质量工程师考试考试必备的资料排列组合

求助 排列组合题求解 1、 7 个不同的小球放入四个不同的盒子里，有多少种不同的放法？ 2、 7 个相同的小球放入四个不同的盒子里，有多少种不同的放法？ 1、答：由于每个小球都有 4个不同选择， 7个不同小球共有 47（ 4 的 7 次方）种放法； （典型的乘法原理：这件事情分 7 步完成，每一步都是将一个球丢入 4个盒子，即每一步有 4种方法选择，因此一共有 4*4*4*4*4*4*4 种放法，见后面的资料） 2、答：这题情况复杂一些。由于是相同的小球，可以考虑先把小球摆放在地上，再在小球的空隙内插入木板（插板法）。 （ 1）若四个 盒子都不空，则有 6个空隙插入 3块木板，即从 6个元素中取出 3个元素的组合数， 20 种； （ 2）若四个盒子中有一个空，选出这个空盒有 4 种方法，剩下 3 个盒子去放球。 如（ 1）中方法，在 6个空隙插入 2 块木板，即从 6个元素中取出 2个元素的组合数，15种。于是有 415=60 种； （ 3）若四个盒子中有 2 个空，选出这 2个空盒有 6种方法，剩下 2个盒子去放球。如（ 1）中方法，在 6个空隙插入 1 块木板，即从 6个元素中取出 1个元素的组合数，6种。于是有 66=36 种； （ 4）若四个盒子中有 3 个空，选出这 3个空盒有 4种方法，剩下 1个盒 子去放球，显然只有 1 种方法。于是有 41=4 种； 故共有 20+60+36+4=120 种。 简介：排列与组合是初等代数比较独特的内容，它研究的对象以及研究问题的方法与旧知识的联系业务也不多，但处理问题的方法灵活，有利于对学生进行逻辑思维能力的训练。排列组合是学习二项式定理的预备知识，又是学习下一章概率、统计的基础。 排列组合的对数学的发展产生过巨大的影响，现代由于计算机的发展和应用，排列组合知识的应用更加广泛。 11 1 计数原理 一、学习目标： 1. 理解并掌握加法原理及乘 法原理，会用这两个原理解决一些简单问题。 二、学习重点：两个原理及应用；学习难点：两个原理区别 三、学习内容 （一）加法原理： 从甲地去乙地，可以乘火车，可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有 4班，汽车有 2班，轮船有 2班，轮船有 3 班，那一天中乘坐这些交通工具从甲到乙地有多少种不同的选择 在一天中，从甲地到乙地乘火车有 4种选择。乘汽车有 2 种选择，乘轮船 有 3种选择，以上无论选择了哪一种方法，都有可以从甲地到达乙地。因此 ，一天当中乘坐这些交通工具从甲地到乙地的不同选择共有 4+2+3=9（种） 要求： （ 1）、通过经例子抽象出数学模型 把 “ 从甲地到乙地 ” 看成为 “ 完成一件事 ” 完成它有三类方法（火车、汽车、轮船） 第一类有 4 种方法（火车有 4班） 第二类有 2 种方法（汽车有 2班） 第三类有 3 种方法（轮船有 3班） 因此完成一件事（从甲地到乙地）共有 4+2+3=9 种不同的方法。 （ 2）、出加法原理 加法原理 做一件事，完成它有 n 类方法，第一类有 ，第二类有 ， ，第 n 类有 ，那么样完成这件事共有 N=2+加法原理的特点是：分类独立完成 2、自学 例 1 书架上层有不同的数学书 15本，中层有不同的语文书 18 本，下层有不同的物理 7本。现从其中任取一本书，问有多少种不同的取法？ 解：从书架上任取一本书，有三类取法：第一类取法是从书架上层取出一本数学系书，可以从 15本中任取一种，有 15 种取法；第二类取法是从书架的第二层取出一本语文书，可以从 18本中任取一种，有 18 种取法；第三类取法是从书架的下层取出一本物理书，可从 7本中任取一种，有 7种取法。只在书架上任意取出一本书，任务即完成， 根据加法原理，不同的取法一共有 N=m1+m2+5=18=7=40（种） 例 2 某班同学分成甲、乙、丙、丁 4 个小组，甲组 9人，乙组 11人，丙组 10人，丁组 9 人。现要求该班选派一人去参加某项活动，问有多少种不同的选法？ 解：该班同学分成甲、乙、丙、丁四个小组，从任何一个小组中选出一名同学去参加活动，则任务完成。在甲组有 9种选法，乙组有 11 种选取法，丙组有 10 种选法，丁组有 9种选法，所以一共有 N=9+11+10+9=39 一般转照三步来做 1）读题（思路） 2）分析（是否分类独立完成） 3）解 3、用集合观点理解加法原理： 用集合的 观点理解加法原理，集合 ， 彼此互斥的（即这些集合当中任何两个的交集等于空集），高级 I= 那么 I 中元素的个数等于 ， 些集合中元素个数的总和。在例子中， 别代表书架上、中、下三层数学 、语文、物理书各自构成的集合。因为， 2= ， 3= ，3= ， I=2那么 I 是书架上书的全体构成的集合， I 中元素的个数即是 元素中数的总和，则取法的种数等于 元素个数之和。 为乘火车、 乘汽车、轮船的方法 （ 1）彼此互斥的集合：集合 ， 任何两个集合的次等于空集，是 彼此互斥的。 （ 2）彼此互斥的集合的并集的元素个数是多个集合元素个数的和。 巩固性练习： 1、 一件工作可以用 2 种方法 完成，有 5我人会用第一种方法，另外有 4人会用第二种方法完成，要选出 1个人来完成这件工作，共有多少种选法？ 2、 一个学生要从 2本科技书， 2 本政治书， 3本文艺本中任取一本，共有多少种不同的取法？ （二）乘法原理： 一、自学 由 A 地去 C 地，中间必须经过 已知由 A 地到 条路可走，再由 条路可走，那么由 地到 C 地有多少种不同的走法？ 这里，从 A 地到 须经过 地有 3种不同的走法，分别用 示，而从 地有 2 种不同的走法，分别用 示。所以从 A 地经 B 地到 共计 6种。就是从 地的 3 种走法与从 地的 2 种走法的乘积，即 32=6 （种） 要求： （ 1）通过此例抽象出数学模型 把 “ 从 地 ” 看成完成一件事，完成这件必须分二个步骤 第一个步骤有 3 种方法（从 地） 第二个步骤有 2 种方法（从 地） 因此 “ 完成一件事 ” （从 A 地到 C 地）共有 32=6 （种）不同的方法 （ 2）乘法原理 乘法原理 做一件事，完成它需要 第一步有 不同的方法，做第二步有 不同的方法， ，做第 么完成这件事共有 N=m1不同的方法。 乘法原理的特点是：分步依次完成 二、学习 例 3 书架上层有不同的数学书 15本，中 层有不同的语文书 18 本，下层有不同的物理7本，从中取出数学、语文、物理书各一本，问有多少种不同的取法？ 解：从书上取数学、语文、物理书各 1 本，可以分成 3 个步骤完成：第一步取数学书1本，有 15 咱不同的取汪；第二不取语文书 1 本，有 18 种不同的取法；第三步取物理书 1本，有 7 种不同的取本，符合乘法原理的条件。利用乘法原理，得到 N=15187=1 890 （种）不同的取法。 例 4 某农场要在 4种不同类型的土地上，引种试验 A、 B、 C、 D 等 4 种不同品种的小麦，问有多少种不同的试验方案？ 解：第一步 先考虑 在 4种不同类型的土地中任选一种，有 4 种选法； 第二步 考虑 B 种小麦，可在剩下的 3 种不同类型的土地中任选一种，有 3 种选法； 第三步 考虑 C 种小麦，再在剩下的 2 种不同类型的土地中任选一种，有 2 种选法； 第四步 最后考虑 在剩下的 2种不同类型的土地中任选一种，有 1 种选法。 以上四步依次完成，才算完成，依据乘法原理，可知有 4321=24 不同的试验方案。 一般按照三步来做（ 1）读题（审题）（ 2）分析（是否分步依次完成）（ 3）解 三、用集合观点理解乘法原理： 用集合的观点理解乘法原理：从 A 地到 条路所构成的集合为 记为 A； 由 B 地到 C 地 2 条路所构成的集合为 记为 B。 用（ I=1， 2， 3， j=1， 2， 表示选择 条路从 B 地到 C 地。根据这样的表示方法，从 A 地到 C 地的全部走法构成的集合为 （ （ （ （ （ （ ， 其中有 32 个元素，即从 地有了 32 种不同的走法。 一般地，设 A= ， ， B= ， 则 AB= （ | ， ， 叫做集合 A、 B 的笛卡儿积， AB 中的元素个数有 nm 个。 集合的笛卡儿积：设 A= ， ， B= ， 则 AB= （ | ， ， AB 中的元素个数有 nm 个。 四、巩固性练习： 3、在一个红色口袋中，装有 20 张分别标有 1， 2， ， 20 的红色数字卡片，在另一个黄色口袋中，装有 10 张分别标有 1， 2， ， 10 的黄色数字卡片。在红色口袋中摸了一张数字 卡片做被加数，在黄色口袋中摸出一张数字卡片做加数，列成加法式子，一共可以列成多少个符合要求的加法式子？ 4、代数式 （ a1+a2+ b1+b2+ c1+c2+ 展开后共有多少项？ 小： 1、完成一件事的含义 2、计数原理，要熟记 加法原理与乘法原理的联系是： “ 完成一件事 ” 区别是： 1、加法原理：特点是分类独立完成。 2、乘法原理：特点是分步依次完成。 1、 从 地有 2 条路可通，从 B 地到 条路可通，从 地共有多少种不同的走法？ 2、 一个口袋内有 5个小球 ，另一个口袋内有 4 个小球，所有这些小球的颜色互不相同。 （ 1） 从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？ （ 2） 从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？ 3、 从 2， 3， 5， 7 这四个数中，取两个数出来做假分数，这亲友的假分数有多少个？ 复习： （一） 两个原理：能用自己的语言来叙述。 （二） 练习 增加：去百货公司买东西，共有四个门，从一门进，一门出，有多少种不同的方法？ 掌握性练习： 1、 结合下列实例说明如何理解 “ 完成一件事 ” ： （ 1） 从 10 本不同的书中任取一本； （ 2） 从甲地经乙地到丙地； （ 3） 从 4名男运动员， 3名女运动员中任选一人； （ 4） 从 4名男运动员， 3名女运动员中各选一人； （ 5） 袋中有 10 个不同编号的球，从中任意摸取两个球（每次摸一个）； （ 6） 用数字 1、 2、 3、 4、 5组成三位数。 2、 在完成上述事件时，哪些与分类有关？哪些与分步有关？ 3、 在计算