数值分析矩阵特征值特征向量计算.ppt

1 第八章矩阵特征值计算 数值分析 幂法与反幂法 2 本章内容 特征值基本性质 幂法与反幂法 正交变换与矩阵分解 QR方法 3 本讲内容 特征值基本性质幂法幂法的加速反幂法 4 特征值性质 Ax x C x 0 性质 1 特征值与特征向量 2 3 4 若A对称 则存在正交矩阵Q 使得 5 圆盘定理 定理 Gerschgorin圆盘定理 设 是A的特征值 则 i 1 2 n 设A aij Rn n 记 Gerschgorin圆盘 若有m个圆盘互相连通 且与其它圆盘都不相连 则这m个圆盘内恰好包含m个特征值 6 Rayleigh商 定理 设A是n阶实对称矩阵 其特征值为 则对任意非零向量x 有 且 称为矩阵A关于x的Rayleigh商 7 1 任取一个非零向量v0 要求满足 x1 v0 0 2 对k 1 2 直到收敛 计算 幂法 计算矩阵的主特征值 按模最大 及其特征向量 假设 1 1 2 n 0 2 对应的n个线性无关特征向量为 x1 x2 xn 计算过程 幂法 乘幂法 幂迭代 8 幂法的收敛性 收敛性分析 设 越小 收敛越快 9 幂法的收敛性 当k充分大时 有 又 j 1 2 n vk为 1的近似特征向量 10 幂法的收敛性 定理 设A有n个线性无关的特征向量 其特征值满足 则由幂法生成的向量满足 注 幂法的收敛速度取决于的大小 11 幂法 改进方法 规范化 幂法中存在的问题 12 幂法 1的计算 13 改进的幂法 定理 设A有n个线性无关的特征向量 其特征值满足 则由改进的幂法生成的向量满足 1 任取一个非零向量v0 要求满足 x1 v0 0 2 对k 1 2 直到收敛 计算 改进的幂法 14 举例 例 用改进的幂法计算下面矩阵的主特征值和对应的特征向量 15 幂法的加速 幂法的收敛速度取决于的大小 当r接近于1时 乘幂法收敛会很慢 幂法的加速 原点平移法 令B A pI 则B的特征值为 i p 选择适当的p满足 1 j 2 n 2 用幂法计算矩阵B的主特征值 1 p 保持主特征值 加快收敛速度 带位移的幂法 16 举例 例 用带位移的幂法计算下面矩阵的主特征值和对应的特征向量 取p 0 75 17 反幂法 计算矩阵的按模最小的特征值及其特征向量 假设 1 1 2 n 1 n 0 反幂法 2 对应的n个线性无关特征向量为 x1 x2 xn A 1的特征值为 对应的特征向量仍然为x1 x2 xn 反幂法 对矩阵A 1使用幂法 18 反幂法 定理 设A有n个线性无关的特征向量 其特征值满足 则由反幂法生成的向量满足 1 任取一个非零向量v0 要求满足 x1 v0 0 2 对k 1 2 直到收敛 计算 反幂法 19 反幂法的加速 反幂法的收敛速度取决于的大小 当r接近于1时 反乘幂法收敛会很慢 可以使用原点平移法对反幂法进行加速 问题 如何选择参数p 离 n越近越好 但不能相等 20 幂法的Rayleigh商加速 21 Rayleigh商加速 Rayleigh商加速 1 任取一个非零向量v0 要求满足 x1 v0 0 2 对k 1 2 直到收敛 计算 22 几点注记 带位移的反幂法中需要计算 带位移的反幂法可以用于计算任何一个特征值 k 将参数p取为 k附近 若已知特征