第九章第4讲随机事件的概率

第 4 讲 随机事件的概率 1 概率与频率 1 在相同的条件 S 下重复 n 次试验 观察某一事件 A 是否出现 称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA为事件 A 出现的频数 称事件 A 出现的比例 fn A 为事件 A 出现的频 nA n 率 2 对于给定的随机事件 A 由于事件 A 发生的频率 fn A 随着试验次数的增加稳定于概 率 P A 因此可以用频率 fn A 来估计概率 P A 2 事件的关系与运算 定义符号表示 包含关系 如果事件 A 发生 则事件 B 一定发生 这时称 事件 B 包含事件 A 或称事件 A 包含于事件 B B A 或 A B 相等关系若 B A 且 A B 那么称事件 A 与事件 B 相等A B 并事件 和事件 若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发 生 则称此事件为事件 A 与事件 B 的并事件 或 和事件 A B 或 A B 交事件 积事件 若某事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 B 发 生 则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件 或 积事件 A B 或 AB 互斥事件 若 A B 为不可能事件 那么称事件 A 与事件 B 互斥 A B 对立事件 若 A B 为不可能事件 A B 为必然事件 那 么称事件 A 与事件 B 互为对立事件 A B 且 A B 3 概率的几个基本性质 1 概率的取值范围 0 P A 1 2 必然事件的概率 P A 1 3 不可能事件的概率 P A 0 4 概率的加法公式 如果事件 A 与事件 B 互斥 则 P A B P A P B 5 对立事件的概率 若事件 A 与事件 B 互为对立事件 则 A B 为必然事件 P A B 1 P A 1 P B 做一做 1 若 A B 为互斥事件 P A 0 4 P A B 0 7 则 P B 答案 0 3 2 在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下 排队人数012345 人以上 概率0 10 160 30 30 10 04 则至少有两人排队的概率为 答案 0 74 1 辨明两个易误点 1 易将概率与频率混淆 频率随着试验次数变化而变化 而概率是一个常数 2 对立事件是互斥事件 是互斥中的特殊情况 但互斥事件不一定是对立事件 互 斥 是 对立 的必要不充分条件 2 集合方法判断互斥事件与对立事件 1 由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集 则事件互斥 2 事件 A 的对立事件 A 所含的结果组成的集合 是全集中由事件 A 所含的结果组成的 集合的补集 做一做 3 甲 A1 A2是互斥事件 乙 A1 A2是对立事件 那么 A 甲是乙的充分但不必要条件 B 甲是乙的必要但不充分条件 C 甲是乙的充要条件 D 甲既不是乙的充分条件 也不是乙的必要条件 解析 选 B 两个事件是对立事件 则它们一定互斥 反之不一定成立 4 某小组有 3 名男生和 2 名女生 从中任选 2 名同学去参加演讲比赛 事件 至少有 一名女生 与事件 全是男生 A 是互斥事件 不是对立事件 B 是对立事件 不是互斥事件 C 既是互斥事件 也是对立事件 D 既不是互斥事件与不是对立事件 答案 C 随机事件的关系 考点一 一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字 1 2 3 4 5 6 将这个玩 具向上抛掷 1 次 设事件 A 表示向上的一面出现奇数点 事件 B 表示向上的一面出现的点 数不超过 3 事件 C 表示向上的一面出现的点数不小于 4 则 A A 与 B 是互斥而非对立事件 B A 与 B 是对立事件 C B 与 C 是互斥而非对立事件 D B 与 C 是对立事件 解析 A B 出现点数 1 或 3 事件 A B 不互斥更不对立 B C B C 故 事件 B C 是对立事件 答案 D 规律方法 对互斥事件要把握住不能同时发生 而对于对立事件除不能同时发生外 其并事件应为必然事件 这些也可类比集合进行理解 具体应用时 可把所有试验结果写出 来 看所求事件包含哪些试验结果 从而断定所给事件的关系 1 某城市有甲 乙两种报纸供居民们订阅 记事件 A 为 只订甲报纸 事件 B 为 至少订一种报纸 事件 C 为 至多订一种报纸 事件 D 为 一种报纸也不 订 判断下列每对事件是不是互斥事件 如果是 再判断它们是不是对立事件 1 A 与 C 2 B 与 D 3 B 与 C 4 C 与 D 解 1 由于事件 C 至多订一种报纸 中有可能 只订甲报纸 即事件 A 与事件 C 有 可能同时发生 故 A 与 C 不是互斥事件 2 事件 B 至少订一种报纸 与事件 D 一种报纸也不订 是不可能同时发生的 故 B 与 D 是互斥事件 由于事件 B 不发生可导致事件 D 一定发生 且事件 D 不发生会导致事 件 B 一定发生 故 B 与 D 还是对立事件 3 事件 B 至少订一种报纸 中有这些可能 只订甲报纸 只订乙报纸 订甲 乙 两种报纸 事件 C 至多订一种报纸 中有这些可能 一种报纸也不订 只订甲报纸 只订乙报纸 由于这两个事件可能同时发生 故 B 与 C 不是互斥事件 4 由 3 的分析 事件 D 一种报纸也不订 是事件 C 的一种可能 即事件 C 与事件 D 有可能同时发生 故 C 与 D 不是互斥事件 随机事件的频率与概率 考点二 2014 高考陕西卷 某保险公司利用简单随机抽样方法 对投保车辆进行抽样 样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下 赔付金额 元 01 0002 0003 0004 000 车辆数 辆 500130100150120 1 若每辆车的投保金额均为 2 800 元 估计赔付金额大于投保金额的概率 2 在样本车辆中 车主是新司机的占 10 在赔付金额为 4 000 元的样本车辆中 车 主是新司机的占 20 估计在已投保车辆中 新司机获赔金额为 4 000 元的概率 解 1 设 A 表示事件 赔付金额为 3 000 元 B 表示事件 赔付金额为 4 000 元 以频率估计概率得 P A 0 15 P B 0 12 150 1 000 120 1 000 由于投保金额为 2 800 元 赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为 3 000 元和 4 000 元 所以其概率为 P A P B 0 15 0 12 0 27 2 设 C 表示事件 投保车辆中新司机获赔 4 000 元 由已知 样本车辆中车主为新司 机的有 0 1 1 000 100 辆 而赔付金额为 4 000 元的车辆中 车主为新司机的有 0 2 120 24 辆 所以样本车辆中新司机车主获赔金额为 4 000 元的频率为 0 24 由 24 100 频率估计概率得 P C 0 24 规律方法 频率是个不确定的数 在一定程度上频率可以反映事件发生的可能性大小 但无法从根本上刻画事件发生的可能性大小 但从大量重复试验中发现 随着试验次数的增 多 事件发生的频率就会稳定于某一固定的值 该值就是概率 2 某射击运动员在同一条件下进行练习 结果如表所示 射击次数 n102050100200500 击中 10 环次数 m8194493178453 击中 10 环频率 m n 1 计算表中击中 10 环的各个频率 2 这位射击运动员射击一次 击中 10 环的概率为多少 解 1 击中 10 环的频率依次为 0 8 0 95 0 88 0 93 0 89 0 906 2 这位射击运动员射击一次 击中 10 环的概率约为 0 90 互斥事件 对立事件的概率 高频考点 考点三 随机事件的频率注重对互斥事件和对立事件的概率的考查 以选择题 填空题为主 难度不大 属于低档题目 高考对该部分内容的考查主要有以下两个命题角度 1 根据互斥事件有一个发生求概率 2 利用对立事件求概率 1 2015 太原模拟 抛掷一颗骰子 观察掷出的点数 设事件 A 为出现奇数点 事件 B 为出现 2 点 已知 P A P B 则出现奇数点或 2 点的概率是 1 2 1 6 2 2015 南通模拟 已知射手甲射击一次 命中 9 环以上 含 9 环 的概率为 0 5 命中 8 环的概率为 0 2 命中 7 环的概率为 0 1 则甲射击一次 命中 6 环以下 含 6 环 的概率为 解析 1 由题意知抛掷一颗骰子出现奇数点和出现 2 点是互斥事件 因为 P A P B 1 2 1 6 所以根据互斥事件的概率公式得到出现奇数点或 2 点的概率 P P A P B 1 2 1 6 2 3 2 设 命中 9 环以上 含 9 环 为事件 A 命中 8 环 为事件 B 命中 7 环 为事件 C 命中 6 环以下 含 6 环 为事件 D 则 D 与 A B C 对立 又 P A 0 5 P B 0 2 P C 0 1 因为 A B C 三个事件互斥 所以 P A B C P A P B P C 0 8 所以 P D 1 0 8 0 2 答案 1 2 0 2 2 3 规律方法 1 判断两个事件是否为互斥事件 就是判断它们能否同时发生 若不能同 时发生 则是互斥事件 不然就不是互斥事件 若两个事件互斥 且必有一个发生 则其为对 立事件 2 互斥事件的概率加法公式必须在各个事件彼此互斥的前提下使用 即 A B 互斥 P A B P A P B A B 对立 P A 1 P B 3 某战士射击一次 问 1 若中靶的概率为 0 95 则不中靶的概率为多少 2 若命中 10 环的概率是 0 27 命中 9 环的概率为 0 21 命中 8 环的概率为 0 24 则 至少命中 8 环的概率为多少 不够 9 环的概率为多少 解 1 设中靶为事件 A 则不中靶为 A 则由对立事件的概率公式可得 P 1 P A 1 0 95 0 05 A 2 设命中 10 环为事件 B 命中 9 环为事件 C 命中 8 环为事件 D 由题意知 P B 0 27 P C 0 21 P D 0 24 记至少命中 8 环为事件 E 则 P E P B C D P B P C P D 0 27 0 21 0 24 0 72 记至少命中 9 环为事件 F 则 P F P B C P B P C 0 27 0 21 0 48 故不够 9 环为 F 则 P 1 P F 1 0 48 0 52 F 方法思想 正难则反思想求对立事件的概率 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息 安排一名员工随机收集 了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据 如下表所示 一次购物量 1 至 4 件 5 至 8 件 9 至 12 件 13 至 16 件 17 件 及以上 顾客数 人 x3025y10 结算时间 分钟 人 11 522 53 已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55 1 确定 x y 的值 并估计顾客一次购物的结算时间的平均值 2 求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率 将频率视为概率 解 1 由已知得 25 y 10 55 x 30 45 所以 x 15 y 20 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体 所收集的 100 位顾客一次购物的 结算时间可视为总体的一个容量为 100 的简单随机样本 顾客一次购物的结算时间的平均 值可用样本平均数估计 其估计值为 1 15 1 5 30 2 25 2 5 20 3 10 100 1 9 分钟 2 记 A 为事件 一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟 A1 A2分别表示事件 该顾客一次购物的结算时间为 2 5 分钟 该顾客一次购物的结算时间为 3 分钟 将频 率视为概率得 P A1 P A2 20 100 1 5 10 100 1 10 P A 1 P A1 P A2 1 1 5 1 10 7 10 故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为 7 10 名师点评 求某些较复杂的概率问题时 通常有两种方法 一是将其分解为若干个彼 此互斥的事件的和 然后利用概率加法公式求其值 二是求此事件 A 的对立事件 A 的概率 然后利用 P A 1 P A 可得解 本题第 2 问利用对立事件求解 计算相对减少 某工厂的产品分为合格品和次品两类 而合格品又分为一级品 二级 品 三级品三档 在正常生产的条件下 出现 一级品 的概率为 0 5 出现 二级品或三 级品 的概率为 0 45 求出现次品的概率 解 设 A 出现一级品 B 出现二级品或三级品 C 出现合格品 D 出现次 品 由于 C A B 且 A B 互斥 所以 P C P A B P A P B 0 5 0 45 0 95 P D 1 P C 1 0 95 0 05 故出现次品的概率为 0 05 1 2015 河南安阳模拟 从一箱产品中随机地抽取一件 设事件 A 抽到一等品 事 件 B 抽到二等品 事件 C 抽到三等品 且已知 P A 0 65 P B 0 2 P C 0 1 则事件 抽到的产品不是一等品 的概率为 A 0 7 B 0 65 C 0 35 D 0 5 解析 选 C 抽到的产品不是一等品 与事件 A 是对立事件 所求概率 P 1 P A 0 35 2 设条件甲 事件 A 与事件 B 是对立事件 结论乙 概率满足 P A P B 1 则甲是乙的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 选 A 若事件 A 与事件 B 是对立事件 则 A B 为必然事件 再由概率的加法公式 得 P A P B 1 设掷一枚硬币 3 次 事件 A 至少出现一次正面 事件 B 3 次出现 正面 则 P A P B 满足 P A P B 1 但 A B 不是对立事件 7 8 1 8 3 从 3 个红球 2 个白球中随机取出 2 个球 则取出的 2 个球不全是红球的概率是 A B 1 10 3 10 C D 7 10 3 5 解析 选 C 取出的 2 个球全是红球 记为事件 A 则 P A 因为 取出的 2 个球 3 10 不全是红球 为事件 A 的对立事件 所以其概率为 P A 1 P A 1 3 10 7 10 4 围棋盒子中有多粒黑子和白子 已知从中取出 2 粒都是黑子的概率为 都是白子 1 7 的概率是 则从中任意取出 2 粒恰好是同一色的概率是 12 35 A B 1 7 12 35 C D 1 17 35 解析 选 C 设 从中取出 2 粒都是黑子 为事件 A 从中取出 2 粒都是白子 为事件 B 任意取出 2 粒恰好是同一色 为事件 C 则 C A B 且事件 A 与 B 互斥 所以 P C P A P B 即任意取出 2 粒恰好是同一色的概率为 1 7 12 35 17 35 17 35 5 掷一个骰子的试验 事件 A 表示 小于 5 的偶数点出现 事件 B 表示 小于 5 的 点数出现 则一次试验中 事件 A B 发生的概率为 A B 1 3 1 2 C D 2 3 5 6 解析 选 C 掷一个骰子的试验有 6 种可能结果 依题意 P A P B P B 2 6 1 3 4 6 2 3 1 P B 1 B 表示 出现 5 点或 6 点 的事件 因此事件 A 与 B 互斥 从而 2 3 1 3 P A B P A P B 1 3 1 3 2 3 6 某城市 2014 年的空气质量状况如下表所示 污染指数 T3060100110130140 概率 P 1 10 1 6 1 3 7 30 2 15 1 30 其中污染指数 T 50 时 空气质量为优 50 T 100 时 空气质量为良 100 T 150 时 空气质量为轻微污染 则该城市 2014 年空气质量达到良或优的概率为 解析 由题意可知 2014 年空气质量达到良或优的概率为 P 1 10 1 6 1 3 3 5 答案 3 5 7 如果事件 A 与 B 是互斥事件 且事件 A B 发生的概率是 0 64 事件 B 发生的概 率是事件 A 发生的概率的 3 倍 则事件 A 发生的概率为 解析 设 P A x P B 3x P A B P A P B x 3x 0 64 P A x 0 16 答案 0 16 8 抛掷一枚均匀的正方体骰子 各面分别标有数字 1 2 3 4 5 6 事件 A 表示 朝上一面的数是奇数 事件 B 表示 朝上一面的数不超过 2 则 P A B 解析 将事件 A B