直线与圆的位置关系精讲

海文教育教师一对一 海聚细流 文润蜀州 地址 德阳市天山南路二段 17 号 咨询电话 0838 253344 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 传江哥提供 已知圆已知圆 C C x a x a 2 2 y b y b 2 2 r r2 2 r 0 r 0 直线 直线 L L Ax By C 0Ax By C 0 1 1 位置关系的判定 位置关系的判定 判定方法判定方法1 1 联立方程组 得到关于 x 或 y 的方程 1 0相交 2 0相切 3 0相离 判定方法判定方法2 2 若圆心 a b 到直线 L 的距离为 d 1 dr相离 例例1 1 判断直线 L 1 m x 1 m y 2m 1 0与圆 O x2 y2 9的位置关系 法一 法一 直线 L m x y 2 x y 1 0恒过点 点 P 在圆 O 内 直线 L 与圆 O 相交 法二 法二 圆心 O 到直线 L 的距离为 当 d 3时 2m 1 20 m R 所以直线 L 与直线 O 相交 法三 法三 联立方程 消去 y 得2 1 m2 x2 4m2 2m 2 x 5m2 14m 8 0 56m4 96m3 92m2 120m 68 4 m 1 2 14m2 4m 17 当 m 1时 0 直线与圆相交 当 m 1时 直线 L 此时直线 L 与圆 O 相交 综上得直线 L 与圆 O 恒相交 评评 法二和法三是判断直线与圆位置关系的方法 但计算量偏大 而法一是先观察直线的特 点再结合图 避免了大量计算 因此体现了数形结合的优点 海文教育教师一对一 海聚细流 文润蜀州 地址 德阳市天山南路二段 17 号 咨询电话 0838 253344 例例2 2 求圆 x2 y2 1上的点到直线3x 4y 25的距离的最大最小值 法一 法一 设 P cos sin 为圆上一点 则点 P 到直线的距离为 当 时 dmin 4 法二 法二 如图 直线 L 过圆心 且与直线3x 4y 25垂直于点 M 此时 l 与圆有两个交点 A B 原点到直线3x 4y 25的距离 OM 5 圆上的点到直线3x 4y 25的距离的 最大值为 AM OM r 5 1 6 最小值为 BM OM r 5 1 4 评评 法二是几何做法 充分体现了它计算量小的优势 2 2 切线问题 切线问题 例例3 3 1 1 已知点 P x0 y0 是圆 C x2 y2 r2上一点 求过点 P 的圆 C 的切线方程 x0 x y0y r2 法一 法一 点 P x0 y0 是圆 C x2 y2 r2上一点 海文教育教师一对一 海聚细流 文润蜀州 地址 德阳市天山南路二段 17 号 咨询电话 0838 253344 当 x0 0且 y0 0时 切线方程为 当 P 为 0 r 时 切线方程为 y r 满足方程 1 当 P 为 0 r 时 切线方程为 t r 满足方程 1 当 P 为 r 0 时 切线方程为 x r 满足方程 1 当 P 为 r 0 时 切线方程为 x r 满足方程 1 综上 所求切线方程为 x0 x y0y r2 法二 法二 设 M x y 为所求切线上除 P 点外的任一点 则由图知 OM 2 OP 2 PM 2 即 x2 y2 r2 x x0 2 y y0 2 x0 x y0y r2且 P x0 y0 满足上面的方程 综上 所求切线方程为 x0 x y0y r2 2 2 已知圆 O x2 y2 16 求过点 P 4 6 的圆的切线 PT 的方程 解 当 PT 方程为 x 4时 为圆 O 的切线 满足题意 设 PT 的方程为 y 6 k x 4 即 kx y 4k 6 0 则圆心 O 到 PT 的距离为 所以 PT 的方程为 综上 切线 PT 的方程为 x 4 5x 12y 52 0 评评 1 判断直线与圆的位置关系有两种方法 但利用圆心到直线的距离与半径的关系来判断在 计算上更简洁 2 过圆外一点向圆引切线 应有两条 过圆上一点作圆的切线 只有一条 例例4 4 求过下列各点的圆 C x2 y2 2x 4y 4 0的切线方程 1 2 B 4 5 解 1 1 圆 C x 1 2 y 2 2 9 圆心 C 1 2 r 3 且点 A 在圆 C 上 法一 法一 设切线方程为 则圆心到切线的距离为 海文教育教师一对一 海聚细流 文润蜀州 地址 德阳市天山南路二段 17 号 咨询电话 0838 253344 所求切线方程为 法二 法二 AC l 所求切线方程为 2 2 点 B 在圆外 所以过 B 点的切线有两条 设切线方程为 y k x 4 5 则圆心 C 到切线的距离为 又直线 x 4也是圆的切线方程 所求切线方程为 例例5 5 设点 P x y 是圆 x2 y2 1上任一点 求 的取值范围 法一 法一 u 表示过点 1 2 且与圆有交点的直线 l 的斜率 如图 当直线 l 与圆相切时 PA 的斜率不存在 直线 PB 的方程为 ux y u 2 0 圆心到直线 PB 的距离为 海文教育教师一对一 海聚细流 文润蜀州 地址 德阳市天山南路二段 17 号 咨询电话 0838 253344 法二 法二 设 x cos y sin 则 评评 法一利用数形结合的思想 是解决这类问题的基本方法 法二把这个几何问题转化为求三角函数 值域的问题 但此三角函数问题计算 量偏大 难以解决 反过来 我们可以把求 值域的问题转化为本题去解决 就显 得更好用的多 要善于处理代数问题和几何问题之间转化的问题 例例6 6 从直线 L 2x y 10 0上一点做圆 O x2 y2 4的切线 切点为 A B 求四边形 PAOB 面 积的最小值 解 当 OP 最小时 SPAOB最小 又 当 OP L 时 OP 最小 此时 例例7 7 切点弦 过圆外一点 P a b 做圆 O x2 y2 r2的切线 切点为 A B 求直线 AB 的方 程 海文教育教师一对一 海聚细流 文润蜀州 地址 德阳市天山南路二段 17 号 咨询电话 0838 253344 法一 法一 如图 由射影定理 OA 2 OD OP 知 O 分 当 a 0或 b 0时 切线方程满足上式 所求切线的方程为 ax by r2 法二 法二 设 A x1 y1 B x2 y2 则过 A 点的切线为 x1x y1y r2 又 过点 P a b ax1 by1 r2 同理有 ax2 by2 r2 由以上两式可以看出 A B 的坐标都满足方程 ax by r2 它是一条直线的方程 又 过两点的直线有且仅有一条 直线 AB 的方程为 ax by r2 评评 法一先求得直线 AB 的斜率及其上一点的坐标 再由点斜式写出直线的方程 做起来运 算量比较大 而法二巧妙的避免了求 A B 的坐标 设而不求 A B 两点的坐标 体现了对曲线与 方程概念的深刻理解 3 3 弦长问题 弦长问题 例例8 8 1 1 若点 P 2 1 为圆 x 1 2 y2 25的弦 AB 的中点 求直线 AB 的方程 解 圆心 C 1 0 kPC 1 海文教育教师一对一 海聚细流 文润蜀州 地址 德阳市天山南路二段 17 号 咨询电话 0838 253344 AB PC kAB 1 且 AB 过点 P 直线 AB 的方程为 y 1 x 2即 y x 3 2 2 若直线 y 2x b 与圆 x2 y2 4相交于 A B 两点 求弦 AB 的中点 M 的轨迹 解 设 M x y 为所求轨迹上任一点 且 A x1 y1 B x2 y2 由 消去 y 得5x2 4bx b2 4 0 由韦达定理得 由 消去 b 得 又因 M 在圆内 所求轨迹为直线 在圆内的部分 3 3 经过原点作圆 x2 y2 2x 4y 4 0的割线 l 交圆于 A B 两点 求弦 AB 的中点 M 的轨迹 法一 法一 设 M x y 为所求轨迹上任一点 直线 l 的方程为 y kx A x1 y1 B x2 y2 由 消去 y 得 1 k2 x2 2 4k x 4 0 又 x 0 代入 得 x2 y2 x 2y 0 M 点在圆内 所求轨迹为圆 x2 y2 x 2y 0在圆 x2 y2 2x 4y 4 0内的部分 法二 法二 设 M x y 为所求轨迹上任一点 圆心 C 1 2 CM OM 当 x 0且 x 1时 有 当 x 0时 点 M 不存在 当 x 1时 点 M 与 C 重合 符合方程 海文教育教师一对一 海聚细流 文润蜀州 地址 德阳市天山南路二段 17 号 咨询电话 0838 253344 M 点在圆内 所求轨迹为圆 x2 y2 x 2y 0在圆 x2 y2 2x 4y 4 0内的部分 法三 法三 设 M x y 为所求轨迹上任一点 圆心 C 1 2 CM OM M 点在以 OC 为直径的圆上 即 M 点在圆内 所求轨迹为圆 在圆 x2 y2 2x 4y 4 0内的部分 习题习题 1 若直线 ax by 1与圆 x2 y2 1相交 则点 P a b 的位置是 A 在圆上 B 在圆外 C 在圆内 D 以上皆有可能 2 直线 l 过点 A 0 2 且与半圆 C x 1 2 y2 1 y 0 有两个不同的交点 则直线 l 的斜率 的范围是 3 若圆 x2 y2 4x 5 0上的点到直线3x 4y k 0距离的最大值是4 求 k 4 一个圆经过点 P 2 1 和直线 x y 1相切 且圆心在 y 2x 上 求它的方程 5 设 a b 1 0 试求 a2 b2 2a 2b 2的最小值 6 已知实数满足 x2 y2 4y 1 0 1 求 y 2x 的取值范围 2 求 的取值范围 7 自点 A 3 3 发出的光线 L 射到 x 轴上 被 x 轴反射 其反射光线所在直线与圆 x2 y2 4x 4y 7 0相切 求光线 L 所在的直线的方程 8 求圆 x2 y2 2axsin 2bycos a2cos2 0