平面向量的内积

课题课题 7 37 3 平面向量的内积平面向量的内积 教学目标教学目标 知识目标 知识目标 1 了解平面向量内积的概念及其几何意义 2 了解平面向量内积的计算公式 为利用向量的内积研究有关问题奠定基础 能力目标 能力目标 通过实例引出向量内积的定义 培养学生观察和归纳的能力 教学重点教学重点 平面向量数量积的概念及计算公式 教学难点教学难点 数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角 教学设计教学设计 教材从某人拉小车做功出发 引入两个向量内积的概念 需要强调力与位移都是向量 而功是数量 因此 向量的内积又叫做数量积 在讲述向量内积时要注意 1 向量的数量积是一个数量 而不是向量 它的值为两向量的模与两向量的夹角 余弦的乘积 其符号是由夹角决定 2 向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量 教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到 其中 1 当 0 时 a b a b 当 时 a b a b 可以记忆为 180 两个共线向量 方向相同时内积为这两个向量模的积 方向相反时内积为这两个向量模的 积的相反数 2 a 显示出向量与向量的模的关系 是得到利用向量的坐标计算向量模的 a a 公式的基础 3 cos 是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基 a b a b 础 4 a b 0ab 经常用来研究向量垂直问题 是推出两个向量内积坐标表示 的重要基础 教学备品教学备品 教学课件 课时安排课时安排 2 课时 90 分钟 教学过程教学过程 教教 学学 过过 程程 教师教师 行为行为 学生学生 行为行为 教学教学 意图意图 时时 间间 揭示课题揭示课题 7 37 3 平面向量的内积平面向量的内积 创设情境创设情境 兴趣导入兴趣导入 F s 图 7 21 30 O 如图 7 21 所示 水平地面上有一辆车 某人用 100 N 的力 朝着与水平线成角的方向拉小车 使小车前进了 30 100 m 那么 这个人做了多少功 介绍 质疑 引导 分析 了解 思考 自我 分析 从实 例出 发使 学生 自然 的走 向知 识点 0 5 动脑思考动脑思考 探索新知探索新知 新知识 我们知道 这个人做功等于力与在力的方向上移动的距 离的乘积 如图 7 22 所示 设水平方向的单位向量为 i 垂 直方向的单位向量为 j 则 i y j F xsin30cos30FiFj 即力 F 是水平方向的力与垂直方向的力的和 垂直方向上没 有产生位移 没有做功 水平方向上产生的位移为 s 即 W F cos s 100 10 500 J 30 2 3 3 总结 归纳 思考带领 学生 分析 教教 学学 过过 程程 教师教师 行为行为 学生学生 行为行为 教学教学 意图意图 时时 间间 Oxi j F x y y 图 7 22 这里 力 F 与位移 s 都是向量 而功 W 是一个数量 它 等于由两个向量 F s 的模及它们的夹角的余弦的乘积 W 叫 做向量 F 与向量 s 的内积内积 它是一个数量 又叫做数量数量 积积 如图 7 23 设有两个非零向量 a b 作 a OA b 由射线 OA 与 OB 所形成的角叫做向量 a 与向量 bOB 的夹角夹角 记作 两个向量 a b b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量 a 与向量 b 的内积内积 记作 a b 即 a b a b cos 7 10 上面的问题中 人所做的功可以记作 W F s 由内积的定义可知 a 0 0 0 a 0 仔细 分析 讲解 关键 词语 理解 记忆 引导 式启 发学 生得 出结 果 15 由内积的定义可以得到下面几个重要结果 1 当 0 时 a b a b 当 时 180 a b a b 2 cos a b a b 3 当 b a 时 有 0 所以 思考 B A O 图 7 23 a b 教教 学学 过过 程程 教师教师 行为行为 学生学生 行为行为 教学教学 意图意图 时时 间间 a a a a a 2 即 a a a 4 当时 ab 因此 a b 90a b 因此对非零向量 a b 有cos900 ab a b 0ab 可以验证 向量的内积满足下面的运算律 1 a b b a 2 b a b a b a 3 a b c a c b c 注意注意 一般地 向量的内积不满足结合律 即 a b c a b c 请结合实例进行验证 总结 归纳 仔细 分析 讲解 关键 词语 理解 记忆 带领 学生 分析 反复 强调 30 巩固知识巩固知识 典型例题典型例题 例例 1 1 已知 a 3 b 2 求 a b 60 解解 a b a b cos 3 2 cos 3 60 例例 2 2 已知 a b a b 求 22 解解 cos a b a b 22 2 2 2 由于 0 180 所以 135 说明 强调 引领 思考 主动 求解 注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 40 运用知识运用知识 强化练习强化练习 1 已知 a 7 b 4 a 和 b 的夹角为 求 a b 60 2 已知 a a 9 求 a 3 已知 a 2 b 3 求 2a b b 30 提问 巡视 指导 思考 口答 及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况 45 动脑思考动脑思考 探索新知探索新知 教教 学学 过过 程程 教师教师 行为行为 学生学生 行为行为 教学教学 意图意图 时时 间间 设平面向量 a x1 y1 b x2 y2 i j 分别为 x 轴 y 轴 上的单位向量 由于 i j 故 i j 0 又 i j 1 所以 a b x1 i y1j x2 i y2j x1 x2 i i x1 y2 i j x2 y1 i j y1 y2 j j x1 x2 j 2 y1 y2 j 2 x1 x2 y1 y2 这就是说 两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和 即 a b x1 x2 y1 y2 7 11 利用公式 7 11 可以计算向量的模 设 a x y 则 即aa a A 22 xy 7 12 a 22 xy 由平面向量内积的定义可以得到 当 a b 是非零向量时 cos 7 13 a b a b 1212 2222 1122 x xy y xyxy 利用公式 7 13 可以方便地求出两个向量的夹角 由于 aba b 0 由公式 7 11 可知 a b 0 x1 x2 y1 y2 0 因此 ab x1 x2 y1 y2 0 7 14 利用公式 7 14 可以方便地利用向量的坐标来研究向量垂 直的问题 总结 归纳 仔细 分析 讲解 关键 词语 思考 归纳 理解 记忆 带领 学生 总结 60 巩固知识巩固知识 典型例题典型例题 例例 3 3 求下列向量的内积 1 a 2 3 b 1 3 2 a 2 1 b 1 2 说明 强调 观察 讲解 说明 教教 学学 过过 程程 教师教师 行为行为 学生学生 行为行为 教学教学 意图意图 时时 间间 3 a 4 2 b 2 3 解解 1 a b 2 1 3 3 7 2 a b 2 1 1 2 0 3 a b 2 2 2 3 14 例例 4 4 已知 a 1 2 b 3 1 求 a b a b 解解 a b 1 3 2 1 5 a 22 1 25 a a b 22 3 110 b b cos a b a b 52 210 5 所以 45 例例 5 5 判断下列各组向量是否互相垂直 1 a 2 3 b 6 4 2 a 0 1 b 1 2 解解 1 因为 a b 2 6 3 4 0 所以 ab 2 因为 a b 0 1 1 2 2 所以 a 与 b 不垂 直 引领 讲解 说明 引领 分析 强调 含义 说明 思考 主动 求解 观察 思考 求解 领会 思考 求解 注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 反复 强调 70 运用知识运用知识 强化练习强化练习 1 已知 a 5 4 b 2 3 求 a b 2 已知 a 1 b 0 求 33 3 已知 a 2 3 b 3 4 c 1 3 求 a b c 4 判断下列各组向量是否互相垂直 1 a 2 3 b 3 2 2 a 2 0 b 0 3 3 a 2 1 b 3 4 5 求下列向量的模 启发 引导 提问 巡视 指导 思考 了解 动手 求解 及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况 80 教教 学学 过过 程程 教师教师 行为行为 学生学生 行为行为 教学教学 意图意图 时时 间间 1 a 2 3 2 b 8 6 理论升华理论升华 整体建构整体建构 思考并回答下面的问题 平面向量内积的概念 几何意义 结论 两个向量 a b b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量 a 与向量 b 的内积内积 记作 a b 即 a b a b cos 7 10 a b 的几何意义就是向量 a 的模与向量 b 在向量 a 上的 投影的乘积 质疑 归纳 强调 回答 及时 了解 学生 知识 掌握 情况 83 归纳小结归纳小结 强化思想强化思想 本次课学了哪些内容 重点和难点各是什么 引导回忆 自我反思自我反思 目标检测目标检测 本次课采用了怎样的学习方法 你是如何进行