数学建模与创新思维的培养

1 数学建模与创新思维的培养数学建模与创新思维的培养 长沙市雅礼中学长沙市雅礼中学 唐丙乾唐丙乾 进入新的世纪时期 人类将进入知识经济时代 知识的发明创造对社会发展越来越重 要 其劳动者则是掌握知识具有创造性的人才 因此各国都在积极探讨培养适应知识经济 具有创造力人才的教育模式 使培养出来的人才在未来的社会更具竞争力 中共中央国务 院在 深化教育改革 全面推进素质教育 中指出实施素质教育 就是全面贯彻党的教育 方针 重点培养学生的创新精神和实践能力 应试教育向素质教育的转轨 是当前教育教 改的方向 也是每个教师义不容辞的责任 数学教师应在培养学生的素质上狠下功夫 而 数学素质一般认为包括 数学意识 问题解决 逻辑推理和信息交流四个方面 数学建模 既有 数学意识 的因素 也是 问题解决 的一部份 因此在中学实施 数学建模 的 教学是提高学生应用意识和数学素质的重要途径之一 也是培养学生的创新能力的重要举 措 一中学数学建模教与学的现状一中学数学建模教与学的现状 数学应用问题在未列入高考问题之前 在中学数学教学中得不到应有的重视 相当一 部份教师认为数学主要是培养学生运算能力和逻辑推理能力 视应用问题为 不好的数学 至于如何从数学的角度出发 分析和处理学生周围的生活及生产实际问题更是无意顾及 学生应用意识淡薄 很多走向社会的学生认为他在中学所学的数学 在他以后的工作生活 中 没有用处 由于学生应用意识不强 影响了学生用发展的眼光看问题 忽略了与实际的联系 为 应付高考 急功近利 短期训练是大部份高三教师的 法宝 因高考把应用题作为必考 题 而应用问题取材困难 现成的好的应用问题并不多 高三老师就高三阶段把各地的模 拟题用来对学生进行强化训练 因学生平时很少涉及实际建模问题的解决 这种做法只能 是事倍功半 学生解决应用问题的能力没有很大的提高 有的学校更是放弃应用问题的教 学 认为教不教学生都不会 从近几年高考应用题考后的质量分析不难发现 通过以上作 法 难以从根本上提高学生的建模能力 某市高三统考出了这样一道应用题 买一套新住 房需要人民币 15 万元 若一次付清优惠 25 若连续五年分期付款付清 则需每年的相 同月份内交付 3 万元 若银行一年期存款率为 8 按本利累进计算 即每年的存款与利 息之和转为下年存款 问两种付款方式哪种对购房者有利 试说明理由 很多学生如下 作答 按第一种方式付款共付人民币 15 1 25 11 25 万元 按第二种方式付款 共付人民币 15 万元 因而认为第一种付款方式对购房者有利 真是太令人失望了 在众多 学生的眼中今天的五万元与明年今天的五万元没有什么区别 所以在中学加强学生建模教 学已刻不容缓 二数学建模与数学建模意识二数学建模与数学建模意识 著名数学家怀特海曾说 数学就是对于模式的研究 所谓数学模型 是指对于现实世界的某一特定研究对象 为了某个特定的目的 在做 了一些必要的简化假设 运用适当的数学工具 并通过数学语言表述出来的一个数学结构 数学中的各种基本概念 都以各自相应的现实原型作为背景而抽象出来的数学概念 各种 数学公式 方程式 定理 理论体系等等 都是一些具体的数学模型 举个简单的例子 二次函数就是一个数学模型 很多数学问题甚至实际问题都可以转化为二次函数来解决 而通过对问题数学化 模型构建 求解检验使问题获得解决的方法称之为数学模型方法 我们的数学教学说到底实际上就是教给学生前人给我们构建的一个个数学模型和怎样构建 2 模型的思想方法 以使学生能运用数学模型解决数学问题和实际问题 具体的讲数学模型 方法的操作程序大致上为 由此 我们可以看到 培养学生运用数学建模解决实际问题的能力 关键是把实际问 题抽象为数学问题 必须首先通过观察分析 提炼出实际问题的数学模型 然后再把数学 模型纳入某知识系统去处理 这不但要求学生有一定的抽象能力 而且要有相当的观察 分析 综合 类比能力 学生的这种能力的获得不是一朝一夕的事情 需要把数学建模意 识贯穿在教学的始终 也就是要不断的引导学生用数学思维的观点去观察 分析和表示各 种事物关系 空间关系和数学信息 从纷繁复杂的具体问题中抽象出我们熟悉的数学模型 进而达到用数学模型来解决实际问题 使数学建模意识成为学生思考问题的方法和习惯 三 构建数学建模意识的基本途径 三 构建数学建模意识的基本途径 1 1 为了培养学生的建模意识 为了培养学生的建模意识 中学数学教师应首先需要提高自己的建模意识中学数学教师应首先需要提高自己的建模意识 这不仅 意味着我们在教学内容和要求上的变化 更意味着教育思想和教学观念的更新 中学数学 教师除需要了解数学科学的发展历史和发展动态之外 还需要不断地学习一些新的数学建 模理论 并且努力钻研如何把中学数学知识应用于现实生活 北京大学附中张思明老师对 此提供了非常典型的事例 他在大街上看到一则广告 本店承接 A1 型号影印 什么是 A1 型号 在弄清了各种型号的比例关系后 他便把这一材料引入到初中 相似形 部分的 教学中 这是一般人所忽略的事 却是数学教师运用数学建模进行教学的良好机会 2 2 数学建模教学还应与现行教材结合起来研究 数学建模教学还应与现行教材结合起来研究 教师应研究在各个教学章节中可引入 哪些模型问题 如讲立体几何时可引入正方体模型或长方体模型把相关问题放入到这些模 型中来解决 又如在解几中讲了两点间的距离公式后 可引入两点间的距离模型解决一些 具体问题 而储蓄问题 信用贷款问题则可结合在数列教学中 要经常渗透建模意识 这 样通过教师的潜移默化 学生可以从各类大量的建模问题中逐步领悟到数学建模的广泛应 用 从而激发学生去研究数学建模的兴趣 提高他们运用数学知识进行建模的能力 3 3 注意与其它相关学科的关系 注意与其它相关学科的关系 由于数学是学生学习其它自然科学以至社会科学的工 具而且其它学科与数学的联系是相当密切的 因此我们在教学中应注意与其它学科的呼应 这不但可以帮助学生加深对其它学科的理解 也是培养学生建模意识的一个不可忽视的途 径 例如教了正弦型函数后 可引导学生用模型函数 y Asin x 写出物理中振动图 象或交流图象的数学表达式 可见 这样的模型意识不仅仅是抽象的数学知识 而且 将对他们学习其它学科的知识以及将来用数学建模知识探讨各种边缘学科产生深远的影响 4 4 在教学中还要结合专题讨论与建模法研究 在教学中还要结合专题讨论与建模法研究 我们可以选择适当的建模专题 如 代 数法建模 图解法建模 直 曲 线拟合法建模 通过讨论 分析和研究 熟 悉并理解数学建模的一些重要思想 掌握建模的基本方法 甚至可以引导学生通过对日常 3 生活的观察 自己选择实际问题进行建模练习 从而让学生尝到数学建模成功的 甜 和 难于解决的 苦 借亦拓宽视野 增长知识 积累经验 这亦符合玻利亚的 主动学习原 则 也正所谓 学问之道 问而得 不如求而得之深固也 四 把构建数学建模意识与培养学生创造性思维过程统一起来 四 把构建数学建模意识与培养学生创造性思维过程统一起来 在诸多的思维活动中 创新思维是最高层次的思维活动 是开拓性 创造性人才所必 须具备的能力 麻省理工大学创新中心提出的培养创造性思维能力 主要应培养学生灵活 运用基本理论解决实际问题的能力 由此 我认为培养学生创造性思维的过程有三点基本 要求 第一 对周围的事物要有积极的态度 第二 要敢于提出问题 第三 善于联想 善于理论联系实际 因此在数学教学中构建学生的建模意识实质上是培养学生的创造性思 维能力 因为建模活动本身就是一项创造性的思维活动 它既具有一定的理论性又具有较 大的实践性 既要求思维的数量 还要求思维的深刻性和灵活性 而且在建模活动过程中 能培养学生独立 自觉地运用所给问题的条件 寻求解决问题的最佳方法和途径 可以培 养学生的想象能力 直觉思维 猜测 转换 构造等能力 而这些数学能力正是创造性思 维所具有的最基本的特征 1 1 发挥学生的想象能力 培养学生的直觉思维 发挥学生的想象能力 培养学生的直觉思维 众所周知 数学史上不少的数学发现来源于直觉思维 如笛卡尔坐标系 费尔马大定 理 歌德巴赫猜想 欧拉定理等 应该说它们不是任何逻辑思维的产物 而是数学家通过 观察 比较 领悟 突发灵感发现的 通过数学建模教学 使学生有独到的见解和与众不 同的思考方法 如善于发现问题 沟通各类知识之间的内在联系等是培养学生创新思维的 核心 例 证明 sin5 sin77 sin149 sin221 sin293 0 分析 此题若作为 三角 问题来处理 当然也可以证出来 但从题中的数量特征来 看 发现这些角都依次相差 72 联想到正五边形的内角关系 由此构造一个正五边形 如上图 由于 AB BC CD DE EA 0 从而它们的各个向量在 Y 轴上的分量之和亦为 0 故 知原式成立 4 这里 正五边形作为建模的对象恰到好处地体现了题中角度的数量特征 反映了学生 敏锐的观察能力与想象能力 如果没有一定的建模训练 是很难 创造 出如此简洁 优 美的证明的 正如 E L 泰勒指出的 具有丰富知识和经验的人 比只有一种知识和经验 的人更容易产生新的联想和独创的见解 2 2 构建建模意识 培养学生的转换能力 构建建模意识 培养学生的转换能力 恩格斯曾说过 由一种形式转化为另一种形式不是无聊的游戏而是数学的杠杆 如 果没有它 就不能走很远 由于数学建模就是把实际问题转换成数学问题 因此如果我 们在数学教学中注重转化 用好这根有力的杠杆 对培养学生思维品质的灵活性 创造性 及开发智力 培养能力 提高解题速度是十分有益的 如在教学中 我曾给学生介绍过 洗衣问题 给你一桶水 洗一件衣服 如果我们直接将衣服放入水中就洗 或是将水分成相同的 两份 先在其中一份中洗涤 然后在另一份中清一下 哪种洗法效果好 答案不言而喻 但如何从数学角度去解释这个问题呢 我们借助于溶液的浓度的概念 把衣服上残留的脏物看成溶质 设那桶水的体积为 x 衣服的体积为 y 而衣服上脏物的体积为 z 当然 z 应非常小 与 x y 比可忽略不计 第一种洗法中 衣服上残留的脏物为 yx xy 按第二种洗法 第一次洗后衣服上残留的脏物为 第二次洗后衣服上残留的脏 y x yz 2 物为 显然有 y x zy 2 2 y x zy 2 2 y x yz 2 这就证明了第二种洗法效果好一些 事实上 这个问题可以更引申一步 如果把洗衣过程分为 k 步 k 给定 则怎样分才 能使洗涤效果最佳 学生对这个问题的进一步研究 无疑会激发其学习数学的主动性 且能开拓学生创造 性思维能力 养成善于发现问题 独立思考的习惯 3 3 以 以 构造构造 为载体 培养学生的创新能力为载体 培养学生的创新能力 一个好的数学家与一个蹩脚的数学家之间的差别 就在于前者有许多具体的例子 而后者则只有抽象的理论 5 我们前面讲到 建模 就是构造模型 但模型的构造并不是一件容易的事 又需要 有足够强的构造能力 而学生构造能力的提高则是学生创造性思维和创造能力的基础 创 造性地使用已知条件 创造性地应用数学知识 如 在一条笔直的大街上 有 n 座房子 每座房子里有一个或更多的小孩 问 他们 应在什么地方会面 走的路程之和才能尽可能地少 分析 如何表示房子的位置 构造数轴 用数轴表示笔直的大街 几座房子分别位于 x1 x2 xn 不妨设 x1 x2 xn 又设各座房子中分别有 a1 a2 an个小孩 则问题就成为 求实数 x 使 f x 最小 n i ii xxa 1 从上面例子可以看出 只要我们在教学中教师仔细地观察 精心的设计 可以把一些 较为抽象的问题 通过现象除去非本质的因素 从中构造出最基本的数学模型 使问题回 到已知的数学知识领域 并且能培养学生的创新能力 综上所述 在数学教学中构建学生的数学建模意识与素质教育所要求的培养学生的创 造性思维能力是相辅相成 密不可分的 要真正培养学生的创新能力 光凭传授知识是远 远不够的 重要的是在教学中必须坚持以学生为主体 不能脱离学生搞一些不切实际的建 模教学 我们的一切教学活动必须以调动学生的主观能动性 培养学生的创新思维为出发 点 引导学生自主活动 自觉的在学习过程中构建数学建模意识 这些要求不仅符合数学 本身发展的需要 也是社会发展的需要 因为我们的数学教学不仅要使学生获得新的知识 而且要提高学生的思维能力 要培养学生自觉地运用数学知识去考虑和处理日常生活 生 产中所遇到的问题 从而形成良好的思维品质只有这样才能使学生分析和解决问题的能力 得到长足的进步 也只有这样才能真正提