高数(上)习题及答案(极限)

1 复习题 一 一 定义域 1 函数的定义域 2lg 3 1 x x y 2 函数的定义域1 4 1 2 x x y 3 函数的定义域为 0 1 则定义域为 xf 4 1 4 1 xfxfxg 二 求极限 1 x x x x x 1 sin 2sin 3 lim 0 0 3 1 2 limsin sin2 2 x x x x x 00 3 1 2 limlim sin sin2 2 xx x x x x 0 0 3 lim 2 sin2 lim 2 x x x x 3 2 lim0 mm nn xa xa a xa 1 1 lim m n xa mx nx lim m n xa m x n m n m a n x x x 2 1lim 2 2 2 lim1 x x x 2 2 2 2 lim 1 x x x 2 e x x x ln lim 1 lim0 x x 45 86 lim 2 2 4 xx xx x4 2 lim 1 x x x 2 3 x x x x x tan2sin lim 000 sin2n1 lim2lim 2cos xx xsix xxx 000 sin2n1 2 limlimlim 2cos xxx xsix xxx 1 2 11 lim 2 0 x x x 2 0 lim11 x x 1 sin lim 0 x x e x 0 s lim1 x x co x e ex x ex 1ln lim 11 lim xex e 11lim 22 xx x 22 2 lim0 11 x xx x x x 1 sinlim 1 sin lim1 1x x x x x x 2 1 1lim 2 2 1 lim1 x x e x x x x3cos 5cos lim 2 2 5sin5 lim 3sin3x x x 5 3 3 0 2 2sin limln 0 sin lim x x x xx x x e x 2 0 cossin lim 2sin x xxxx x x e 0 sin 2 lim 2 1 x xx x e 11 111ln limlim ln1ln1 xx xx xxxx 1 1 1 lim 1 ln x x x x x 1 1 lim 1ln x x xxx 1 1 lim 2ln x x 1 2 1 11 lim 0 x x ex 0 1 lim 1 x x x ex x e 0 1 lim 1 x xx x e exe 0 lim 2 x xx x e exe 0 1 lim 2 x x 1 2 1 1 3 1 23 2 limlim 1 21 1 2 x x xx x x x x 4 1 1 3 1 2 lim 1 1 2 x x x x x 2 3 2 3 1 2 2 33 11 22 lim 11 11 22 x x x xx xx e 解法 2 原式 1 2 lim 1 21 x x x 21 1 22 2 lim 1 21 x x x 211 22 22 lim 11 2121 x x xx e 解法 1 x xx x 3 0 sin 1sin1 lim 3 0 sin lim sin1 sin1 x xx xxx 3 0 1sin lim 2sin x xx x 2 0 11cos lim 23sincos x x xx 2 2 0 1 1 2 lim 23 x x x 1 12 解法 2 x xx x 3 0 sin 1sin1 lim 3 0 11 sin 22 lim x xx x 3 0 1sin lim 2 x xx x 5 2 0 1cos1 lim 23 x x x 2 2 0 1 1 2 lim 23 x x x 1 12 2 2 1 arctan 12 limlim 111 sincos xx x x xxx 洛比达法则 2 2 lim 1 x x x 1 不存在 x x x1 sin arctan 2 lim x x x tan 2 sinlim tan sin x yx 解 令tanlnsinyxx 则ln 22 limlimtanlnsin xx yxx ln 2 lnsin lim 1 tan x x x 2 2 2 cos sin lim sec tan x x x x x 2 2 cos limsin sin x x x x 2 1 limsin2 2x x 0 0 2 limln x ye ln 2 lim1 x y 6 解 sinsin ln 00 limlim xxx xx xe 0 lim sin ln x xx e 00 ln limsin lnlim 1 sin xx x xx x 0 2 1 lim cos sin xx x x 2 0 sin lim cos x x xx 0 limsin x x 0 sin 0 lim1 x x x xx x 3tan 6 sinlim 6 6 tx 解 令 0 6 limsintan3limsin cot3 6 t x xxtt 则 0 cos3 limsin sin3 t t t t 0 sin lim sin3 t t t 1 3 x xx x 5sin sin3sin lim 0 00 sin3sin2sin2 cos limlim sin5sin5 xx xxxx xx 解 0 2sin2 lim sin5 x x x 4 5 7 2 sin 12 coslim 2 2 0 xx x x 2 22 22 00 212 limcoslimcos sinsin 22 xx x xx xxxx 解 2 2 2 00 2 limcoslim sin 2 xx x x xx 2 2 2 00 2 2 limcoslim2 sin 2 xx x x xx 0 3 0 sin1tan1 lim x xx x 33 00 11 tansin 1tan1sin 22 limlim xx xx xx xx 解 3 0 1tansin lim 2 x xx x 3 0 sin1cos1 lim 2cos x xx xx 2 0 11cos lim 2 x x x 0 1sin lim 22 x x x 1 4 xx x x 2coscos1 1 lim 2 0 8 2 0 1 lim1coscos2 x xx x 解 1ln 1 0 lim x e x x 1ln ln1ln1 00 limlim xx x ee xx xe 解 0 ln lim ln1 x x x e e 0 1 lim x x x e xe e 0 lim x xx x e exe e 0 1 lim 1 x x e e 2 则 3 2 lim x x kx kx k a b c d d d d 2 e 2 1 e 23ln 3 1 2 2 1 lim3 2 1 k x k k xx k k x k x 分析 3 2 1 33ln3 3 k k k e ek e 12 数列的极限是 n nn xn cos a a a a 1 b 1 c 0 d 不存在 cos1 limlimlim 1cos1 n nnn nn xn nn 分析 16 3 321 lim n nnn n a 0 b 1 c 3 d 6 9 3 123123 limlim 1111 nn nnn nnnn 分析 18 x x x 3sin 5sin lim a b 1 c 1 d d d d 3 4 3 5 sin55cos55 limlim sin33cos33 xx xx xx 分析 22 xx xx x sin 31 lim 2 a 1 b b b b 2 c 1 d 2 2 2 1 13 13 limlim2 sin sin 1 xx xx x x xx x 分析 23 若 则 5 1sin lim 2 1 x baxx x a b 3 5 ba6 7 ba c c c c d 4 3 ba1 0 ba 2 2 11 lim5lim01 sin1 xx xaxb xaxbba x 分析 由 可知 即 1 11 1lim5 sin1 x xxa ba x 将代入 1 lim153 x xaa 得 即 26 1 12 cos 1 lim 2 2 x xx x x x a 0 b 1 c c c c 2 d 3 10 22 22 121121 limcoslimcoslim 11 xxx xxxx xx xxxx 分析 2 2 11 2 1 limcoslim 1 1 xx xx x x x 2 28 如果 则 3 2 2 sin3 lim 0 x mx x m a 1 b 2 c 4 9 d 9 4 00 3sin23sin2324 limlim 2323239 xx mmxmmxm m mxmx 分析 29 222 21 lim n n nn n a 0 b c c c c 1 2 d 1 2222 1 1 121 2 limlim 2 nn n n n nnnn 分析 30 若 则 2 1 34 lim 2 bax x x x a b b b b 6 2 ba2 4 ba c d 1 3 ba2 0 ba 2 43 lim2404 1 x x axbaa x 分析 由 可知 43 lim2422 1 x b xb bb x 31 的值为 x x x x sin 1 sin lim 2 0 a 1 b c 不存在 d d d d 0 11 2 00 11 sinsin 0 limlim0 sin sin1 xx xx xx x x x 分析 32 2 2 2 sin lim x mx x a a a a 0 b c d 2 m 2 2 m 2 2 22 sin1 limlimsin0 22 xx mx mx xx 分析 三 函数连续 5 已知函数在连续 则 0 0 21 1 xb xx xf x 0 x b 0 lim0 x fxf 分析 函数在一点连续的充分必要条件是 而 1 2 00 limlim 1 2 x xx f xxe 0fb 2 be 6 已知函数在连续 则 0 0 21ln xb x x x xg 0 x b 解 11 0000 ln 12 limlimlimln 12lnlim 122 xx xxxx x fxxx x 0fb 2b 11 已知函数在内连续 则 0 0 2sin xa x x x xf a 12 解 sin2 0 0 x x f xx ax 要使在 内连续 sin2x x x 当0时 是连续函数 sin2 0 0 x x f xxx ax 只要使在 0处连续 0 lim0 x fxf 即只要使 0 sin2 lim22 2 x x aa x 20 已知函数在连续 则 1 1 1 1 3 xax x x x xf1 x a a a a a 2 b 2 c 1 d 1 3 1 1 1 1 x x f x x xax 分析 要使有意义 1 lim1 x fxf 须使 3 1 1 lim1312 1 x x aaa x 即 34 若在连续 则 0 1 sin 0 0sin 1 xb x x xa xx x xf 0 x a b b b b 1 1 ba1 1 ba c d 1 1 ba1 1 ba 13 1 sin0 00 1 sin0 xx x fxaxx xbx x 分析 要使在处连续 00 limlim0 xx f xf xf 只要使 00 11 limsinlimsin xx xxba xx 只要使 即a 1 b 1 36 已知在连续 则 0 2 sin 0 2 x x bx xbxa xf 0 x a b 1 0 ba0 1 ba c d ba2 ab2 2 00 sin limlim 2 xx bx abxa x 由题意 只要使 2 0 0 lim sin lim 22 x x abxa bbxb aa bx 四 无穷小 1 函数在哪个变化过程中是无穷小量 1 1 x ey a b c c c c d 0 x0 x x1 x 2 当时 是 的 0 x1 x ex a 高阶 b 低阶无穷小 c 同阶无穷小 d d d d 等价无穷小 00 1 limlim1 1 xx xx ee x 分析 3 当时 是 的 0 xxxsin 2 x a 高阶无穷小 b 低阶 c c c c 同阶无穷小 d 等价无穷小 14 4 已知当时 为无穷大量 则当时 下列变量必为无穷0 x xf0 x 小量是 a b b b b c d xxf xf x xxf 11 x xf 1 6 时的无穷小量 0 x a a a a b c d x x 1 sin2 xx 1 sin 1 x xsin x x 2 arcsin 7 曲线的垂直渐进线是 32 4 2 xx y a 仅有一条 b 仅有一条3 x1 x c c c c 有两条 d 不存在3 x1