数学建模之马尔可夫预测.docx

马尔可夫预测马尔可夫过程是一种常见的比较简单的随机过程。该过程是研究一个系统的状况及其转移的理论。它通过对不同状态的初始概率以及状态之间的转移概率的研究,来确定状态的变化趋势,从而达到对未来进行预测的目的。 三大特点： （1）无后效性一事物的将来是什么状态，其概率有多大，只取决于该事物现在所处的状态如何，而与以前的状态无关。也就是说，事物第n期的状态，只与第n期内的变化和第n-1期状态有关,而与第n-1期以前的状态无关。（2）遍历性不管事物现在所处的状态如何，在较长的时间内马尔可夫过程逐渐趋于稳定状态，而与初始状态无关。（3）过程的随机性。该系统内部从一个状态转移到另一个状态是，转变的可能性由系统内部的原先历史情况的概率值表示。1.模型的应用，水文预测，气象预测，地震预测，基金投资绩效评估的实证分析，混合动力车工作情况预测，产品的市场占有情况预测。2.步骤 确定系统状态 有的系统状态很确定。如：机床工作的状态可划分为正常和故障，动物繁殖后代可以划分为雄性和雌性两种状态等。但很多预测中，状态需要人为确定。如：根据某种产品的市场销售量划分成滞销、正常、畅销等状态。这些状态的划分是依据不同产品、生产能力的大小以及企业的经营策略来确定的，一般没有什么统一的标准。在天气预报中，可以把降水量划分为旱、正常和涝等状态。计算初始概率用表示实验中状态出现的总次数，则初始概率为计算一步转移概率矩阵令由状态转移到状态的概率为，则得到一步转移概率矩阵为：计算K步转移概率矩阵若系统的状态经过了多次转移，则就要计算K步转移概率与K步转移概率矩阵。K步转移概率矩阵为： 预测及分析根据转移概率矩阵对系统未来所处状态进行预测，即： 例题：设某企业生产洗涤剂为A型,市场除A型外,还有B型、C型两种。为了生产经营管理上的需要,某企业要了解本厂生产的A型洗涤剂在未来三年的市场占有倩况。为此,进行了两项工作,一是进行市场调查,二是利用模型进行预测。市场调查首先全面了解各型洗涤剂在市场占有情况。年终调查结果:市场洗涤剂目前总容量为100万件,其中A型占40万,B型和C型各占30万。再者,要调杏顾客购买各型洗涤剂的变动情况。调查发现去年购买A型产品的顾客,今年仍购A型产品24万件,转购B型和C型产品备占8万件,去年购买B型产品顾客,今年仍购B型产品9万件,转购A型15万件,转购C型6万件,去年购买C型产品的顾客,今年仍购C型产品9万件,转购A型15万件,转购B型6万件。计算各型产品保留和转购变动率。 模型的建立：计算初始概率用表示型产品出现的总次数，则初始概率为 （1）计算各类产品保留和转购变动率用1,2,3，分别表示A,B,C三种产品类型，令由型产品转移到型产品的概率为，则得到一步转移概率矩阵为： （2）预测与分析根据产品市场占有率的初始资料（1）和产品转移概率矩阵资料(2),预测未来各年度各型产品市场占有率。即： （3）模型的求解计算初始概率 用概率向量表示各类产品市场占有的初始状态，由（1）得。计算各类产品保留和转购变动率 由（2）计算得一步转移概率矩阵为预测与分析由（3）计算得到产品市场占有率的预测如下 令k=1得后续第l年各型产品币场占有率预测为其中A型产品市场占有率为54%。令k=2得后续第2年各型产品币场占有率预测为其中A型产品市场占有率为55.4%。令k=2得后续第2年各型产品币场占有率预测为其中A型产品市场占有率为55.54%。 这说明,某企业生产的A型洗涤剂今后三年的市场占有率为54%、55.4%、55.54%,比目前40%的市场占有率有不同程度的增长,市场容量日益增加。而其他企业的B型和C型产品在今后三年内均为23%、22.3%、22.23%,比目前市场占有率30%都低,市场容量逐渐下降。对比结果,A型产品在市场竞争中处于优势。以上仅仅根据三年的预测资料来说明的。今后怎样?如果市场顾客购买各型产品的流动倾