无穷限反常积分敛散性及审敛法则(教案)

无穷限反常积分敛散性及审敛法则无穷限反常积分敛散性及审敛法则 一 教学目一 教学目标标分析分析 在开始本节课程学习之前 学生已经对定积分有所了解 并初步掌握定积 分的基本知识 本节通过介绍反常积分 加深学生对积分的了解 使同学对积 分的了解更加系统化 并通过讲解让同学们减轻对积分的迷惑 让学生反常积 分在一些实际问题中的应运 二 学情二 学情 学学习习者特征分析者特征分析 学生通过对前面课程的学习 对积分已经有了初步的了解 但对于一些特 殊积分或者有关实际问题的积分还是存在着一定的迷惑 由于本节内容有点枯 燥 所以要积极调动学生的兴趣 培养好课堂气氛 使学生充分掌握本节课的 内容 三 学三 学习习内容分析内容分析 1 本节的作用和地位本节的作用和地位 通过对本节的学习来解决一些不属于定积分的问题 这些问题通常是一些 实际问题 例如 常会遇到积分区间为无穷区间 或者被积函数为无界函数的 积分等问题 2 本节主要内容 本节主要内容 1 无穷限反常积分的定义与计算方法 2 无穷限反常积分的性质 3 无穷限反常积分的比较审敛法则 4 条件收敛与绝对收敛 3 重点难点分析重点难点分析 教学重点 无穷限反常积分计算 无穷限反常积分的比较审敛法则 教学难点 无穷限反常积分的比较审敛法则 4 课时要求 课时要求 2 课时课时 四 教学理念四 教学理念 学生在之前就已经掌握了一定的知识 通过本节对学生的教学使学生进一 步了解反常积分 尤其是其在一些实际问题中的应运 五 教学策略五 教学策略 在教学中主要讲清反常积分的定义及其性质 并适时举例讲解 引导学生 互动 相互讨论解决问题 六六 教学教学环环境境 网络环境下的多媒体教室与课堂互动 七 教学七 教学过过程程 一 无穷限反常积分的定义一 无穷限反常积分的定义 定义 1 设函数 定义在无穷区间 上 且在任何有限区间 上可积 如 aua 果存在极限 Jdxxf u a u lim 则称此极限为函数在 上的无穷限反常积分无穷限反常积分 简称无穷积分无穷积分 记作Jf a 并称收敛收敛 如果极限不存在 亦称dxxfJ a dxxf a Jdxxf u a u lim 发散发散 dxxf a 类似地 可定义在 上的无穷积分 fb lim dxxfdxxf b u u b 对于在 上的无穷积分 它用前面两种无穷积分来定义 f 其中a为任一实数 当且仅当右边两个无穷积分都 dxxfdxxfdxxf a a 收敛时它才是收敛的 注 注 收敛的几何意义是 若在上为非负连续函数 则介于曲线dxxf a f a 直线以及轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域有面积 xfy ax xJ 例 1 讨论无穷积分 的收敛性 1 1 0 2 x dx 1 2 2 x dx 3 0 2 dxxe x 例 2 讨论下列无穷积分的收敛性 1 1 p x dx ln 2 2 p xx dx 二 无穷积分的性质二 无穷积分的性质 由定义知道 无穷积分收敛与否 取决于积分上限函数 a dxxf 在时是否存在极限 因此可由函数极限的柯西准则导出无穷积 uF u a dxxf u 分收敛的柯西准则 定理定理 11 1 无穷积分收敛的充要条件是 任给 0 存在 G 只要 a dxxf a 便有Guu 21 2 1 21 u u u a u a dxxfdxxfdxxf 此外 还可根据函数极限的性质与定积分的性质 导出无穷积分的一些相应性质 性质性质 1 若与都收敛 为任意常数 则dxxf a 1 dxxf a 2 1 k 2 k 也收敛 dx xfkxfk a 2211 且 dxxfkdxxfkdxxfkxfk aaa 22112211 性性 质质 2 若在任何有限区间 上可积 且有收敛 则fua a dxxf 亦必收敛 并有 a dxxf aa dxxfdxxf 证 由收敛 根据柯西准则 必要性 任给 存在 G 当 a dxxf 0 a 时 总有 利用定积分的绝对值Guu 12 2 1 2 1 u u u u dxxfdxxf 不等式 又有 2 1 u u dxxf 2 1 u u dxxf 再由柯西准则 充分性 证得收敛 a dxxf 又因 令 取极限 立刻得到不等式 u a dxxf u a dxxf u 当收敛时 称为绝对收敛绝对收敛 性质 3 指出 绝对收敛的无穷积 a dxxf a dxxf 分 它自身也一定收敛 但是它的逆命题不成立 称收敛而不绝对收敛的无穷积分为条件条件 收敛 收敛 性质性质 3 若在任何有限区间 ua 上可积 ba 则与同f a dxxf b dxxf 敛态 即同时收敛或同时发散 且有 a dxxf b a dxxf b dxxf 性质 2 相当于定积分的积分区间可加性 由它又可导出收敛的另一充要条 a dxxf 件 任给 存在 当 G 时 总有 00 Gu a dxxf 事实上 这可由 结合无穷积分的收敛定义而 u au dxxfdxxfdxxf 得 三 比较判别法三 比较判别法 首先给出无穷积分的绝对收敛判别法 由于关于上限是单调递增的 因 u a dxxf u 此收敛的充要条件是存在上界 根据这一分析 便立即导出下述 a dxxf u a dxxf 比较判别法 定理定理 11 2 比较法则比较法则 设定义在 上的两个函数和都在任何有限区间 afgua 上可积 且满足 axxgxf 则当收敛时必收敛 或当发散时 必发散 a dxxg dxxf a dxxf a a dxxg 例 3 讨论的收敛性 dx x x 0 2 1 sin 解 由于 而为收敛 故为 0 1 1 1 sin 22 x xx x 21 0 2 x dx dx x x 0 2 1 sin 绝对收敛 当选用作为比较对象时 比较判别法有如下两个推论 称为柯西判别法柯西判别法 1 p x dx a dxxg 推论推论 1 设定义于 且在任何有限区间 上可积 则有 f a0 aua i 当 且时 收敛 1 ax x xf p 1 pdxxf a ii 当且时 发散 1 ax x xf p 1 pdxxf a 推论推论 2 设定义于 在任何有限区间 上可积 且 则 aua limxfx p x 有 i 当 时 收敛 0 1pdxxf a ii 当 时 发散 0 1pdxxf a 推论推论 3 若和都在任何 ua 上可积 且则有fg0 xg limc xg xf x i 当时 由收敛可推知也收敛 c0 a dxxg dxxf a ii 当时 由发散可推知也发散 c0 a dxxg dxxf a 四 狄利克雷判别法与阿贝尔判别法四 狄利克雷判别法与阿贝尔判别法 这里来介绍两个判别一般无穷积分收敛的判别法 定理定理 11 3 狄利克雷判别法狄利克雷判别法 若在 上有界 在 u a dxxfuF a xg a 上当时单调趋于 则无穷积分收敛 x0 a dxxgxf 定理定理 11 4 阿贝尔阿贝尔 Abel 判别法判别法 若收敛 在 上单调有界 则 a dxxf xg a 无穷积分收敛 a dxxgxf 用积分第二中值定理来证明狄利克雷判别法与阿贝尔判别法 例 5 讨论与的收敛性 dx x x p 1 sin 0 cos 1 pdx x x p 解 这里只讨论前一个无穷积分 后者有完全相同的结论 下面分两种情形来讨论 i 当 1 时绝对收敛 这是因为 而当 1pdx x x p 1 sin 1sin ax xx x pp 1 p x dx p 时收敛 故由比较法则推知收敛 dx x x p 1 sin ii 当时条件收敛 这是因为对任意 1 有10 pdx x x p 1 sin u 而当时单调趋于 故由狄利克雷2cos1cossin 1 uxdx u p x 1 0 p 0 x 判别法推知工当时总是收敛的 dx x x p 1 sin 0 p 另一方面 由于 其中 1 2 2cos 2 1sinsin 2 x x x xx x x x p 是收敛的 而是发散的 因此当时该无穷积dt t t dx x x 21 cos 2 1 2 2cos 1 2x dx 10 p 分不是绝对收敛的 所以它是条件收敛的 例 6 证明下列无穷积分都是条件收敛的 sin 1 2 dxx cos 1 2 dxx dxxx 1 4 sin 证 前两个无穷积分经换元得到 2 xt 2 sin sin 11 2 dt t t dxx 2 cos cos 11 2 dt t t dxx 由例 5 知它们是条件收敛的 对于第三个无穷积分 经换元而得