初中二次函数知识点总结与练习题

1 二次函数知识点总结 一 二次函数概念 1 二次函数的概念 一般地 形如 是常数 的函数 叫做二次函数 2 yaxbxc abc何何0a 这里需要强调 和一元二次方程类似 二次项系数 而可以为零 二次函数的定义域是全0a bc何 体实数 2 二次函数的结构特征 2 yaxbxc 等号左边是函数 右边是关于自变量的二次式 的最高次数是 2 xx 是常数 是二次项系数 是一次项系数 是常数项 abc何何abc 二 二次函数的基本形式 1 二次函数基本形式 的性质 2 yax a 的绝对值越大 抛物线的开口越小 2 的性质 2 yaxc 上加下减 3 的性质 2 ya xh 左加右减 的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质 0a 向上 00何 轴y 时 随的增大而增大 时 0 x yx0 x 随的增大而减小 时 有最小yx0 x y 值 0 0a 向下 00何 轴y 时 随的增大而减小 时 0 x yx0 x 随的增大而增大 时 有最大yx0 x y 值 0 的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质 0a 向上 0c何 轴y 时 随的增大而增大 时 0 x yx0 x 随的增大而减小 时 有最小yx0 x y 值 c 0a 向下 0c何 轴y 时 随的增大而减小 时 0 x yx0 x 随的增大而增大 时 有最大yx0 x y 值 c 的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质 0a 向上 0h何 X h 时 随的增大而增大 时 xh yxxh 随的增大而减小 时 有最小yxxh y 值 0 2 4 的性质 2 ya xhk 三 二次函数图象的平移 1 平移步骤 方法一 将抛物线解析式转化成顶点式 确定其顶点坐标 2 ya xhk hk何 保持抛物线的形状不变 将其顶点平移到处 具体平移方法如下 2 yax hk何 h 0 h0 k0 h0 h0 k0 k 0 k y a x h 2 k y a x h 2 y ax2 ky ax2 2 平移规律 在原有函数的基础上 值正右移 负左移 值正上移 负下移 hk 概括成八个字 左加右减 上加下减 方法二 沿轴平移 向上 下 平移个单位 变成cbxaxy 2 ymcbxaxy 2 或 mcbxaxy 2 mcbxaxy 2 沿 x 轴平移 向左 右 平移个单位 变成cbxaxy 2 mcbxaxy 2 或 cmxbmxay 2 cmxbmxay 2 四 二次函数与的比较 2 ya xhk 2 yaxbxc 从解析式上看 与是两种不同的表达形式 后者通过配方可以得到前 2 ya xhk 2 yaxbxc 0a 向下 0h何 X h 时 随的增大而减小 时 xh yxxh 随的增大而增大 时 有最大yxxh y 值 0 的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质 0a 向上 hk何 X h 时 随的增大而增大 时 xh yxxh 随的增大而减小 时 有最小yxxh y 值 k 0a 向下 hk何 X h 时 随的增大而减小 时 xh yxxh 随的增大而增大 时 有最大yxxh y 值 k 3 者 即 其中 2 2 4 24 bacb ya x aa 2 4 24 bacb hk aa 何 五 二次函数图象的画法 2 yaxbxc 五点绘图法 利用配方法将二次函数化为顶点式 确定其开口方向 2 yaxbxc 2 ya xhk 对称轴及顶点坐标 然后在对称轴两侧 左右对称地描点画图 一般我们选取的五点为 顶点 与 轴的交点 以及关于对称轴对称的点 与轴的交点 若与y 0c何 0c何 2hc x 1 0 x 何 2 0 x 何 轴没有交点 则取两组关于对称轴对称的点 x 画草图时应抓住以下几点 开口方向 对称轴 顶点 与轴的交点 与轴的交点 xy 六 二次函数的性质 2 yaxbxc 1 当时 抛物线开口向上 对称轴为 顶点坐标为 0a 2 b x a 2 4 24 bacb aa 何 当时 随的增大而减小 当时 随的增大而增大 当时 有最 2 b x a yx 2 b x a yx 2 b x a y 小值 2 4 4 acb a 2 当时 抛物线开口向下 对称轴为 顶点坐标为 当时 0a 2 b x a 2 4 24 bacb aa 何 2 b x a 随的增大而增大 当时 随的增大而减小 当时 有最大值 yx 2 b x a yx 2 b x a y 2 4 4 acb a 七 二次函数解析式的表示方法 1 一般式 为常数 2 yaxbxc abc0a 2 顶点式 为常数 2 ya xhk ahk0a 3 两根式 是抛物线与轴两交点的横坐标 12 ya xxxx 0a 1 x 2 xx 注意 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式 但并非所有的二次函数都可以写成交点式 只有抛物线与轴有交点 即时 抛物线的解析式才可以用交点式表示 二次函数解析x 2 40bac 式的这三种形式可以互化 八 二次函数的图象与各项系数之间的关系 1 二次项系数a 二次函数中 作为二次项系数 显然 2 yaxbxc a0a 当时 抛物线开口向上 的值越大 开口越小 反之的值越小 开口越大 0a aa 当时 抛物线开口向下 的值越小 开口越小 反之的值越大 开口越大 0a aa 总结起来 决定了抛物线开口的大小和方向 的正负决定开口方向 的大小决定开口的大aaa 小 2 一次项系数b 在二次项系数确定的前提下 决定了抛物线的对称轴 ab 在的前提下 0a 当时 即抛物线的对称轴在轴左侧 0b 0 2 b a y 4 当时 即抛物线的对称轴就是轴 0b 0 2 b a y 当时 即抛物线对称轴在轴的右侧 0b 0 2 b a y 在的前提下 结论刚好与上述相反 即0a 当时 即抛物线的对称轴在轴右侧 0b 0 2 b a y 当时 即抛物线的对称轴就是轴 0b 0 2 b a y 当时 即抛物线对称轴在轴的左侧 0b 0 2 b a y 总结起来 在确定的前提下 决定了抛物线对称轴的位置 ab 的符号的判定 对称轴在轴左边则 在轴的右侧则 概括的说就是ab a b x 2 y0 aby0 ab 左同右异 总结 3 常数项c 当时 抛物线与轴的交点在轴上方 即抛物线与轴交点的纵坐标为正 0c yxy 当时 抛物线与轴的交点为坐标原点 即抛物线与轴交点的纵坐标为 0c yy0 当时 抛物线与轴的交点在轴下方 即抛物线与轴交点的纵坐标为负 0c yxy 总结起来 决定了抛物线与轴交点的位置 cy 总之 只要都确定 那么这条抛物线就是唯一确定的 abc何何 二次函数解析式的确定 根据已知条件确定二次函数解析式 通常利用待定系数法 用待定系数法求二次函数的解析式必须 根据题目的特点 选择适当的形式 才能使解题简便 一般来说 有如下几种情况 1 已知抛物线上三点的坐标 一般选用一般式 2 已知抛物线顶点或对称轴或最大 小 值 一般选用顶点式 3 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标 一般选用两根式 x 4 已知抛物线上纵坐标相同的两点 常选用顶点式 九 二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况 可以用一般式或顶点式表达 1 关于轴对称x 关于轴对称后 得到的解析式是 2 yaxbxc x 2 yaxbxc 关于轴对称后 得到的解析式是 2 ya xhk x 2 ya xhk 2 关于轴对称y 关于轴对称后 得到的解析式是 2 yaxbxc y 2 yaxbxc 关于轴对称后 得到的解析式是 2 ya xhk y 2 ya xhk 3 关于原点对称 关于原点对称后 得到的解析式是 2 yaxbxc 2 yaxbxc 5 关于原点对称后 得到的解析式是 2 ya xhk 2 ya xhk 4 关于顶点对称 即 抛物线绕顶点旋转 180 关于顶点对称后 得到的解析式是 2 yaxbxc 2 2 2 b yaxbxc a 关于顶点对称后 得到的解析式是 2 ya xhk 2 ya xhk 5 关于点对称 mn何 关于点对称后 得到的解析式是 2 ya xhk mn何 2 22ya xhmnk 根据对称的性质 显然无论作何种对称变换 抛物线的形状一定不会发生变化 因此永远不a 变 求抛物线的对称抛物线的表达式时 可以依据题意或方便运算的原则 选择合适的形式 习惯上是 先确定原抛物线 或表达式已知的抛物线 的顶点坐标及开口方向 再确定其对称抛物线的顶点坐标及 开口方向 然后再写出其对称抛物线的表达式 十 二次函数与一元二次方程 1 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数与轴交点情况 x 一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况 2 0axbxc 2 yaxbxc 0y 图象与轴的交点个数 x 当时 图象与轴交于两点 其中的是一元二次 2 40bac x 12 00A xB x 12 xx 12 xx 方程的两根 这两点间的距离 2 00axbxca 2 21 4bac ABxx a 当时 图象与轴只有一个交点 0 x 当时 图象与轴没有交点 0 x 当时 图象落在轴的上方 无论为任何实数 都有 1 0a xx0y 当 时 图象落在轴的下方 无论为任何实数 都有 2 0a xx0y 2 抛物线的图象与轴一定相交 交点坐标为 2 yaxbxc y 0 c 3 二次函数常用解题方法总结 求二次函数的图象与轴的交点坐标 需转化为一元二次方程 x 求二次函数的最大 小 值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式 根据图象的位置判断二次函数中 的符号 或由二次函数中 的符 2 yaxbxc abcabc 号判断图象的位置 要数形结合 二次函数的图象关于对称轴对称 可利用这一性质 求和已知一点对称的点坐标 或已知与轴的x 一个交点坐标 可由对称性求出另一个交点坐标 6 与二次函数有关的还有二次三项式 二次三项式本身就是所含字母的二次函数 2 0 axbxc a x 下面以时为例 揭示二次函数 二次三项式和一元二次方程之间的内在联系 0a 图像参考 y x2 2 y 2x2 y x2 y 2x2 y x2 y x2 2 y 2x2 4 y 2x2 2 y 2x2 0 抛物线与轴有x 两个交点 二次三项式的值可正 可零 可负 一元二次方程有两个不相等实根 0 抛物线与轴只x 有一个交点 二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根 0 抛物线与轴无x 交点 二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根 y 2 x 4 2 3 y 2 x 4 2y 2x2 7 y 3 x 4 2 y 3 x 2 2 y 3x2 y 2 x 3 2 y 2 x 3 2 y 2x2 十一 函数的应用 二次函数应用 何何何何 何何何何何何何何 何何何何何何何 二次函数考查重点与常见题型 1 考查二次函数的定义 性质 有关试题常出现在选择题中 如 已知以为自变量的二次函数的图像经过原点 则的值是 x2 2 22 mmxmym 2 综合考查正比例 反比例 一次函数 二次函数的图像 习题的特点是在同一直角坐标系内考 查两个函数的图像 试题类型为选择题 如 如图 如果函数的图像在第一 二 三象限内 那么函数的图像大致是 bkxy 1 2 bxkxy y y y y 1 1 0 x o 1 x 0 x 0 1 x A B C D 3 考查用待定系数法求二次函数的解析式 有关习题出现的频率很高 习题类型有中档解答题和 选拔性的综合题 如 已知一条抛物线经过 0 3 4 6 两点 对称轴为 求这条抛物线的解析式 3 5 x 4 考查用配方法求抛物线的顶点坐标 对称轴 二次函数的极值 有关试题为解答题 如 已知抛物线 a 0 与 x 轴的两个交点的横坐标是 1 3 与 y 轴交点的纵坐标是 2 yaxbxc 3 2 1 确定抛物线的解析式 2 用配方法确定抛物线的开口方向 对称轴和顶点坐标 8 5 考查代数与几何的综合能力 常见的作为专项压轴题 例题经典 由抛物线的位置确定系数的符号 例 1 1 二次函数的图像如图 1 则点在 2 yaxbxc a c bM A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 2 已知二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象如图 2 所示 则下列结论 a b 同号 当 x 1 和 x 3 时 函数值相等 4a b 0 当 y 2 时 x 的值只能取 0 其中正确的个数是 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 1 2 点评 弄清抛物线的位置与系数 a b c 之间的关系 是解决问题的关键 例 2 已知二次函数 y ax2 bx c 的图象与 x 轴交于点 2 O x1 0 且 1 x1 2 与 y 轴的正半轴的 交点在点 O 2 的下方 下列结论 a bO 4a cO 其中正确结论的个数 为 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 答案 D 会用待定系数法求二次函数解析式 例 3 已知 关于 x 的一元二次方程 ax2 bx c 3 的一个根为 x 2 且二次函数 y ax2 bx c 的对称轴是直 线 x 2 则抛物线的顶点坐标为 A 2 3 B 2 1 C 2 3 D 3 2 答案 C 例 4 2006 年烟台市 如图 单位 m 等腰三角形 ABC 以 2 米 秒的速度沿直线 L 向正方形移动 直 到 AB 与 CD 重合 设 x 秒时 三角形与正方形重叠部分的面积为 ym2 1 写出 y 与 x 的关系式 2 当 x 2 3 5 时 y 分别是多少 3 当重叠部分的面积是正方形面积的一半时 三角形移动了多长时间 求抛物线顶点坐标 对称轴 例 5 已知抛物线 y x2 x 1 2 5 2 1 用配方法求它的顶点坐标和对称轴 2 若该抛物线与 x 轴的两个交点为 A B 求线段 AB 的长 点评 本题 1 是对二次函数的 基本方法 的考查 第 2 问主要考查二次函数与一元二次方程 的关系 例 6 已知 二次函数 y ax2 b 1 x 3a 的图象经过点 P 4 10 交 x 轴于 两点 0 1 xA 0 2 xB 交 y 轴负半轴于 C 点 且满足 3AO OB 21 xx 1 求二次函数的解析式 2 在二次函数的图象上是否存在点 M 使锐角 MCO ACO 若存在 请你求出 9 M 点的横坐标的取值范围 若不存在 请你说明理由 1 解 如图 抛物线交 x 轴于点 A x1 0 B x2 O 则 x1 x2 3 0 又 x1O x1 O 30A OB x2 3x1 x1 x2 3x12 3 x12 1 x1 0 x1 1 x2 3 点 A 1 O P 4 10 代入解析式得解得 a 2 b 3 二次函数的解析式为 y 2x2 4x 6 2 存在点 M 使 MC0 ACO 2 解 点 A 关于 y 轴的对称点 A 1 O 直线 A C 解析式为 y 6x 6 直线 A C 与抛物线交点为 0 6 5 24 符合题意的 x 的范围为 1 x 0 或 O x 5 当点 M 的横坐标满足 1 x O 或 O x ACO 例 7 已知函数的图象经过点 A c 2 cbxxy 2 2 1 求证 这个二次函数图象的对称轴是 x 3 题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字 1 根据已知和结论中现有的信息 你能否求出题中的二次函数解析式 若能 请写出求解过程 并画出二次函数图象 若不能 请说明理由 2 请你根据已有的信息 在原题中的矩形框中 填加一个适当的条件 把原题补充完整 点评 对于第 1 小题 要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式 就要把原来的结 论 函数图象的对称轴是 x 3 当作已知来用 再结合条件 图象经过点 A c 2 就可以列出两个 方程了 而解析式中只有两个未知数 所以能够求出题中的二次函数解析式 对于第 2 小题 只要给 出的条件能够使求出的二次函数解析式是第 1 小题中的解析式就可以了 而从不同的角度考虑可以添 加出不同的条件 可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标 可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交 点的坐标等 解答 1 根据的图象经过点 A c 2 图象的对称轴是 x 3 得cbxxy 2 2 1 3 2 1 2 2 2 1 2 b cbcc 解得 2 3 c b 所以所求二次函数解析式为图象如图所示 2 3 2 1 2 xxy 2 在解析式中令 y 0 得 解得023 2 1 2 xx 53 53 21 xx 所以可以填 抛物线与 x 轴的一个交点的坐标是 3 或 抛物线与 x 轴的一个交点的坐标 0 5 是 0 53 令 x 3 代入解析式 得 2 5 y 10 所以抛物线的顶点坐标为23 2 1 2 xxy 2 5 3 所以也可以填抛物线的顶点坐标为等等 2 5 3 函数主要关注 通过不同的途径 图象 解析式等 了解函数的具体特征 借助多种现实背景理解函数 将函数视为 变化过程中变量之间关系 的数学模型 渗透函数的思想 关注函数与相关知识的联系 用二次函数解决最值问题 例 1 已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形 ABCDE 如图 其中 AF 2 BF 1 试在 AB 上求一 点 P 使矩形 PNDM 有最大面积 评析 本题是一道代数几何综合题 把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起 能很好考查 学生的综合应用能力 同时 也给学生探索解题思路留下了思维空间 例 2 某产品每件成本 10 元 试销阶段每件产品的销售价 x 元 与产品的日销售量 y 件 之间的关 系如下表 x 元 152030 y 件 252010 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数 1 求出日销售量 y 件 与销售价 x 元 的函数关系式 2 要使每日的销售利润最大 每件产品的销售价应定为多少元 此时每日销售利润是多少元 解析 1 设此一次函数表达式为 y kx b 则 解得 k 1 b 40 即一次函数表 1525 220 kb kb 达式为 y x 40 2 设每件产品的销售价应定为 x 元 所获销售利润为 w 元 w x 10 40 x x2 50 x 400 x 25 2 225 产品的销售价应定为 25 元 此时每日获得最大销售利润为 225 元 点评 解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似 也有区别 主要有两点 1 设未知数在 当某某为何值时 什么最大 或最小 最省 的设问中 某某 要设为自变量 什么 要设为函 数 2 问的求解依靠配方法或最值公式 而不是解方程 例 3 你知道吗 平时我们在跳大绳时 绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线 如图所示 正在甩绳 的甲 乙两名学生拿绳的手间距为 4 m 距地面均为 1m 学生丙 丁分别站在距甲拿绳的手水平距离 1m 2 5 m 处 绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶 已知学生丙的身高是 1 5 m 则学生丁的身 高为 建立的平面直角坐标系如右图所示 A 1 5 m B 1 625 m C 1 66 m D 1 67 m 分析 本题考查二次函数的应用 答案 B 二 二次函数部分二 二次函数部分 1 如图所示是二次函数图象的一部分 图象过点 3 0 二次函数图象对称轴为 2 yaxbxc A 给出四个结论 1x O y x 1x 3 0 A 第 1 题图 11 A Ox y B Ox y C Ox y D O x y a b c 0 其中正确结论是 2 4bac 0bc 20ab A B C D 2 已知二次函数 2 yaxbxc 的图象与x轴交于点 2 0 1 0 x 且 1 12x 与y轴的正半轴 的交点在 0 2 的下方 下列结论 420abc 0ab 20ac 210ab 4a c 0其中的正确结论是 3 在同一直角坐标系中 函数 y mx m 和 y mx2 2x 2 m 是常数 且 m 0 的图象可能是 4 把抛物线向左平移 1 个单位 然后向上平移 3 个单位 则平移后抛物线的解析式为 2 yx A B 2 1 3yx 2 1 3yx C D 2 1 3yx 2 1 3yx 5 把抛物线 y ax bx c 的图象先向右平移 3 个单位 再向下平移 2 个单位 所得的图象的解析式是 2 y x 3x 5 则 a b c 2 6 图 6 1 是一个横断面为抛物线形状的拱桥 当水面在 l 时 拱顶 拱桥洞的最高点 离水面 2m 水 面宽 4m 如图 6 2 建立平面直角坐标系 则抛物线的关系式是 A 2 2yx B 2 2yx C 2 1 2 yx D 2 1 2 yx 7 如图是抛物线的一部分 其对称轴cbxaxy 2 为直线 1 若其与轴一交点为 B 3 0 则xx 由图象可知 不等式 0 的解集是 cbxax 2 8 根据下表中的二次函数的自变量与函数的对应值 可判断该二次函数的图象与 2 yaxbxc xy 轴 x x 1 012 图 6 1 图 6 2 第 7 题图 12 y 1 7 4 2 7 4 A 只有一个交点 B 有两个交点 且它们分别在轴两侧y C 有两个交点 且它们均在轴同侧 D 无交点y 9 如图 抛物线与轴的一个交点 A 在点 2 0 和 1 0 之间 包括这两点 2 yaxbxc x 顶点 C 是矩形 DEFG 上 包括边界和内部 的一个动点 则 填 或 1 abc 0 的取值范围是 1 a 10 本小题满分 6 分 如图二次函数 2 yxbxc 的图象经过 1A 0和 3 0B 两点 且交y轴于点C 1 试确定b c的值 2 过点C作CDx 轴交抛物线于点D 点M为此抛物线的顶点 试确定MCD 的形状 参考公式 顶点坐标 2 4 24 bacb aa 11 如图 抛物线与 x 轴正半轴交于点 A 3 0 以 OA 为边在 x 轴上方作正方形 2 3 2 xaxy OABC 延长 CB 交抛物线于点 D 再以 BD 为边向上作正方形 BDEF 1 求 a 的值 2 分 2 求点 F 的坐标 5 分 12 本题满分 10 分 如图 在平面直角坐标系中 且 点的坐标是 OBOA 2OBOA A 12 1 求点的坐标 B 2 求过点的抛物线的表达式 AOB 0 x y A B C y O B A x 1 1 13 3 连接 在 2 中的抛物线上求出点 使得 ABP ABPABO SS 13 本小题满分 10 分 已知一元二次方程的一根为 2 2 10 xpxq 1 求关于的关系式 qp 2 求证 抛物线与轴恒有两个交点 2 yxpxq x 14 10 分 鞋子的 鞋码 和鞋长 cm 存在一种换算关系 下表是几组 鞋码 与鞋长换算的对应 数值 注 鞋码 是表示鞋子大小的一种号码 鞋长 cm 16192124 鞋码 号 22283238 1 设鞋长为 x 鞋码 为 y 试判断点 x y 在你学过的哪种函数的图象上 2 求 x y 之间的函数关系式 3 如果某人穿 44 号 鞋码 的鞋 那么他的鞋长是多少 15 满分 8 分 阅读材料 解答问题 例 用图象法解一元二次不等式 2 230 xx 解 设 则是的二次函数 2 23yxx yx 抛物线开口向上 10a 又当时 解得 0y 2 230 xx 12 13xx 由此得抛物线的大致图象如图所示 2 23yxx 观察函数图象可知 当或时 1x 3x 0y 的解集是 或 2 230 xx 1x 3x 1231 2 1 2 3 1 2 3 4 x y 第 22 题 14 1 观察图象 直接写出一元二次不等式 的解集是 2 230 xx 2 仿照上例 用图象法解一元二次不等式 大致图象画在答题卡上 2 10 x 以下是二次函数和相似结合的几道经典题 以下是二次函数和相似结合的几道经典题 16 9 分 如图 11 抛物线与轴相交于 A B 两点 点 A 在点 B 右侧 过点 A 1 3 xxayx 的直线交抛物线于另一点 C 点 C 的坐标为 2 6 1 求 a 的值及直线 AC 的函数关系式 2 P 是线段 AC 上一动点 过点 P 作 y 轴 的平行线 交抛物线于点 M 交 x 轴于点 N 求线段 PM 长度的最大值 在抛物线上是否存在这样的点 M 使 得 CMP 与 APN 相似 如果存在 请直接写 出一个 M 的坐标 不必写解答过程 如果不 存在 请说明理由 15 17 如图 二次函数的图象经过点 D 0 且顶点 C 的横坐标为 4 该图象在 x 轴上截得的线段 AB 3 9 7 的长为 6 求二次函数的解析式 在该抛物线的对称轴上找一点 P 使 PA PD 最小 求出点 P 的坐标 在抛物线上是否存在点 Q 使 QAB 与 ABC 相似 如果存在 求出点 Q 的坐标 如果不存在 请 说明理由 18 本题满分 本题满分 10 分 分 如图 抛物线的顶点为 A 2 1 且经过原点 O 与 x 轴的另一个交点为 B 1 求抛物线的解析式 2 在抛物线上求点 M 使 MOB 的面积是 AOB 面积的 3 倍 3 连结 OA AB 在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 N 使 OBN 与 OAB 相似 若存在 求出 N 点的坐标 若不存在 说明理由 y x O A B 16 19 本题满分 10 分 如图 已知抛物线 y 3 4 x2 bx c 与坐标轴交于 A B C 三点 A 点的坐标为 1 0 过点 C 的直线 y 3 4t x 3 与 x 轴交于点 Q 点 P 是线段 BC 上的一个动点 过 P 作 PH OB 于点 H 若 PB 5t 且 0 t 1 1 填空 点 C 的坐标是 b c 2 求线段 QH 的长 用含 t 的式子表示 3 依点 P 的变化 是否存在 t 的值 使以 P H Q 为顶点的三角形与 COQ 相似 若存在 求 出所有 t 的值 若不存在 说明理由 20 本题满分 12 分 如图 已知二次函数 的图象与 x 轴的正半轴相交于点 A B 与 y 轴cbxxy 2 2 1 0 c 相交于点 C 且 OBOAOC 2 1 求 c 的值 2 若 ABC 的面积为 3 求该二次函数的解析式 3 设 D 是 2 中所确定的二次函数图象的顶点 试问在直线 AC 上是否存在一点 P 使 PBD 的周长 最小 若存在 求出点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 AB x y O Q H P C 17 21 本小题满分 15 分 如图 在平面直角坐标系中放置一直角三角板 其顶点为 将此三角板绕 10 A 03 B 0 0 O 原点顺时针旋转 得到 O90 A B O 1 如图 一抛物线经过点 求该抛物线解析式 AB B 2 设点是在第一象限内抛物线上一动点 求使四边形的面积达到最大时点的坐标及面积PPBAB P 的最大值 22 如图 已知直线与轴交于点 A 与轴交于点 D 抛物线与直线交于 1 1 2 yx yx 2 1 2 yxbxc A E 两点 与轴交于 B C 两点 且 B 点坐标为 1 0 x 求该抛物线的解析式 动点 P 在轴上移动 当 PAE 是直角三角形时 求点 P 的坐标 P 在抛物线的对称轴上找一点 M 使的值最大 求出 AMMC 点 M 的坐标 23 本小题满分 12 分 如图 已知抛物线 2 43yxx 交x轴于 A B 两点 交y轴于点 C 抛物线的对称轴交x轴于点 3 2 1 121 1 A B A O B x y 18 E 点 B 的坐标为 1 0 1 求抛物线的对称轴及点 A 的坐标 2 在平面直角坐标系xoy中是否存在点 P 与 A B C 三点构成一个平行四边形 若存在 请写 出点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 3 连结 CA 与抛物线的对称轴交于点 D 在抛物线上是否存在点 M 使得直线 CM 把四边形 DEOC 分成面积相等的两部分 若存在 请求出直线 CM 的解析式 若不存在 请说明理由 24 本题满分 10 分 如图 抛物线 2 1 2 4 yxx 的顶点为 A 与 y 轴交于点 B 1 求点 A 点 B 的坐标 2 若点 P 是 x 轴上任意一点 求证 PAPBAB 3 当PBPA 最大时 求点 P 的坐标 25 13 分 如图 等腰梯形花圃 ABCD 的底边 AD 靠墙 另三边用长为 40 米的铁栏杆围成 设该花圃的腰 AB