at y 16 1 图中提供的信息 回答下列问题 1 从药物释放开始 每立方米空气中的含药量 y 毫克 与时间 t 小时 之间的函数关系式为 2 据测定 当空气中每立方米的含药量降低到 0 25 毫克以下时 学生方可进教室 那从药物释放 开始 至少需要经过 小时后 学生才能回到教室 15 已知 f x x 1 x 1 若关于 x 的方程 f x x m 有三个不同的实数解 则实数 m 的取值范围 16 设正 ABC 边长为 2a 点 M 是边 AB 上自左至右的 一个动点 过点 M 的直线 l 垂直与 AB 设 AM x ABC 内位于直线 l 左侧的阴影面积 为 y y 表示成 x 的函数表达式为 三 解答题三 解答题 17 某农家旅游公司有客房 300 间 日房租每间为 20 元 每天都客满 公司欲提高档次 并 提高租金 如果每间客房日房租每增加 2 元 客房出租数就会减少 10 间 若不考虑其他因素 旅 社将房间租金提高到多少时 每天客房的租金总收入最高 18 A 市和 B 市分别有某种库存机器 12 台和 6 台 现决定支援 C 市 10 台机器 D 市 8 台机 器 已知从 A 市调运一台机器到 C 市的运费为 400 元 到 D 市的运费为 800 元 从 B 市调运一台 机器到 C 市的运费为 300 元 到 D 市的运费为 500 元 1 若要求总运费不超过 9 000 元 共有几种调运方案 2 求出总运费最低的调运方案 最低运费是多少 19 设计一幅宣传画 要求画面面积为 4 840 cm2 画面的宽与高的比为 1 画面的上 第 14 题 第 3 页 共 9 页 下各留 8 cm 空白 左 右各留 5 cm 空白 怎样确定画面的高与宽尺寸 能使宣传画所用纸张面积 最小 20 某地西红柿从 2 月 1 号起开始上市 通过市场调查 得到西红柿种植成本 Q 单位 元 100 kg 与上市时间 t 距 2 月 1 日的天数 单位 天 的数据如下表 时间 t50110250 成本 Q150108150 1 根据上表数据 从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关 系 Q at b Q at2 bt c Q a bt Q a logb t 2 利用你选取的函数 求西红柿种植成本 Q 最低时的上市天数及最低种植成本 第 4 页 共 9 页 第 5 页 共 9 页 参考答案参考答案 一 选择题一 选择题 1 C 解析 解析 易知 A B D 选项对应的函数在区间 0 1 内的函数值恒为负或恒为正 当 x 是接近 0 的正数时 x lnx 0 当 x 接近 1 时 x lnx 0 所以选 C 2 1 2 1 2 D 解析 解析 因为函数 f x 是定义在 R 上的偶函数且一个零点是 2 则另一个零点为 2 又在 0 上是减函数 则 f x 0 的 x 的取值范围是 2 2 3 A 解析 解析 设函数 y ax a 0 且 a 1 和函数 y x a 则函数 f x ax x a a 0 且 a 1 有 两个零点 就是函数 y ax a 0 且 a 1 与函数 y x a 的图象有两个交点 由图象可知当 0 a 1 时两函数只有一个交点 不符合 当 a 1 时 因为函数 y ax a 1 的图象过点 0 1 而直线 y x a 所过的点 0 a 一定在点 0 1 的上方 所以一定有两个交点 所以实数 a 的取值范 围是 a a 1 4 D 解析 解析 因为 f 0 0 f 1 f 2 f 4 0 则 f 1 f 2 f 4 恰有一负两正或三个都是负的 函 数的图象与 x 轴相交有多种可能 例如 所以函数 f x 必在区间 0 4 内有零点 正确选项为 D 第 4 题 第 6 页 共 9 页 5 C 解析 解析 当 x 0 时 令 x2 2x 3 0 解得 x 3 当 x 0 时 令 2 ln x 0 得 x 100 所以已知函数有两个零点 选 C 还可以作出 f x 的图象 依图判断 6 B 解析 解析 取特殊值 x 1 由图象知 y f 1 据此否定 A D 在取 x 0 由图象知 y f 0 3 2 0 据此否 C 故正确选项是 B 或者勾画选项 B 的函数图象亦可判断 7 B 解析解析 当 x 2 4 时 x2 4 16 2x 4 16 log2 x 1 2 显然 x 1 2 1 4 1 C D 不正确 但对于选项 A 若 x 3 时 x2 9 23 8 故 A 也不正确 只有选项 B 正确 8 A 解析 解析 由题意知 100 alog2 1 1 得 a 100 则当 x 7 时 y 100 log2 7 1 100 3 300 9 D 解析 解析 设每件降价 0 1x 元 则每件获利 4 0 1x 元 每天卖出商品件数为 1 000 100 x 经济效益 y 4 0 1x 1 000 100 x 10 x2 300 x 4 000 10 x2 30 x 225 225 4 000 10 x 15 2 6 250 x 15 时 ymax 6 250 每件单价降低 1 5 元 可获得最好的经济效益 10 B 解析 解析 若设每天从报社买进 x 250 x 400 x N 份 则每月共可销售 20 x 10 250 份 每份可获利润 0 10 元 退回报社 10 x 250 份 每份亏损 0 15 元 建立月纯利润函数 f x 再求 f x 的最大值 可得一个月的最大利润 设每天从报社买进 x 份报纸 每月获得的总利润为 y 元 则依题意 得 y 0 10 20 x 10 250 0 15 10 x 250 0 5x 625 x 250 400 函数 y 在 250 400 上单调递增 x 400 时 ymax 825 元 第 7 页 共 9 页 即摊主每天从报社买进 400 份时 每月所获得的利润最大 最大利润为 825 元 二 填空题二 填空题 11 参考答案 参考答案 1 解析 解析 函数 f x x2 ax a 1 的两个零点一个大于 2 一个小于 2 即 f 2 0 可求实数 a 的取值范围是 1 12 参考答案 参考答案 长宽分别为 25 米 解析 解析 设矩形长 x 米 则宽为 100 2x 50 x 米 所以矩形面积 y x 50 x 2 1 x2 50 x x 25 2 625 矩形长宽都为 25 米时 矩形羊圈面积最大 13 参考答案 参考答案 f x 40 20 160 20 0 08 x x 解析 解析 在信件不超过 20 克重时 付邮资 80 分 应视为自变量在 0 x 20 范围内 函数值是 80 分 在信件超过 20 克重而不超过 40 克重时 付邮资 160 分 应视为自变量在 20 x 40 范围 内 函数值是 160 分 遂得分段函数 14 参考答案 参考答案 1 y 2 0 6 1 0 16 1 1 0 010 1 0 t tt t 解析 解析 1 据图象 0 t 0 1 时 正比例函数 y kt 图象过点 0 1 1 所以 k 10 即 y 10t 当 t 0 1 时 y 与 t 的函数 y a 为常数 的图像过点 0 1 1 即得 at 16 1 1 所以 a 0 1 即 y a 1 0 16 1 1 0 16 1 t 2 依题意得 0 25 再由 y lg x 是增函数 得 t 0 1 lg lg lg 0 即 1 0 16 1 t 16 1 4 1 4 1 得 t 0 1 0 5 所以 t 0 6 第 8 页 共 9 页 15 参考答案 参考答案 1 m 4 5 解析 解析 由 f x x 1 x 1 得函数 y f x 的图象 如图 按题意 直线 y x m 与曲线 y x 1 x 1 有三个不 同的公共点 求直线 y x m 在 y 轴上的截距 m 的取值范 围 由 得 x2 x m 1 0 1 4 m 1 5 4m 由 0 得 m 易得实数 m 的取值范围是 1 m 4 5 4 5 16 参考答案 参考答案 y axaaaxx axx 2 332 2 3 0 2 3 22 2 解析 解析 当直线 l 平移过程中 分过 AB 中点前 后两段建立 y 与 x 的函数表达式 1 当 0 x a 时 y x x x2 2 1 3 2 3 2 当 a x 2a 时 y 2a a 2a x 2a x 2 1 3 2 1 3 x2 2ax a2 2 3 33 所以 y axaaaxx axx 2 332 2 3 0 2 3 22 2 三 解答题三 解答题 17 参考答案 参考答案 每间客房日租金提高到 40 元 解析 设客房日租金每间提高 2x 元 则每天客房出租数为 300 10 x 由 x 0 且 300 10 x 0 得 0 x 30 设客房租金总收入 y 元 y 20 2x 300 10 x 20 x 10 2 8 000 0 x 30 当 x 10 时 ymax 8 000 即当每间客房日租金提高到 20 10 2 40 元时 客房租金总收入 最高 为每天 8 000 元 18 参考答案 参考答案 设从 B 市调运 x 0 x 6 台到 C 市 则总运费 x2 1 x 1 1 x2 x 1 y 1 x2 y x m 第 15 题 第 9 页 共 9 页 y 300 x 500 6 x 400 10 x 800 8 6 x 200 x 8 600 0 x 6 1 若 200 x 8 600 9 000 则 x 2 所以 x 0 1 2 故共有三种调运方案 2 由 y 200 x 8 600 0 x 6 可知 当 x 0 时 总运费最低 最低费用是 8 600 元 19 参考答案 参考答案 1 根据表中数据 表述西红柿种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系的函数决 不是单调函数 这与函数 Q at b Q a bt Q a logb t 均具有单调性不符 所以 在 a 0 的前提下 可选取二次函数 Q at2 bt c 进行描述 把表格提供的三对数据代入该解析式得到 解得 a b c 150250500 62 108110100 12 15050500 2 cba cba cba 200 1 2 3 2 425 所以 西红柿种植成本 Q 与上市时间 t 的函数关系是 Q