初二数学(二次根式和勾股定理)

QZP 初二数学 二次根式二次根式 一 二次根式的意义及性质 一 二次根式的意义及性质 题组 1 形如 的式子叫做二次根式 注 注 在二次根式中 被开放数可以是数 也可以是单项式 多项式 分式等代数式 但必须注意 但必须注意 因为负数没有平方根 所 以是为二次根式的前提条件 如 等是二次根式 而 等都不是二次根式 跟踪练习 1 下列各式中一定是二次根式的是 A 2 1x B 25 C 4 D 1x 2 下列各式中 是二次根式的有 填序号 7 9 2 a 2 2x 3 2 5 2 21x 2 21n 21x 3 9 3 下列各式中 是二次根式的有 填序号 a a 2 2a 2 a 2 1a 2 1a 5 3 4 若01x 1 化简 12 24 18 28 32 40 2 化简 3 8a b 23 16ab c 4y 45 12a b c 3 化简 2 3 3 1 5 3 20 2 2 3 12 a 题组 6 最简二次根式和同类二次根式 1 1 最简二次根式 最简二次根式 必须同时满足下列条件 被开方数中不含开方开的尽的因数或因式不含开方开的尽的因数或因式 被开方数中不含分母不含分母 分母中不含根式不含根式 2 2 同类二次根式 同类二次根式 二次根式化成最简二次根式后 若被开方数相同被开方数相同 则这几个二次根式就是同类二次根式 1 把下列各式化成最简二次根式 QZP 初二数学 1 8 3 3 2 22 4041 3 2 25 5 m 4 224 yxx 2 下列各式中哪些是同类二次根式 1 75 27 1 12 2 50 1 3 10 1 2 5 33 cba 323 cba 4 c ab a bc a 题组 7 乘除法计算 1 61520 2 182075 3 81 513 54 273 4 27506 5 3 2 125 2 4 6 35 13 2 24 aaa 题组 8 加减法 1 925aa 2 8045 3 1 2 1263 48 3 4 1 240 56 8 5 189827 6 13 23227 24 题组 9 混合运算 1 836 2 4 23 62 2 3 125 83 4 1 48627 4 5 2 483 276 6 5352 QZP 初二数学 三 分母有理化有两种方法 I 分母是单项式 II 分母是多项式 要利用平方差公式 注意 1 根式中不能含有分母 2 分母中不能含有根式 跟踪练习 1 已知 13 2 x 求1 2 xx的值 2 2 已知 x 23 23 23 23 y 求代数式 3x2 5xy 3y2的值 3 21 1 32 1 43 1 10099 1 四 关于求二次根式的整数部分与小数部分的问题四 关于求二次根式的整数部分与小数部分的问题 1 估算31 2 的值 A 在 1 和 2 之间 B 在 2 和 3 之间 C 在 3 和 4 之间 D 在 4 和 5 之间 2 若3的整数部分是 a 小数部分是 b 则 ba3 3 已知 9 13913 与的小数部分分别是 a 和 b 求 ab 3a 4b 8 的值 4 若 a b 为有理数 且8 18 8 1 a b2 则 b a 五 二次根式的比较大小五 二次根式的比较大小 1 32200 5 1 和 2 5566 和 3 13151517 和 倒数法 QZP 初二数学 勾股定理基础知识点 勾股定理基础知识点 勾股定理 2 勾股定理的逆定理 3 勾股数 4 勾股定理 逆定理的应用 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算计算或直角三角形中线段之间的关 系的证明问题证明问题 在使用勾股定理时 必须把握直角三角形的前提条件 了解直角三角形 中 斜边和直角边各是什么 以便运用勾股定理进行计算 应设法添加辅助线 通常作 垂线 构造直角三角形 以便正确使用勾股定理进行求解 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是 直角三角形 在具体推算过程中 应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较 切不 可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论 经典例题精讲经典例题精讲 题型一 直接考查勾股定理题型一 直接考查勾股定理 例 在ABC 中 90C 已知6AC 8BC 求 AB 的长 已知17AB 15AC 求BC的长分析 直接应用勾股定理 222 abc 解 22 10ABACBC 22 8BCABAC 题型二 利用勾股定理测量长度题型二 利用勾股定理测量长度 例题例题 1 1 如果梯子的底端离建筑物 9 米 那么 15 米长的梯子可以到达建 筑物的高度是多少米 解析 解析 这是一道大家熟知的典型的 知二求一 的题 把实物模型转化为数学模型后 已知斜边长和一条直角边长 求另外一条直角边的长度 可以直接利用勾股定理 根据勾股定理 AC 2 BC2 AB2 即 AC2 92 152 所以 AC2 144 所以 AC 12 C BD A QZP 初二数学 例题例题 2 2 如图 8 水池中离岸边 D 点 1 5 米的 C 处 直立长着一根芦苇 出水部分 B C 的长是 0 5 米 把芦苇拉到岸边 它的顶端 B 恰好落到 D 点 并求水池的深度 AC 解析 解析 同例题 1 一样 先将实物模型转化为数学模型 如图 2 由题意可知 ACD 中 ACD 90 在 Rt ACD 中 只知道 CD 1 5 这是典型的利用勾股定理 知二求一 的类型 标准解题步骤如下 仅供参考 解 解 如图 2 根据勾股定理 AC 2 CD2 AD2 设水深 AC x 米 那么 AD AB AC CB x 0 5 x 2 1 52 x 0 5 2 解之得 x 2 故水深为 2 米 题型三题型三 勾股定理和逆定理并用勾股定理和逆定理并用 例题例题 3 3 如图 4 正方形 ABCD 中 E 是 BC 边上的中点 F 是 AB 上一点 且ABFB 4 1 那么 DEF 是直角三角形吗 为什么 解析 解析 这道题把很多条件都隐藏了 乍一看有点摸不着头脑 仔细读题会意可以发现规 律 没有任何条件 我们也可以开创条件 由ABFB 4 1 可以设 AB 4a 那么 BE C E 2 a AF 3 a BF a 那么在 Rt AFD Rt BEF 和 Rt CDE 中 分别利用勾股定理 求出 DF EF 和 DE 的长 反过来再利用勾股定理逆定理去判断 DEF 是否是直角三角 形 QZP 初二数学 注 本题利用了四次勾股定理 是掌握勾股定理的必练习题 注 本题利用了四次勾股定理 是掌握勾股定理的必练习题 题型四题型四 利用勾股定理求线段长度利用勾股定理求线段长度 例题例题 4 4 如图 3 已知长方形 ABCD 中 AB 8cm BC 10cm 在边 CD 上取一点 E 将 ADE 折 叠使点 D 恰好落在 BC 边上的点 F 求 CE 的长 解析 解析 解题之前先弄清楚折叠中的不变量 合理设元是关键 题型五 利用勾股定理逆定理判断垂直题型五 利用勾股定理逆定理判断垂直 例题例题 5 5 如图 5 王师傅想要检测桌子的表面 AD 边是否垂直与 AB 边和 CD 边 他测得 AD 80cm AB 60cm BD 100cm AD 边与 AB 边垂直吗 怎样去验证 AD 边与 CD 边是否垂直 解析 解析 由于实物一般比较大 长度不容易用直尺来方便测量 我们通常截取部分长度来 验证 如图 4 矩形 ABCD 表示桌面形状 在 AB 上截取 AM 12cm 在 AD 上截取 AN 9cm 想想 为什么要设为这两个长度 连结 MN 测量 MN 的长度 果 MN 15 则 AM 2 AN2 MN2 所以 AD 边与 AB 边垂直 QZP 初二数学 题型六 旋转问题 题型六 旋转问题 例 1 如图 ABC 是直角三角形 BC 是斜边 将 ABP 绕点 A 逆时针旋转后 能与 ACP 重合 若 AP 3 求 PP 的长 变式 1 如图 P 是等边三角形 ABC 内一点 PA 2 PB 2 3 PC 4 求 ABC 的边长 分析 利用旋转变换 将 BPA绕点B逆时针选择60 将三条线段集中到同一个三角形中 根据它们的数量关系 由勾股定理可知这是一个直角三角形 变式2 如图 ABC为等腰直角三角形 BAC 90 E F是BC上的点 且 EAF 45 试探究 222 BECFEF 间的关系 并说明理由 QZP 初二数学 选择题 1 已知一个 Rt 的两边长分别为 3 和 4 则第三边长的平方是 A 25 B 14 C 7 D 7 或 25 2 Rt 一直角边的长为 11 另两边为自然数 则 Rt 的周长为 A 121 B 120 C 132 D 不能确定 3 如果 Rt 两直角边的比为 5 12 则斜边上的高与斜边的比为 A 60 13 B 5 12 C 12 13 D 60 169 4 已知 Rt ABC 中 C 90 若 a b 14cm c 10cm 则 Rt ABC 的面积是 A 24cm 2 B 36cm 2 C 48cm 2 D 60cm 2 5 等腰三角形底边上的高为 8 周长为 32 则三角形的面积为 A 56 B 48 C 40 D 32 6 某市在旧城改造中 计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境 已知这种草皮每平方米 售价 a 元 则购买这种草皮至少需要 A 450a 元 B 225a 元 C 150a 元 D 300a 元 7 已知 如图长方形 ABCD 中 AB 3cm AD 9cm 将此长方形折叠 使点 B 与点 D 重合 折痕为 EF 则 ABE 的面积为 A 6cm 2