打印-函数及其图象复习

第十八章 函数及其图象复习 第一节变量和函数 1 函数概念包含 1 两个变量 2 两个变量之间的对应关系 2 在某个变化过程中 可以取不同数值的量 叫做变量 数值始终保持不变的量 叫做常量 例 如 x 和 y 对于 x 的每一个值 y 都有唯一的值与之对应 我们就说 x 是自变量 y 是因变量 注意 要理解到 唯一 两字的含义 3 求函数自变量取值范围的两个依据 1 要使函数的解析式有意义 函数的解析式是整式时 自变量可取全体实数 函数的解析式分母中含有字母时 自变量的取值应使分母 0 函数的解析式是二次根式时 自变量的取值应使被开方数 0 2 对于反映实际问题的函数关系 应使实际问题有意义 练习 1 求下列函数中自变量 x 的取值范围 1 y 2 y 3 y 4 y 1 x 2x 2x 2 1 x 2 1 3x x 练习 2 平行四边形相邻的边长为 x y 它的周长是 30 则 y 关于 x 的函数关系式是 自变量 x 的取值范围是 练习 3 某水果批发市场规定 批发水果不少于 100 千克时 批发价为每千克 2 5 元 小于携带现 金 3000 元到市场采购苹果 并以批发价买进 如果购买的苹果为 x 千克 小王付款后的剩余现金为 y 元 则 y 与 x 之间的函数关系式是 自变量 x 的取值范围是 4 求函数值的方法 把所给出的自变量的值代入函数解析式中 即可求出相应的函数值 第二节 平面直角坐标系 1 x 轴 y 轴上点的坐标的特点 平行于横轴的直线上的点的纵坐标相同 平行于纵轴的直线上的 点的横坐标相同 坐标轴的点至少有一个是 0 x 轴上的点的纵坐标为 0 表示为 x 0 y 轴上的点的横坐标为 0 表示为 0 y 2 关于对称 P a b 关于 X 轴对称 横坐标相同 纵坐标互为相反数 即 P a b P a b 关于 Y 轴对称 纵坐标相同 横坐标互为相反数 即 P a b P a b 关于原点对称 横坐标 纵坐标均互为相反数 即 P a b 3 距离问题 P a b 到 X 轴的距离 等于纵坐标的绝对值即 b P a b 到 Y 轴的距离 等于横坐标的绝对值即 a P a b 到原点距离 等于二次根号下横坐标的平方与纵坐标的平方和 即 22 ab 1 3 4 关于 x 轴对称的点的坐标为 关于 y 轴对称的点的坐标为 关于原点对称的坐标为 2 点 B 5 12 到 x 轴的距离是 到 y 轴的距离是 到原点的距离是 3 以点 3 0 为圆心 半径为 5 的圆与 x 轴交点坐标为 与 y 轴交点坐标 为 4 点 P a 3 5 a 在第一象限内 则 a 的取值范围是 第三节 一次函数的性质 1 一次函数定义 解析式都是自变量的一次整式 表示 y kx b k b 是常量 k 0 注意 x 的次数 1 kx b 是整式 当 b 0 时 一次函数 y kx 常数 k 0 叫正比例函数 练习 1 下列函数中 是一次函数的是 y x y y 2x 1 2 2 y 2 x25yx 2 2 3 yx 练习 2 若 y m 2 x m2 4 是正比例函数 则 m 的取值是 A 2 B 2 C 2 D 任意实数 2 一次函数的图象的形状 一次函数 y kx b k 0 的图象是一条直线 又称直线 y kx b k 0 特别地 正比 例函数 y kx k 0 的图象是经过原点 0 0 的一条直线 注意 现在画一次函数的图象可以只取两个点 3 一次函数中 k 与 b 对图形位置的影响 1 当 k 相同 b 不相同时 共同点 它们的函数图象 直线 是平行的 都是由 y kx k 0 向上 加 或向下 减 移动得到 不同点 它们与 y 轴的交点不同 练习 1 将直线 y 2x 1 沿 y 轴方向向上平移 3 个单位长 得到的直线解析式为 2 当 k 不同 b 相同时 共同点 它们与 y 轴交于同一点 0 b 不同点 函数图象 直线 不平行 4 画一次函数 y kx b k 0 图象的规律 令 x 0 可求出 y b 令 y 0 可求出 即可列表 b x k x0b k y kx bb0 所以直线 y kx b 与 y 轴的交点坐标是 0 b 与 x 轴的交点坐标是 0 再连接这两点即可 b k 5 在画实际问题中的一次函数的图象时 要考虑自变量的取值范围 图象可能只是一次函数图象 的一部分 那就可能是一条线段或一条射线还可能是孤立的点或其他 6 一次函数 y kx b 有下列性质 1 当 k 0 时 y 随 x 的增大而增大 这时函数的图象从左到右上升 2 当 k 0 时 y 随 x 的增大而减小 这时函数的图象从左到右下降 特别地 当 b 0 时 正比例函数也有上述性质 x y 4 0 当 b 0 直线与 y 轴交于正半轴 当 b 0 时 直线与 y 轴交于负半轴 下面 我们把一次函数中 k 与 b 的正 负与它的图象经过的象限归纳列表为 练习 1 若直线 y kx b 中 k 0 b 0 则直线不经过 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 直线 y 3x 2 经过第 象限 y 随 x 的增大而 2 已知一次函数 y m 2 x 3 2m 的图象不经过第四象限 则 m 的范围是 3 当 时 一次函数 y m 1 x 6 的函数值随 x 的增大而减小 4 直线 y m 1 x m2 1 与 y 轴的交点坐标是 0 3 且直线经过第一 二 四象限 则 k 5 直线 y kx b 上有两点 A x1 y1 和点 B x2 y2 且 x1 x2 y1 y2 则常数 k 的取值范围是 第四节 求一次函数的关系式 1 用待定系数法求一次函数解析式时 先设函数为 y kx b k 0 再求系数 k 与 b 即根据题 意列出未知数为 k 与 b 的方程或方程组 求出这两个未知系数 再将它们代入 y kx b 从而得到 所求结果 例 1 已知一次函数 y kx b 的图象经过点 1 1 和点 1 5 求当 x 5 时 函数 y 的值 例 2 已知一次函数的图象如右图 写出它的关系 例 3 求直线 y 2x 和 y x 3 的交点坐标 例 4 已知两条直线 y1 2x 3 和 y2 5 x 1 在同一坐标系内作出它们的图象 2 求出它们的交点 A 坐标 3 求出这两条直线与 x 轴围成的三角形 ABC 的面积 4 k 为何值时 直线 2k 1 5x 4y 与 k 2x 3y 的交点在每四象限 练习 1 函数 y 2x 4 的图象经过 象限 它与两坐标轴围成的三角形面积为 周长为 2 一次函数 y kx b 的图象经过点 1 5 交 y 轴于 3 则 k b 3 若点 m m 3 在函数 y x 2 的图象上 则 m 4 y 与 3x 成正比例 当 x 8 时 y 12 则 y 与 x 的函数解析式为 5 一农民带上若干千克自产的土豆进城出售 为了方便 他带了一些零钱备用 按市场价售出一些后 又降价出售 售出的土 豆千克数与他手中持有的钱数 含备用零钱 的关系 如图所示 结合图象回答下列问题 2 试求降价前 y 与 x 之间的关系式 3 由表达式你能求出降价前每千克的土豆价格是多少 4 降价后他按每千克 0 4 元将剩余土豆售完 这时他手中的钱 含备用零钱 是 26 元 试问他一共带了多少千克土豆 函数的性质及其图象 定义 1 自变量x的指数为1 2 自变量x的系数k不为0 0 ykxb kbk 为常数 函数图象与函数图象与函数图象与y y y轴交点是轴交点是轴交点是 0 0 0 b b b 与与与x x x轴交点是轴交点是轴交点是 0 0 0 b k k k k b b b符号符号符号图象图象 图象性质性质性质 当当当k k k 0 b0 b0 b 0 0 0时时时 函数图象过一 二 三象限 函数图象过一 二 三象限 函数图象过一 二 三象限 y y y随随随x x x的增大而增大的增大而增大的增大而增大 从左至右图象 上升 左低右高 与y轴的交点 0 b 在正半轴 当当当k k k 0 b0 b0 b 0 0 0时时时 函数图象过一 三 四象限 函数图象过一 三 四象限 函数图象过一 三 四象限 y y y随随随x x x的增大而增大的增大而增大的增大而增大 从左至右图从左至右图从左至右图 象是上升的 左低右高 象是上升的 左低右高 象是上升的 左低右高 与与与y y y轴的交点轴的交点轴的交点 0 b 0 b 0 b 在负半轴在负半轴在负半轴 当当当k k k 0 b0 b0 b 0 0 0时时时 函数图象过一 三象限 函数图象过一 三象限 函数图象过一 三象限 y y y随随随x x x的增大而增大的增大而增大的增大而增大 从左至右图象从左至右图象从左至右图象 是上升的 左低右高 是上升的 左低右高 是上升的 左低右高 图象是过原点图象是过原点图象是过原点 当当当k k k 0 b0 b0 b 0 0 0时时时 函数图象过一 二 四象限 函数图象过一 二 四象限 函数图象过一 二 四象限 y y y随随随x x x的增大而减小的增大而减小的增大而减小 从左至右图从左至右图从左至右图 象是下降的 左高右低 象是下降的 左高右低 象是下降的 左高右低 与 与 与y y y轴的交点 轴的交点 轴的交点 0 0 0 b b b 在正半 在正半 在正半 轴轴轴 当当当k k k 0 b0 b0 b 0 0 0时时时 函数图象过二 三 四象限 函数图象过二 三 四象限 函数图象过二 三 四象限 y y y随随随x x x的增大而减小的增大而减小的增大而减小 从左至右图从左至右图从左至右图 象是下降的 左高右低 象是下降的 左高右低 象是下降的 左高右低 与 与 与y y y轴的交点轴的交点轴的交点 0 b 0 b 0 b 在负半轴在负半轴在负半轴 当当当k k k 0 b0 b0 b 0 0 0时时时 函数图象过二 四象限 函数图象过二 四象限 函数图象过二 四象限 y y y随随随x x x的增大而减小的增大而减小的增大而减小 从左至右图象是从左至右图象是从左至右图象是 下降的 左高右低 下降的 左高右低 下降的 左高右低 图