北京市海淀区2016届高三上学期期中考试数学理试题(WORD版)

海淀区高三年级第二学期期中练习海淀区高三年级第二学期期中练习 数数 学学 理科 2015 11 本试卷共4页 150分 考试时长120分钟 考生务必将答案答在答题卡上 在试卷上作答无效 考 试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 一 选择题共8小题 每小题5分 共40分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题目要求的一 项 1 已知集合 则集合中元素的个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 2 下列函数中为偶函数的是 3 在 ABC中 的值为 A 1 B 1 C D 1 2 1 2 4 数列的前n项和为 则的值为 A 1 B 3 C 5 D 6 5 已知函数 下列结论错误的是 A B 函数的图象关于直线x 0对称 C 的最小正周期为 D 的值域为 6 x 0 是 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 7 如图 点O为坐标原点 点A 1 1 若函数且 的图象与线段OA分别交于点M N 且M N恰好是线段OA的两个三等分点 则a b满足 8 已知函数函数 若函数恰好有2个不同 零点 则实数a的取值范围是 二 填空题 共6小题 每小题5分 共30分 9 10 在 ABC中 角A B C的对边分别为a b c 若 c 4 则 11 已知等差数列的公差 且 若 0 则n 39108 aaaa n a 12 已知向量 点A 3 0 点B为直线y 2x 上的一个动点 若 则点B的坐 ABa A 标为 13 已知函数 若的图象向左平移个单位所得的图象与的 图象向右平移个单位所得的图象重合 则的最小值为 14 对于数列 都有为常数 成立 则称数列 具有性质 若数列的通项公式为 且具有性质 则t的最大值为 若数列的通项公式为 且具有性质 则实数a的取值范围是 三 解答题共6小题 共80分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 15 本小题满分13分 已知等比数列的公比 其n前项和为 求公比q和a5的值 求证 16 本小题满分13分 已知函数 求的值 求函数的最小正周期和单调递增区间 17 本小题满分13分 如图 在四边形ABCD中 AB 8 BC 3 CD 5 求BD的长 求证 18 本小题满分13分 已知函数 曲线在点 0 1 处的切线为l 若直线l的斜率为 3 求函数的单调区间 若函数是区间 2 a 上的单调函数 求a的取值范围 19 本小题满分14分 已知由整数组成的数列各项均不为0 其前n项和为 且 求的值 求的通项公式 若 15时 Sn取得最小值 求a的值 20 本小题满分14分 已知x为实数 用表示不超过x的最大整数 例如 对于函数f x 若存在 使得 则称函数函数 判断函数 是否是函数 只需写出结论 设函数f x 是定义R在上的周期函数 其最小正周期为T 若f x 不是函数 求T的最小值 若函数是函数 求 a 的取值范围 海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案 数数 学学 理科 2015 11 阅卷须知阅卷须知 1 评分参考中所注分数 表示考生正确做到此步应得的累加分数 2 其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 40 分分 1 B 2 B 3 A 4 C 5 D 6 C 7 A 8 D 二 填空题二 填空题 本大题共本大题共 6 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 30 分分 9 3 10 11 5 12 2 15 3 6 13 14 2 4 36 说明 第 10 14 题第一空 3 分 第二空 2 分 三 解答题三 解答题 本大题共本大题共 6 小题 共小题 共 80 分分 15 解 法一 因为为等比数列 且 n a 324 4aa a 所以 所以 2 33 4aa 3 4a 因为 所以 2 33 1 4 1 aa q a 2q 因为 所以 即 3 分0 n a 0q 2q 所以 6 分 4 51 16aa q 法二 因为为等比数列 且 n a 324 4aa a 所以 所以 所以 24 11 4a qa q 2 4q 2q 因为 所以 即 3 分0 n a 0q 2q 所以 6 分 4 51 16aa q 法一 因为 所以 分2q 11 1 2 nn n aa q 因为 10 分 1 1 21 1 n n n aq S q 所以 11 211 2 22 n n nn n S a 因为 所以 13 分 1 1 0 2n 1 1 22 2 n n n S a 法二 因为 所以 分2q 11 1 2 nn n aa q 所以 10 分 1 1 21 1 n n n aq S q 所以 所以 13 分 1 1 20 2 n n n S a 2 n n S a 法三 因为 所以 分2q 11 1 2 nn n aa q 所以 10 分 1 1 21 1 n n n aq S q 要证 只需 只需2 n n S a 2 nn Sa 212 nn 上式显然成立 得证 13 分 16 解 因为 3sin 2 cos 2 33 f xxx 所以 3sin 2 cos 2 66363 f 4 分 2 2 31 3sin cos 1 3322 因为 3sin 2 cos 2 33 f xxx 所以 3 1 2 sin 2 cos 2 2323 f xxx 2 cossin 2 sincos 2 6363 xx 2sin 2 36 x 7 分 2sin 2 2 x 9 分2cos2x 所以周期 11 分 2 2 T 令 12 分2 22 kxk 解得 2 kxk k Z 所以的单调递增区间为 13 f x 2 kk k Z 分 法二 因为 3sin 2 cos 2 33 f xxx 所以 7 分 3 sin2 coscos2 sin cos2 cossin2 sin 3333 f xxxxx 1313 3 sin2cos2 cos2sin2 2222 xxxx 9 分2cos2x 所以周期 11 分 2 2 T 令 12 分2 22 kxk 解得 2 kxk k Z 所以的单调递增区间为 13 分 f x 2 kk k Z 17 解 法一 在中 因为 ABD 1 cos 7 ADB 0 ADB 所以 3 分 4 3 sin 7 ADB 根据正弦定理 有 6 分 sinsin BDAB AADB 代入8 3 ABA 解得 7 分7BD 法二 作于 BEAD E 因为 所以在中 3 分 8 3 ABA ABD sin4 3 3 BEAB 在中 因为 BDE 1 cos 7 ADB 0 ADB 所以 6 分 4 3 sin 7 ADB 所以 7 分7 sin BE BD BDE 法一 在中 根据余弦定理 10 分BCD 222 cos 2 BCCDBD C BC CD 代入 得 3 5BCCD 1 cos 2 C 所以 12 0 C 2 3 C 分 所以 而在四边形中 AC ABCD 2 AABCCADC 所以 13 分 ABCADC 法二 在中 所以 ABD 11 cos 14 ABD 5 3 sin 14 ABD 所以 8 分 1 cos 7 ADB 4 3 sin 7 ADB 在中 所以 BCD 11 cos 14 DBC 5 3 sin 14 ABD 所以 9 分 13 cos 14 BDC 3 3 sin 14 ADB 所以 coscos ABCABDDBC 11 分 23 coscossinsin 98 ABDDBCABDDBC coscos ADCADBBDC 12 分 23 coscossinsin 98 ADBBDCADBBDC 即 所以 13 分coscosABCADC ABCADC 18 解 因为 所以曲线经过点 0 1f yf x 0 1 又 2 分 2 2fxxxa 所以 3 分 0 3fa 所以 2 23fxxx 当变化时 的变化情况如下表 x fx f x 5 分 所以函数 的单调递增区间为 f x 3 1 单调递减区间为 7 分 3 1 因为函数在区间上单调 f x 2 a x 3 3 3 1 1 1 fx 0 0 f x A极大值A极小值 A 当函数在区间上单调递减时 对成立 f x 2 a 0fx 2 xa 即对成立 2 20fxxxa 2 xa 根据二次函数的性质 只需要 解得 2 0 0 f fa 30a 又 所以 9 分2a 20a 当函数在区间上单调递增时 对成立 f x 2 a 0fx 2 xa 只要在上的最小值大于等于 0 即可 2 2fxxxa 2 a 因为函数的对称轴为 2 20fxxxa 1x 当时 在上的最小值为 21a fx 2 a fa 解 得或 所以此种情形不成立 11 分 2 30faaa 0a 3a 当时 在上的最小值为 1a fx 2 a 1 f 解得 所以 1 120fa 1a 1a 综上 实数的取值范围是或 13 分 a20a 1a 19 解 因为 所以 即 1 2 nnn Sa a 112 2Sa a 112 2aa a 因为 所以 2 分 1 0aa 2 2a 因为 所以 两式相减 1 2 nnn Sa a 11 2 2 nnn Saa n 得到 4 分 11 2 nnnn aa aa 因为 所以 0 n a 11 2 nn aa 所以都是公差为的等差数列 212 kk aa 2 当时 6 分21nk 1 2 1 1 n aakna 当时 2nk 22 1 2 n akkn 所以 8 分 1 n nan a nn 为奇数 为偶数 法一 因为 由 知道 1 2 nnn Sa a 1 n nan a nn 为奇数 为偶数 所以 10 分 1 1 1 2 1 2 n nann S n nan 为奇数 为偶数 注意到所有奇数项构成的数列是一个单调递增的 所有偶数项构成的数列是一个单调递增的 当为偶数时 所以此时 n0 n a 1nn SS 所以为最小值等价于 12 分 15 S 13151517 SSSS 所以 14151617 0 0aaaa 所以 141510 161710aa 解得 13 分3228a 因为数列是由整数组成的 所以 n a 32 31 30 29 28 a 又因为 所以对所有的奇数 0 n a n10 n ana 所以不能取偶数 所以 14 分a31 29aa 法二 因为 由 知道 1 2 nnn Sa a 1 n nan a nn 为奇数 为偶数 所以 10 分 1 1 1 2 1 2 n nann S n nan 为奇数 为偶数 因为为最小值 此时为奇数 15 Sn 当时 n为奇数 1 1 1 2 n Snan 根据二次函数的性质知道 有 解得 12 分 1416 2 a 3228a 因为数列是由整数组成的 所以 n a 32 31 30 29 28 a 又因为 所以对所有的奇数 0 n a n10 n ana 所以不能取偶数 所以 13 分a31 29aa 经检验 此时为最小值 所以 14 分 n S31 29aa 20 解 是函数 2 分 2 1 3 f xxx 不是函数 4 分 sin g xx 的最小值为 1 6 分T 因为是以 为最小正周期的周期函数 所以 f xT 0 f Tf 假设 则 所以 矛盾 8 分1T 0T 0 fTf 所以必有 1T 而函数的周期为 1 且显然不是是函数 l xxx 综上 的最小值为 1 9 分T 当函数是函数时 a f xx x 若 则显然不是函数 矛盾 10 分0a f xx 若 则 0a 2 10 a fx x 所以在上单调递增 f x 0 0 此时