考研数学三知识点总结

高数高数 三角函数变换 cos A B cosAcosB sinAsinBcos A B cosAcosB sinAsinB sin A B sinAcosB cosAsinBsin A B sinAcosB cosAsinB sinAcosB 1 2 sin A B sin A B sinxcosx 1 2 sin2x sinAsinB 1 2 cos A B cos A B sin2x 1 2 1 cos2x cosAcosB 1 2 cos A B cos A B cos2x 1 2 1 cos2x cos2x 1 tan 2x 1 tan 2x sin2x 2tanx 1 tan 2x arcsinx arccosx 2 arctanx arccotx 2 arctanx arctan 1 x 2 圆柱体积 V r2h 圆锥体积 V 1 3 r 2h 球体积 V 4 3 r3 椭圆面积 S ab 抛物线y2 2px交点坐标 p 2 0 准线 x p 2 点到直线距离 ax0 by0 c a 2 b2 第一类间断点 包括可去间断点和跳跃间断点 可去间断点 间断点处左右极限存在但不等于该点函数值 f x0 0 f x0 0 f x0 跳跃间断点 间断点处左右极限存在但不相等 f x0 0 f x0 0 第二类间断点 间断点处左右极限至少有一个是 重要极限 lim x 0 sinx x 1 lim x 1 1 x x elim x 0 1 x 1 x e x趋向于 0 时的等价无穷小 sinx x tanx x arcsinx x arctanx x 1 cosx 1 2 x2 ln 1 x x loga x 1 x lna e x 1 x ax 1 xlna n 1 x 1 x n 1 bx a 1 abx 导数公式 a x axlna logax 1 xlna tanx sec2x cotx csc2x secx secxtanx cscx cscxcotx arcsinx 1 1 x 2 arccosx 1 1 x 2 arctanx 1 1 x2 arccotx 1 1 x2 sin ax b n ansin ax b n 2 cos ax b n ancos ax b n 2 1 ax b n 1 nann ax b n 1 ln ax b n 1 n 1 n 1 an ax b n 积分公式 dx x 2 a2 ln x x 2 a2 C dx a 2 x2 arcsin x a C dx x2 a2 1 2 ln x a x a C dx x2 a2 1 a arctan x a C dx a2x2 b2 1 ab arctan ax b c secxdx ln secx tanx c cscxdx ln cscx cotx c a 2 x2dx a 2 2 arcsin x 2 x 2 a 2 x2 c x 2 a2dx x 2 x 2 a2 a 2 2 ln x x2 a2 c 0 2 sin n xdx 0 2 cosnxdx n 1 n 2 n为偶数 0 2 sin n xdx 0 2 cosnxdx n 1 n n为奇数 0 2 f sinx dx 0 2 f cosx dx 0 xf sinx dx 2 0 f sinx dx 0 2 f sinx dx 0 x f t dt 0 x f t dt 0 a f x dx 1 2 0 a f x f x dx a a f x dx 0 a f x f x dx f x x y f y x y 在 x0 y0 连续 z f x y 在 x0 y0 可微 f x y 在 x0 y0 连续 二重积分特点 积分区域D 关于x轴对称 D f x y d 0 f为y 的奇函数 即 f x y f x y D f x y d 2 D1 f x y d f 为y的偶函数 即 f x y f x y 积分区域D 关于y轴对称 D f x y d 0 f为x 的奇函数 即 f x y f x y D f x y d 2 D1 f x y d f 为x的偶函数 即 f x y f x y 积分区域关于原点对称 D f x y d 0 f为x y 的奇函数 即 f x y f x y D f x y d 2 D1 f x y d f 为x y的偶函数 即 f x y f x y 函数展开式 e x 1 x 1 2 x 2 1 n xn k 0 n xk k sinx x 1 3 x3 1 5 x5 1 n 1 1 2n 1 x2n 1 k 0 n 1 k x2k 1 2k 1 cosx 1 1 2 x2 1 4 x4 1 n 1 2n x2n k 0 n 1 k x2k 2k ln 1 x x 1 2 x2 1 3 x3 1 n 1 1 n xn k 1 n 1 k 1 xk k 1 1 x k 0 n 1 kxk 1 1 x k 0 n xk 多元函数极值 驻点 x0 y0 满足 f x x0 y0 0 fy x0 y0 0 且 A f xx x0 y0 B fxy x0 y0 C f yy x0 y0 B2 AC0 时是最小值 A0时 x0 y0 不是极值点 B2 AC 0时 不能判断 需要另外方法讨论 一阶线性微分方程 y p x y q x 公式法通解 y e p x dx q x e p x dx dx C 二阶常系数线性微分方程 y py qy 0 特征方程 r 2 pr q 0 p2 4q 0时 有两个相异实根 r1r2 通解y f x C1e r1x C 2e r2x p2 4q 0 时 有二重根r 通解 y f x C1 C2x erx p2 4q0 i 不是特征根 y Acos x Bsin x i 是特征根 y x Acos x Bsin x 差分一般形 yt 1 ayt f t 通解 yt C a t f x 形式特解形式 f t Pn t Pn t 为n 次多项式 a 1 0 y Qn t a 1 0 y tQn t f t Mbta b 0 y Abt a b 0 y Atbt f t Mcos t Nsin ty Acos t Bsin t 渐近线 x a 是垂直渐近线 lim x a f x 必须是a左右都趋于无穷 x 时 y b 是水平渐近线 lim x f x b x 时 y kx b 是斜渐近线 lim x f x x k 且 lim x f x kx b 在考察水平渐近线和斜渐近线时 也要同时考察 x 时的情况 级数 n 1 Un收敛的必要条件是 lim n Un 0 若级数 n 1 Un收敛 任意添加括号不影响敛散性 去括号会有影响 n 0 aqn 当 q 1 时收敛 当 p 1 时发散 正项级数审敛法之一 比较判别法 n 1 Un和 n 1 V n 为正项级数 且 lim x V n Un A 当 0 A 时 n 1 Un和 n 1 V n 有相同的敛散性 当 A 0 时 n 1 Un收敛 则 n 1 V n 收敛 n 1 V n 发散 则 n 1 Un发散 当 A 时 n 1 V n 收敛 则 n 1 Un收敛 n 1 Un发散 则 n 1 V n 发散 正项级数审敛法之二 比值判别法 lim n U n 1 Un p 当 p1 时 级数 n 1 Un发散 当 p 1 时 比值判别法失效 交错级数 n 1 1 nUn级数审敛 莱布尼斯判别法 若满足 Un Un 1 即 Un 单调减少 且 lim n Un 0 则收敛 幂级数收敛半径 l lim n an 1 an 或 l lim n n an R 1 l 0 l1 时收敛 当 q 1 时发散 线性代数线性代数 A为 n 阶矩阵 A可逆 A 0 r A n Ax 0 只有零解 A与单位矩阵 E等价 A的特征值全不为 0 A的行 列向量组线性无关 A是 m n矩阵 b为 m维列向量 Ax b对于任何b 总有解 b Rm 常数 C1 C2 Cn 使 a1 a2 an C1 C2 Cn b A的列向量 a1 a2 an 可以表示任一m维列向量 n m 矩阵B 使AB E 向量组 a1 a2 an 与 1 1 0 0 2 0 1 0 n 0 0 1 等价 向量组秩 r a1 a2 an r A m A行向量线性无关 范德蒙行列式 111 1 x1x2x3 xn x1 2 x2 2 x3 2 xn 2 x1 n 1 x2 n 1 x3 n 1 xn n 1 1 j i n xi x j kA k n A AB A B A A n 1 A 1 A 1 kA k n 1 A A A A 1 A 1 A 1 A A A A n 2 A An 1 A 1 n kA 1 1 k A 1 AB 1 B 1A 1 A 1 T AT 1 A T AT kA T kAT AB T BTAT A B T AT BT AA A A E A a b cd 的伴随阵 A d b ca 即主对角线互换 副对角线变号 A0 B A 0B A B 0A B A B0 1 mn A B B 0 0C n Bn0 0C n B0 0C 1 B n 0 0C 1 0B C0 1 0C 1 B 10 r A n 若 r A n r A 1 若 r A n 1 r A 0 若 r A n 1 A经过有限次初等变换为 B 则A B等价 A B 为同型矩阵 m n 且r A r B 存在可逆矩阵P Q 使 A PBQ 注意 即使AB为n 阶方阵 未必有 A B A B是 n 阶矩阵 存在可逆矩阵P 使 P 1AP B 则A B相似 A B E A E B 即 A B有相同的特征值 i 1 n aii i 1 n bii 即 A B有相同的迹 r A r B A B A B是 n 阶实对称阵 若存在可逆矩阵C 使CTAC B 则A B合同 记为 A B 实对称阵 A B A B 二次型xTAx与 xTBx 有相同的正负惯性指数 r A r B A是 m n阶矩阵 Ax 0有非零解 r A n 即 若m n 则必有非零解 Ax b 有唯一解 r A r A n Ax b 有无穷解 r A r A n Ax b 无解 r A 1 r A b不能由A列向量线性表出 基础解系三条件 1 向量组 a1 a2 as 是方程组的解 2 向量之间线性无关 3 向量个数 s n r A 两个向量组可以互相线性表出 则两向量组等价 若向量组 I 可由向量组 II 线性表出 且 r I r II 则 I II 等价 A 为 n阶矩阵齐次方程 Ax 0非齐次方程 Ax b A 0 只有零解有唯一解 A 0 有非零解无解或者多解 向量组 a1 a2 as 线性相关 a1a2 as x1 x2 xs 0 有非零解 r a1 a2 as 0 是必要条件 A的顺序主子式全大于零 aii 0 是必要条件 存在可逆矩阵C 使得A C TC 对于二次型A r A 正 负惯性指数之和 概率概率 分布参数定义域分布率期望方差 0 1 分布P1 0pkq1 kppq 二项分布 B n p0 1 nCn k pkqn knpnpq 几何分布p1 2 pqk 11 p q p2 超几何分布n N MCM k CN M n k CN n np p M N npq N n N 1 柏松分布 P 0自然数 k k e 均匀分布 U a b a b 1 b a a b 2 b a 2 12 指数分布 E 0 e x 1 1 2 正态分布 N 1 2 e x 2 2 2 标准正态分布 0 1 1 2 e x 2 2 01 A B不相容 P AB 0 即 A B A B独立 P AB P A P B 切比雪夫大数定律 注 所有大数定律都要求样本相互独立 lim n P 1 n i 1 n Xi 1 n i 1 n EXi 1 EXiDXi存在 且DXi有上限 伯努力大数定律 lim n P 1 n i 1 n Xi P 1 Xi为参数P的的 0 1分布 辛钦大数定律 lim n P 1 n i 1 n Xi 1 Xi同分布同期望 EXi 列维 林德伯格定理 独立同分布的中心极限定理 lim n P 1 n i 1 n Xi n x x 即 i 1 n X i n n 1 n i 1 n Xi n N 0 1 x 是标准正态分布 DX 拉普拉斯定理 二项分布以正态分布为其极限分布 lim n P Yn np np 1 p x x 即 Yn np np 1 p N 0 1 X 1 n i 1 n X i S 2 1 n 1 i 1 n Xi X 2 1 n 1 i 1 n Xi 2 n X 2 E X E Xi D X D X n 2 n E S2 D X 2 设 X N 0 1 Y 2 n 则 t X Y n t1 a n ta n t 2 F 1 n X 2 n 1 Y 2 n 2 则 F X n1 Y n2 记为 F n1 n2 F F n1 n2 1 F F n2 n1 F1 a n1 n2 1 Fa n2 n1 设 X N 0 1 X N 2 n X n n X N 0 1 1 2 i 1 n X i 2 2 n n 1 S 2 2 i 1 n Xi X 2 2 n 1 X n n 1 S2 2 n 1 X n S n X S t n 1 n X 2 S 2 F 1 n 1 X与 Y 不相关 Cov X Y 0 EXY EXEY D X Y DX DY P AB P A B P B P B A P A P A B P A P B P AB 柏松积分 柏松积分 e t 2 dt 函数 函数 a 0 xa 1e xdx 1 2 a 1 a a n n 1 1 1 方差 D X E X 2 E X 2 协方差 Cov X Y E X EX Y EY E XY EXEY D X Y DX DY 2Cov X Y 相关系数 XY Cov X Y DX DY 柏松定理 设 X 符合参数为 n p的二项分布 即 X B n p 当n充分大而p 充分小 且np 大小适中时 X近似服从参数为 np 的柏松分布 槺 拉定理 设 X 符合参数为 n p的二项分布 即 X B n p 当n充分大时 X近似服从参 数为np npq 的正态分布 即 X N np npq 连续型随机变量函数的分布的求法 Y g X 定义法 FY y P Y y P g X y g x y f x dx f Y y FY y 公式法 要求 Y g X 严格单调 f X x 处处可导 f Y y fX h y h y y f Y y 0其他 h y 是 g x 的反函数 卷积公式 Z X Y f Z z f x z x dx 若独立 则f Z z f X x z fY x dx 注意 注意 卷积公式形式很多 总体思想是 将X Y 其中一个变量用Z表示 对剩下的变量在 整个定义域内做积分 公式中的积分区域虽然是 但实际使用公式时 应根据 实际