函数的奇偶性

函数的奇偶性函数的奇偶性 考纲导读考纲导读 1 了解函数奇偶性的含义 能利用定义判断一些简单函数的奇偶性 了解函数奇偶性的含义 能利用定义判断一些简单函数的奇偶性 2 定义域对奇偶性的影响 定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数定义域对奇偶性的影响 定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数 的必要但不充分条件 不具备上述对称性的 既不是奇函数 也不是偶函数 的必要但不充分条件 不具备上述对称性的 既不是奇函数 也不是偶函数 知识要点 知识要点 一 奇函数 偶函数的定义说明 一 奇函数 偶函数的定义说明 1 1 一个函数有奇偶性的必要条件是它的定义域关于原点对称 一个函数有奇偶性的必要条件是它的定义域关于原点对称 2 2 函数不一定具有奇偶性 函数不一定具有奇偶性 3 3 函数的奇偶性是整个定义域上的性质 函数的奇偶性是整个定义域上的性质 整体性质 整体性质 注意 常数函数的奇偶性 注意 常数函数的奇偶性 1 1 偶函数偶函数 0 f xc c 2 2 奇且偶函数奇且偶函数 0f x 当心 判定奇偶性时 灵活应用等价形式 当心 判定奇偶性时 灵活应用等价形式 如 如 等 等 1 f x f xfx fx 二 函数的奇 偶性与函数的图像 二 函数的奇 偶性与函数的图像 函数函数是奇函数是奇函数函数图像关于原点对称 函数图像关于原点对称 f x 函数函数是偶函数是偶函数函数图像关于函数图像关于轴对称 轴对称 f x y 典型例题分析典型例题分析 例例 1 1 判断下列函数的奇偶性 判断下列函数的奇偶性 1 1 3 2yxx 2 2 11yxx 3 3 2 1yxx 4 4 2 2 21 0 0 0 21 0 xxx f xx xxx 5 5 22 11f xxx 6 6 2 1 22 x f x x 例例 2 2 1 1 已知已知 均为奇函数 且定义域相同 均为奇函数 且定义域相同 f x g x 求证 求证 为奇函数 为奇函数 为偶函数 为偶函数 f x g x f x g x 2 2 设函数 设函数和和 g xg x 分别是分别是 R R 上的偶函数和奇函数 则下列结论上的偶函数和奇函数 则下列结论 f x 恒成立的是恒成立的是 A A g x g x 是偶函数是偶函数 B B g x g x 是奇函数是奇函数 f x f x C C g x g x 是偶函数是偶函数 D D g x g x 是奇函数是奇函数 f x f x 例例 3 3 1 1 已知偶函数 已知偶函数的定义域是的定义域是 R R 当 当时时 f x0 x 2 31f xxx 求求的解析式的解析式 f x 2 2 已知奇函数 已知奇函数的定义域是的定义域是 R R 当 当时时 g x0 x 2 21g xxx 求求的解析式的解析式 g x 例例 4 4 任意一个定义域关于原点对称的函数 任意一个定义域关于原点对称的函数均可表示为一个奇函数和一个偶函数的均可表示为一个奇函数和一个偶函数的 f x 和 和 例例 5 5 函数 函数满足满足 且 且 判 判 f x f xyf xy 2 f x f y xR yR 0 0f 定函数定函数的奇偶性 的奇偶性 f x 例例 6 6 若函数 若函数下列结论正确的是下列结论正确的是 2 a f xxaR x A A 在在上是增函数上是增函数aR f x 0 B B 在在上是减函数上是减函数aR f x 0 C C 是偶函数是偶函数aR f x D D 是奇函数是奇函数aR f x 小结 小结 1 1 奇偶性是某些函数具有的一种重要性质 对一个函数首先应判断它是奇偶性是某些函数具有的一种重要性质 对一个函数首先应判断它是 否具有这种性质否具有这种性质 判断函数的奇偶性应首先检验函数的定义域是否关判断函数的奇偶性应首先检验函数的定义域是否关 于原点对称 然后根据奇偶性的定义判断 或证明 函数是否具有奇于原点对称 然后根据奇偶性的定义判断 或证明 函数是否具有奇 偶性偶性 如果要证明一个函数不具有奇偶性 可以在定义域内找到一对如果要证明一个函数不具有奇偶性 可以在定义域内找到一对 非零实数非零实数 a 与 与 a 验证 验证 f a f a 0 2 2 对于具有奇偶性的函数的性