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文档简介
求助 排列组合题求解 1、 7 个不同的小球放入四个不同的盒子里,有多少种不同的放法? 2、 7 个相同的小球放入四个不同的盒子里,有多少种不同的放法? 1、答:由于每个小球都有 4个不同选择, 7个不同小球共有 47( 4 的 7 次方)种放法; (典型的乘法原理:这件事情分 7 步完成,每一步都是将一个球丢入 4个盒子,即每一步有 4种方法选择,因此一共有 4*4*4*4*4*4*4 种放法,见后面的资料) 2、答:这题情况复杂一些。由于是相同的小球,可以考虑先把小球摆放在地上,再在小球的空隙内插入木板(插板法)。 ( 1)若四个 盒子都不空,则有 6个空隙插入 3块木板,即从 6个元素中取出 3个元素的组合数, 20 种; ( 2)若四个盒子中有一个空,选出这个空盒有 4 种方法,剩下 3 个盒子去放球。 如( 1)中方法,在 6个空隙插入 2 块木板,即从 6个元素中取出 2个元素的组合数,15种。于是有 415=60 种; ( 3)若四个盒子中有 2 个空,选出这 2个空盒有 6种方法,剩下 2个盒子去放球。如( 1)中方法,在 6个空隙插入 1 块木板,即从 6个元素中取出 1个元素的组合数,6种。于是有 66=36 种; ( 4)若四个盒子中有 3 个空,选出这 3个空盒有 4种方法,剩下 1个盒 子去放球,显然只有 1 种方法。于是有 41=4 种; 故共有 20+60+36+4=120 种。 简介:排列与组合是初等代数比较独特的内容,它研究的对象以及研究问题的方法与旧知识的联系业务也不多,但处理问题的方法灵活,有利于对学生进行逻辑思维能力的训练。排列组合是学习二项式定理的预备知识,又是学习下一章概率、统计的基础。 排列组合的对数学的发展产生过巨大的影响,现代由于计算机的发展和应用,排列组合知识的应用更加广泛。 11 1 计数原理 一、学习目标: 1. 理解并掌握加法原理及乘 法原理,会用这两个原理解决一些简单问题。 二、学习重点:两个原理及应用;学习难点:两个原理区别 三、学习内容 (一)加法原理: 从甲地去乙地,可以乘火车,可以乘汽车,还可以乘轮船。一天中,火车有 4班,汽车有 2班,轮船有 2班,轮船有 3 班,那一天中乘坐这些交通工具从甲到乙地有多少种不同的选择 在一天中,从甲地到乙地乘火车有 4种选择。乘汽车有 2 种选择,乘轮船 有 3种选择,以上无论选择了哪一种方法,都有可以从甲地到达乙地。因此 ,一天当中乘坐这些交通工具从甲地到乙地的不同选择共有 4+2+3=9(种) 要求: ( 1)、通过经例子抽象出数学模型 把 “ 从甲地到乙地 ” 看成为 “ 完成一件事 ” 完成它有三类方法(火车、汽车、轮船) 第一类有 4 种方法(火车有 4班) 第二类有 2 种方法(汽车有 2班) 第三类有 3 种方法(轮船有 3班) 因此完成一件事(从甲地到乙地)共有 4+2+3=9 种不同的方法。 ( 2)、出加法原理 加法原理 做一件事,完成它有 n 类方法,第一类有 ,第二类有 , ,第 n 类有 ,那么样完成这件事共有 N=2+加法原理的特点是:分类独立完成 2、自学 例 1 书架上层有不同的数学书 15本,中层有不同的语文书 18 本,下层有不同的物理 7本。现从其中任取一本书,问有多少种不同的取法? 解:从书架上任取一本书,有三类取法:第一类取法是从书架上层取出一本数学系书,可以从 15本中任取一种,有 15 种取法;第二类取法是从书架的第二层取出一本语文书,可以从 18本中任取一种,有 18 种取法;第三类取法是从书架的下层取出一本物理书,可从 7本中任取一种,有 7种取法。只在书架上任意取出一本书,任务即完成, 根据加法原理,不同的取法一共有 N=m1+m2+5=18=7=40(种) 例 2 某班同学分成甲、乙、丙、丁 4 个小组,甲组 9人,乙组 11人,丙组 10人,丁组 9 人。现要求该班选派一人去参加某项活动,问有多少种不同的选法? 解:该班同学分成甲、乙、丙、丁四个小组,从任何一个小组中选出一名同学去参加活动,则任务完成。在甲组有 9种选法,乙组有 11 种选取法,丙组有 10 种选法,丁组有 9种选法,所以一共有 N=9+11+10+9=39 一般转照三步来做 1)读题(思路) 2)分析(是否分类独立完成) 3)解 3、用集合观点理解加法原理: 用集合的 观点理解加法原理,集合 , 彼此互斥的(即这些集合当中任何两个的交集等于空集),高级 I= 那么 I 中元素的个数等于 , 些集合中元素个数的总和。在例子中, 别代表书架上、中、下三层数学 、语文、物理书各自构成的集合。因为, 2= , 3= ,3= , I=2那么 I 是书架上书的全体构成的集合, I 中元素的个数即是 元素中数的总和,则取法的种数等于 元素个数之和。 为乘火车、 乘汽车、轮船的方法 ( 1)彼此互斥的集合:集合 , 任何两个集合的次等于空集,是 彼此互斥的。 ( 2)彼此互斥的集合的并集的元素个数是多个集合元素个数的和。 巩固性练习: 1、 一件工作可以用 2 种方法 完成,有 5我人会用第一种方法,另外有 4人会用第二种方法完成,要选出 1个人来完成这件工作,共有多少种选法? 2、 一个学生要从 2本科技书, 2 本政治书, 3本文艺本中任取一本,共有多少种不同的取法? (二)乘法原理: 一、自学 由 A 地去 C 地,中间必须经过 已知由 A 地到 条路可走,再由 条路可走,那么由 地到 C 地有多少种不同的走法? 这里,从 A 地到 须经过 地有 3种不同的走法,分别用 示,而从 地有 2 种不同的走法,分别用 示。所以从 A 地经 B 地到 共计 6种。就是从 地的 3 种走法与从 地的 2 种走法的乘积,即 32=6 (种) 要求: ( 1)通过此例抽象出数学模型 把 “ 从 地 ” 看成完成一件事,完成这件必须分二个步骤 第一个步骤有 3 种方法(从 地) 第二个步骤有 2 种方法(从 地) 因此 “ 完成一件事 ” (从 A 地到 C 地)共有 32=6 (种)不同的方法 ( 2)乘法原理 乘法原理 做一件事,完成它需要 第一步有 不同的方法,做第二步有 不同的方法, ,做第 么完成这件事共有 N=m1不同的方法。 乘法原理的特点是:分步依次完成 二、学习 例 3 书架上层有不同的数学书 15本,中 层有不同的语文书 18 本,下层有不同的物理7本,从中取出数学、语文、物理书各一本,问有多少种不同的取法? 解:从书上取数学、语文、物理书各 1 本,可以分成 3 个步骤完成:第一步取数学书1本,有 15 咱不同的取汪;第二不取语文书 1 本,有 18 种不同的取法;第三步取物理书 1本,有 7 种不同的取本,符合乘法原理的条件。利用乘法原理,得到 N=15187=1 890 (种)不同的取法。 例 4 某农场要在 4种不同类型的土地上,引种试验 A、 B、 C、 D 等 4 种不同品种的小麦,问有多少种不同的试验方案? 解:第一步 先考虑 在 4种不同类型的土地中任选一种,有 4 种选法; 第二步 考虑 B 种小麦,可在剩下的 3 种不同类型的土地中任选一种,有 3 种选法; 第三步 考虑 C 种小麦,再在剩下的 2 种不同类型的土地中任选一种,有 2 种选法; 第四步 最后考虑 在剩下的 2种不同类型的土地中任选一种,有 1 种选法。 以上四步依次完成,才算完成,依据乘法原理,可知有 4321=24 不同的试验方案。 一般按照三步来做( 1)读题(审题)( 2)分析(是否分步依次完成)( 3)解 三、用集合观点理解乘法原理: 用集合的观点理解乘法原理:从 A 地到 条路所构成的集合为 记为 A; 由 B 地到 C 地 2 条路所构成的集合为 记为 B。 用( I=1, 2, 3, j=1, 2, 表示选择 条路从 B 地到 C 地。根据这样的表示方法,从 A 地到 C 地的全部走法构成的集合为 ( ( ( ( ( ( , 其中有 32 个元素,即从 地有了 32 种不同的走法。 一般地,设 A= , , B= , 则 AB= ( | , , 叫做集合 A、 B 的笛卡儿积, AB 中的元素个数有 nm 个。 集合的笛卡儿积:设 A= , , B= , 则 AB= ( | , , AB 中的元素个数有 nm 个。 四、巩固性练习: 3、在一个红色口袋中,装有 20 张分别标有 1, 2, , 20 的红色数字卡片,在另一个黄色口袋中,装有 10 张分别标有 1, 2, , 10 的黄色数字卡片。在红色口袋中摸了一张数字 卡片做被加数,在黄色口袋中摸出一张数字卡片做加数,列成加法式子,一共可以列成多少个符合要求的加法式子? 4、代数式 ( a1+a2+ b1+b2+ c1+c2+ 展开后共有多少项? 小: 1、完成一件事的含义 2、计数原理,要熟记 加法原理与乘法原理的联系是: “ 完成一件事 ” 区别是: 1、加法原理:特点是分类独立完成。 2、乘法原理:特点是分步依次完成。 1、 从 地有 2 条路可通,从 B 地到 条路可通,从 地共有多少种不同的走法? 2、 一个口袋内有 5个小球 ,另一个口袋内有 4 个小球,所有这些小球的颜色互不相同。 ( 1) 从两个口袋内任取一个小球,有多少种不同的取法? ( 2) 从两个口袋内各取一个小球,有多少种不同的取法? 3、 从 2, 3, 5, 7 这四个数中,取两个数出来做假分数,这亲友的假分数有多少个? 复习: (一) 两个原理:能用自己的语言来叙述。 (二) 练习 增加:去百货公司买东西,共有四个门,从一门进,一门出,有多少种不同的方法? 掌握性练习: 1、 结合下列实例说明如何理解 “ 完成一件事 ” : ( 1) 从 10 本不同的书中任取一本; ( 2) 从甲地经乙地到丙地; ( 3) 从 4名男运动员, 3名女运动员中任选一人; ( 4) 从 4名男运动员, 3名女运动员中各选一人; ( 5) 袋中有 10 个不同编号的球,从中任意摸取两个球(每次摸一个); ( 6) 用数字 1、 2、 3、 4、 5组成三位数。 2、 在完成上述事件时,哪些与分类有关?哪些与分步有关? 3、 在计算
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