弹性力学习题提示和答案

弹性力学简明教程弹性力学简明教程 习题提示和参考答案 第二章 2 第三章 3 第四章 5 第五章 6 第六章 8 第七章 9 第八章 10 第九章 12 2 第二章第二章 习题的提示与答案习题的提示与答案 2 1 是 2 2 是 2 3 按习题 2 1 分析 2 4 按习题 2 2 分析 2 5 在的条件中 将出现 2 3 阶微量 当略去 3 阶微量后 得出的切应力互0M 等定理完全相同 2 6 同上题 在平面问题中 考虑到 3 阶微量的精度时 所得出的平衡微分方程都相同 其区别只是在 3 阶微量 即更高阶微量 上 可以略去不计 2 7 应用的基本假定是 平衡微分方程和几何方程 连续性和小变形 物理方程 理想 弹性体 2 8 在大边界上 应分别列出两个精确的边界条件 在小边界 即次要边界 上 按照 圣维南原理可列出 3 个积分的近似边界条件来代替 2 9 在小边界 OA 边上 对于图 2 15 a b 问题的三个积分边界条件相同 因此 这两个问题为静力等效 2 10 参见本章小结 2 11 参见本章小结 2 12 参见本章小结 2 13 注意按应力求解时 在单连体中应力分量必须满足 xyxy 1 平衡微分方程 2 相容方程 3 应力边界条件 假设 SS 2 14 见教科书 2 15 见教科书 2 16 见教科书 2 17 取 3 2 2 3 12 0 6 4 yx xy MF yxy Ih QSF h y bIh 它们均满足平衡微分方程 相容方程及 x 0 和的应力边界条件 因此 它们是该 2 h y 问题的正确解答 2 18 见教科书 2 19 提示 求出任一点的位移分量和 及转动量 再令 便可得出 uv 0 xy 3 第三章第三章 习题的提示与答案习题的提示与答案 3 1 本题属于逆解法 已经给出了应力函数 可按逆解法步骤求解 1 校核相容条件是否满足 2 求应力 3 推求出每一边上的面力从而得出这个应力函数所能解决的问题 yx ff 3 2 用逆解法求解 由于本题中 l h x 0 l 属于次要边界 小边界 可将小边界上 的面力化为主矢量和主矩表示 3 3 见 3 1 例题 3 4 本题也属于逆解法的问题 首先校核是否满足相容方程 再由求出应力后 并求 对应的面力 本题的应力解答如习题 3 10 所示 应力对应的面力是 主要边界 0 0 2 2 hyy hyyx 所以在 边界上无剪切面力作用 下边界无法向面力 2 hy 上边界有向下的法向面力 q 2 q hyy 次要边界 x 0 面上无剪切面力作用 但其主矢量和 0 0 xxy 5 3 4 2 2 0 h y h y q xx 主矩在 x 0 面上均为零 因此 本题可解决如习题 3 10 所示的问题 3 5 按半逆解法步骤求解 1 可假设 0 x 2 可推出 1 xfxyf 3 代入相容方程可解出 f 得到 1 f 2323 FxExCxBxAxy 4 由 求应力 5 主要边界 x 0 b 上的条件为 q bxxyxxybxx 0 0 0 0 次要边界 y 0 上 可应用圣维南原理 三个积分边界条件为 0 0 0 0 0 0 0 0 0 dxxdxdx y b yxy b yy b y 读者也可以按或的假设进行计算 xy y 3 6 本题已给出了应力函数 应首先校核相容方程是否满足 然后再求应力 并考察 边界条件 在各有两个应精确满足的边界条件 即2 bx 0 22 q bxxybxx 4 而在次要边界 y 0 上 已满足 而的条件不可能精确满足 否则0 0 yy 0 0 yyx 只有 A B 0 使本题无解 可用积分条件代替 0 0 2 2 y b b yx 3 7 见例题 2 3 8 同样 在的边界上 应考虑应用一般的应力边界条件 2 15 tan y 3 9 本题也应先考虑对称性条件进行简化 3 10 应力函数中的多项式超过四次幂时 为满足相容方程 系数之间必须满足一定的 条件 3 11 见例题 3 3 12 见圣维南原理 3 13 m 个主要边界上 每边有两个精确的应力边界条件 如式 2 15 所示 n 个次要边 界上 每边可以用三个积分的条件代替 3 14 见教科书 3 15 严格地说 不成立 5 第四章第四章 习题的提示和答案习题的提示和答案 4 1 参见 4 1 4 2 4 2 参见图 4 3 4 3 采用按位移求解的方法 可设代入几何方程得形变分量 然后再 uu 0 u 代入物理方程得出用位移表示的应力分量 将此应力公式代入平衡微分方程 其中第二式 自然满足 而由第一式得出求的基本方程 u 4 4 按应力求解的方法 是取应力为基本未知函数 在轴对称情况下 只有0 为基本未知函数 且它们仅为的函数 求解应力的基本方程是 1 平衡微分方程 其中第二式自然满足 2 相容方程 相容方程可以这样导出 从几何方程中消去位移 得 再将形变通过物理方程用应力表示 得到用应力表示的相容方程 d d 4 5 参见 4 3 4 6 参见 4 3 4 7 参见 4 7 4 8 见例题 1 4 9 见例题 2 4 10 见答案 4 11 由应力求出位移 再考虑边界上的约束条件 4 12 见提示 4 13 内外半径的改变分别为两者之差为圆筒厚度的改变 rR uu 4 14 为位移边界条件 R 4 15 求出两个主应力后 再应用单向应力场下圆孔的解答 4 16 求出小圆孔附近的主应力场后 再应用单向应力场下圆孔的解答 4 17 求出小圆孔附近的主应力场后 再应用单向应力场下圆孔的解答 4 18 见例题 3 4 19 见例题 4 6 第五章第五章 习题提示和答案习题提示和答案 5 1 参见书中由低阶导数推出高阶导数的方法 5 2 参见书中的方程 5 3 注意对称性的利用 取基点 A 如图 答案见书中 5 4 注意对称性的利用 并相应选取基点 A 答案见书中 5 5 注意对称性的利用 本题有一个对称轴 5 6 注意对称性的利用 本题有二个对称轴 5 7 按位移求微分方程的解法中 位移应满足 1 上的位移边界条件 2 上的应 u s s 力边界条件 3 区域 A 中的平衡微分方程 用瑞利 里茨变分法求解时 设定的位移试函 数应预先满足 1 上的位移边界条件 而 2 和 3 的静力条件由瑞利 里茨变分法来代替 5 8 在拉伸和弯曲情况下 引用的表达式 再代入书中的公式 在 1 d d 2 xx A U xy 扭转和弯曲情况下 引用的表达式 再代入书中的公式 1 d d 2 xyxy A Uxy 5 9 对于书中图 5 15 的问题 可假设123 ux xa y yb AA xA y 对于书中图 5 16 的问题中 y 轴是其对称轴 123 vx xa y yb BB xB y x 轴是其反对称轴 在设定 u v 试函数时 为满足全部约束边界条件 应包含公共因子 此外 其余的乘积项中 应考虑 u 应为 x 和 y 的奇函数 v 应为 x 2222 xayb 和 y 的偶函数 5 10 答案见书中 5 11 在 u v 中各取一项 并设时 用瑞利 里茨法得出求解的方程是0u 1 1 1 0 d d y A UU f vxy AB 7 代入后 上两式方程是 y Uf和 2 1111 1815 0 6 752 ga ABAB E 解出 22 11 175225 2 533533 ga ga A B EE 位移分量的解答为 233 33 222 22 175 2 533 225 1 1 533 gaxxyy u Eaaaa gaxy v Eaa 应力分量为 22 22 2 2 222 222 175 1 3 1 2 533 450 1 533 225175 1 1 1 3 5334 533 x y xy xy gy aa x gy a yxy gx aaa 8 第六章第六章 习题的提示和答案习题的提示和答案 6 1 提示 分别代入的公式进行运算 i N i j m 6 2 3 中的位移 一为刚体平移 另一为刚体转动 均不会产生应力 其余见书中答案 6 3 求 i 结点的连杆反力时 可应用公式 iinn en i j m Fk 为对围绕 i 结点的单元求和 e 6 4 求支座反力的方法同上题 6 5 单元的劲度矩阵 k 可采用书中 P 124 式 g 的结果 并应用公式求出 ijij e Kk 整体劲度矩阵的子矩阵 6 6 求劲度矩阵元素同上题 应力转换矩阵可采用书中 P 127 的结果 6 7 求劲度矩阵元素可参见 P 124 式 g 的结果 再求出整体劲度矩阵元素 答案见书中 ijij e Kk 6 8 当单元的形状和局部编号与书中图 6 10 相同时 可采用 P 124 式 g 的单元劲度 矩阵 答案 中心线上的上结点位移下结点位移 1 6 5 F v E 2 4 5 F v E 6 9 能满足收敛性条件 即位移模式不仅反映了单元的刚度位移和常量应变 还在单元的 边界上 保持了相邻单元的位移连续性 9 第七章第七章 习题的提示和答案习题的提示和答案 7 1 答案 2 2 11 23 33 nn 7 2 提示 原 x y z 的点移动到 x u y v z w 位置 将新位置位置代入有关平面 直线 平行六面 体和椭球面方程 7 3 见本书的叙述 7 4 空间轴对称问题比平面轴对称问题增加了一些应力 形变和位移 应考虑它们在导 出方程时的贡献 7 5 对于一般的空间问题 柱坐标中的全部应力 形变和位移分量都存在 且它们均为 的函数 在列方程时应考虑它们的贡献 z 10 第八章第八章 习题的提示和答案习题的提示和答案 8 1 提示 应力应满足平衡微分方程 相容方程及应力边界条件 设 柱体的侧面 ss 在 x y 平面上应考虑为任意形状的边界 n 0 l m 为任意的 并应用一般的应力边界条 件 8 2 提示 同上题 应力应满足平衡微分方程 相容方程及应力边界条件 设 ss 若为多连体 还应满足位移单值条件 由于空间体为任意形状 因此 应考虑一般的应力边界条件 7 5 法线的方向余弦 为 l m n 边界面为任意斜面 受到法向压力 q 作用 为了考虑多连体中的位移单值条件 应由应力求出对应的位移 然后再检查是否满足单值条件 8 3 见 8 2 的讨论 8 4 从书中式 8 2 和 8 12 可以导出 由结论可以看出位移分量和应力分量等的特性 8 5 为了求 o 点以下 h 处的位移 取出书中式 8 6 的 并作如下代换 z u 22 d2 dzh RaFFq 然后从 o a 对积分 8 6 引用布西内斯克解答 在 z 0 的表面上的沉陷是 2 0 1 zz F u E 1 求矩形中心点的沉陷 采用图 8 9 a 的坐标系 22 xy 代入并积分 dd dFqxy 2 2 2 0 22 2 2 2 2 2 22 2 2 22 22 2 2 2 2 1 d d 1 d d 1 24 ln d ba ba ba ba b b qxy Exy qx y E xy aa yay q y Ey 再应用部分积分得到 2 0 2 1 arsinharsinh qab ba Eba 11 b 2 b 2 o 22 yx dx dy x yy x b a 22 yx dy dx a b 2 求矩形角点处的沉陷 采用图 8 9 b 的坐标系 2 0 2200 2 1 d d 1 arsinharsinh ab q xy Exy qab ba Eba 8 7 题中已满足边界条件再由 0 s 2 22 A GK dxdyM 及 便可求出切应力及扭角等 8 8 题中能满足两个圆弧处的边界条件然后 相似于上题进行求式解为 0 s A 的两倍 B 8 9 分别从椭圆截面杆导出圆截面杆的解答 和从矩形截面杆导出正方形截面杆的解答 并由 得出代入后进行比较即可得出 22 ar a r 8 10 参见 8 8 的讨论 a 2 a 2 12 第九章第九章 习题提示和答案习题提示和答案 9 1 挠度 w 应满足弹性曲面的微分方程 x 0 的简支边条件 以及椭圆边界上的固定边 条件 校核椭圆边界的固定边条件时 可参见例题 4 0 s w w n 求挠度及弯矩等的最大值时 应考虑函数的极值点 其导数为 0 和边界点 从中找 出其最大值 9 2 在重三角级数中只取一项可以满足的弹性sinsin xy wm ab sinsin o xy qq ab 曲面微分方程 并可以求出系数 m 而四个简支边的条件已经满足 关于角点反力的方向 符号的规定 可参见 9 4 中的图 9 5 9 3 本题中无横向荷载 q 0 只有在角点 B 有集中力 F 的作用 注意 w mxy 应满足 弹性曲面的微分方程 x 0 和 y 0 的简支边条件 x a 和 y b 的自由边条件 以及角点的 条件 见图 9 5 中关于角点反力的符号规定 RB FF 在应用莱维解法求解各种边界条件的矩形板时 这个解答可以用来处理有两个自由边 相交的问题 以满足角点的条件 因此 常应用这个解答于上述这类问题 作为其解答的 一部分 读者可参考 9 6 中图 9 9 的例题 9 4 本题中也无横向荷载 q 0 但在边界上均有弯矩作用 x 0 a 是广义的简支边 其边界